use std::cmp::*; // https://qiita.com/tanakh/items/0ba42c7ca36cd29d0ac8 macro_rules! input { ($($r:tt)*) => { let stdin = std::io::stdin(); let mut bytes = std::io::Read::bytes(std::io::BufReader::new(stdin.lock())); let mut next = move || -> String{ bytes.by_ref().map(|r|r.unwrap() as char) .skip_while(|c|c.is_whitespace()) .take_while(|c|!c.is_whitespace()) .collect() }; input_inner!{next, $($r)*} }; } macro_rules! input_inner { ($next:expr) => {}; ($next:expr,) => {}; ($next:expr, $var:ident : $t:tt $($r:tt)*) => { let $var = read_value!($next, $t); input_inner!{$next $($r)*} }; } macro_rules! read_value { ($next:expr, [ $t:tt ; $len:expr ]) => { (0..$len).map(|_| read_value!($next, $t)).collect::>() }; ($next:expr, $t:ty) => ($next().parse::<$t>().expect("Parse error")); } /// Verified by https://atcoder.jp/contests/abc198/submissions/21774342 mod mod_int { use std::ops::*; pub trait Mod: Copy { fn m() -> i64; } #[derive(Copy, Clone, Hash, PartialEq, Eq, PartialOrd, Ord)] pub struct ModInt { pub x: i64, phantom: ::std::marker::PhantomData } impl ModInt { // x >= 0 pub fn new(x: i64) -> Self { ModInt::new_internal(x % M::m()) } fn new_internal(x: i64) -> Self { ModInt { x: x, phantom: ::std::marker::PhantomData } } pub fn pow(self, mut e: i64) -> Self { debug_assert!(e >= 0); let mut sum = ModInt::new_internal(1); let mut cur = self; while e > 0 { if e % 2 != 0 { sum *= cur; } cur *= cur; e /= 2; } sum } #[allow(dead_code)] pub fn inv(self) -> Self { self.pow(M::m() - 2) } } impl Default for ModInt { fn default() -> Self { Self::new_internal(0) } } impl>> Add for ModInt { type Output = Self; fn add(self, other: T) -> Self { let other = other.into(); let mut sum = self.x + other.x; if sum >= M::m() { sum -= M::m(); } ModInt::new_internal(sum) } } impl>> Sub for ModInt { type Output = Self; fn sub(self, other: T) -> Self { let other = other.into(); let mut sum = self.x - other.x; if sum < 0 { sum += M::m(); } ModInt::new_internal(sum) } } impl>> Mul for ModInt { type Output = Self; fn mul(self, other: T) -> Self { ModInt::new(self.x * other.into().x % M::m()) } } impl>> AddAssign for ModInt { fn add_assign(&mut self, other: T) { *self = *self + other; } } impl>> SubAssign for ModInt { fn sub_assign(&mut self, other: T) { *self = *self - other; } } impl>> MulAssign for ModInt { fn mul_assign(&mut self, other: T) { *self = *self * other; } } impl Neg for ModInt { type Output = Self; fn neg(self) -> Self { ModInt::new(0) - self } } impl ::std::fmt::Display for ModInt { fn fmt(&self, f: &mut ::std::fmt::Formatter) -> ::std::fmt::Result { self.x.fmt(f) } } impl From for ModInt { fn from(x: i64) -> Self { Self::new(x) } } } // mod mod_int macro_rules! define_mod { ($struct_name: ident, $modulo: expr) => { #[derive(Copy, Clone, PartialEq, Eq, PartialOrd, Ord, Hash)] struct $struct_name {} impl mod_int::Mod for $struct_name { fn m() -> i64 { $modulo } } } } const MOD: i64 = 998_244_353; define_mod!(P, MOD); type MInt = mod_int::ModInt

; // Depends on MInt.rs fn fact_init(w: usize) -> (Vec, Vec) { let mut fac = vec![MInt::new(1); w]; let mut invfac = vec![0.into(); w]; for i in 1..w { fac[i] = fac[i - 1] * i as i64; } invfac[w - 1] = fac[w - 1].inv(); for i in (0..w - 1).rev() { invfac[i] = invfac[i + 1] * (i as i64 + 1); } (fac, invfac) } // https://yukicoder.me/problems/no/1510 (5) // 被積分関数は、次数の合計が 2N であるように極を持つ。x = A_i sqrt(-1) における留数は、被積分関数内部の \prod における 1/(x^2 + A_i^2) の個数を a、それ以外の要素に対する 1/(-A_i^2 + A_j^2) の積を b とおくと、[x^{-1}]b/(x^2 + 2A_i sqrt(-1)x)^a = [x^{a-1}]b/(x + 2A_i sqrt(-1))^a = b/(2A_i sqrt(-1))^a [x^{a-1}](1+x/(2A_i sqrt(-1)))^{-a} = (-1)^{a+1} b * C(2a-1, a-1) / (2A_i sqrt(-1)) である。 // -R -> R -> (半径 R の上半平面上の半円) -> -R という経路による積分を考えると、これの積分値への寄与は 2sqrt(-1) (-1)^{a+1} b * C(2a-1, a-1) / (2A_i sqrt(-1)) = (-1)^{a+1} b C(2a-1, a-1) / A_i である。 // -> 留数を間違えて WA。留数の分母は 2A_i sqrt(-1) ではなく (2A_i sqrt(-1))^{2a-1} である。これの積分値への寄与は 2sqrt(-1) (-1)^{a+1} b * C(2a-1, a-1) / (2A_i sqrt(-1))^{2a-1} = 2b * C(2a-1, a-1) / (2A_i)^{2a-1} である。 // -> [Y^{a-1}](1-Y)^{-a} の計算も間違えていて、正しくは C(2a-1,a-1) ではなく C(2a-2, a-1) である。正しい留数は (-1)^{a+1} b * C(2a-2, a-1) / (2A_i sqrt(-1))^{2a-1} であり、正しい寄与は 2b * C(2a-2, a-1) / (2A_i)^{2a-1} である。 // -> x = A_i に対して a >= 2 のとき、単に 1/(-A_i^2 + A_j^2) の積を考えるだけではダメで、\prod_j 1/((x-A_i sqrt(-1))^2 + A_j^2) の x^{a-1} 次の項まで考える必要がある。同様に (1+x/(2A_i sqrt(-1)))^{-a} の方も x^{a-1} 次の項まで考える必要がある。欲しいものは 2 sqrt(-1) (2A_i sqrt(-1))^{-a} [x^{a-1}](1+x/(2A_i sqrt(-1)))^{-a} \prod_j 1/((x-A_i sqrt(-1))^2 + A_j^2) であり、畳み込みに a^2 時間かける場合計算量は O(\sum n a^2) = O(n^3) である。 // -> \prod の中身は 1/((x+A_i sqrt(-1))^2 + A_j^2) である。x = A_i における極の様子を調べるためには -A_i だけ平行移動してx = 0 での値を調べる必要があるため。 fn main() { input! { n: usize, a: [i64; n], } let im = MInt::new(3).pow((MOD - 1) / 4); let mut coo = a.clone(); coo.sort(); coo.dedup(); let m = coo.len(); let mut f = vec![0; m]; for &a in &a { f[coo.binary_search(&a).unwrap()] += 1; } let (fac, invfac) = fact_init(2 * n); let mut tot = MInt::new(0); for i in 0..m { let a = f[i]; // \prod 1/((x+coo[i]*im)^2 + coo[j])^f[j] let mut frm = vec![MInt::new(0); a]; frm[0] = 1.into(); for j in 0..m { if i == j { continue; } let cs = MInt::new(coo[j]).pow(2) - coo[i] * coo[i]; let csinv = cs.inv(); for _ in 0..f[j] { let mut ep = vec![MInt::new(0); a]; ep[0] = frm[0] * csinv; if a > 1 { ep[1] = (-im * 2 * coo[i] * ep[0] + frm[1]) * csinv; } for k in 2..a { ep[k] = (-im * 2 * coo[i] * ep[k - 1] + frm[k] - ep[k - 2]) * csinv; } frm = ep; } } // (1+x/(2*coo[i]*im))^a let mut lat = vec![MInt::new(0); a]; let mut cur = MInt::new(1); let inv = (im * 2 * coo[i]).inv(); for i in 0..a { lat[i] = fac[i + a - 1] * invfac[i] * invfac[a - 1] * cur; cur *= -inv; } let mut tmp = MInt::new(0); for j in 0..a { tmp += frm[a - 1 - j] * lat[j]; } let tmp = tmp * inv.pow(a as i64) * 2 * im; tot += tmp; } println!("{}", tot); }