// QCFium 法 #pragma GCC target("avx2") #pragma GCC optimize("O3") #pragma GCC optimize("unroll-loops") #ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; using ull = unsigned long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9e18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2e9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vvvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vvvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); int DX[4] = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) int DY[4] = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003094073385LL; // (int)INFL = INF, (int)(-INFL) = -INF; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), (x))) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), (x))) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0, set##_ub = 1 << int(d); set < set##_ub; ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repis(i, set) for(int i = lsb(set), bset##i = set; i < 32; bset##i -= 1 << i, i = lsb(bset##i)) // set の全要素(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 #define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定 // 汎用関数の定義 template inline ll powi(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template inline T getb(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } template inline T smod(T n, T m) { n %= m; if (n < 0) n += m; return n; } // 非負mod // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; #ifdef _MSC_VER #include "localACL.hpp" #endif //using mint = modint1000000007; using mint = modint998244353; //using mint = static_modint<1234567891>; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); namespace atcoder { inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; using vvvvm = vector; using pim = pair; #endif #ifdef _MSC_VER // 手元環境(Visual Studio) #include "local.hpp" #else // 提出用(gcc) inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : 32; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : 64; } template inline int lsb(const bitset& b) { return b._Find_first(); } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_mat(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) { vc MLE(1<<30); EXIT(MLE.back()); } } // RE の代わりに MLE を出す #endif //【直線に沿った格子路上の積】O(log(n+m+a+b)) /* * (0, 0) から (n, (an+b)//m) までの直線 y=(ax+b)/m 以下の上優先の格子路について, * 右に進むときは f,上に進むときは g を順に掛け合わせたモノイド (S, op, e) の元を返す. * * 制約:n≧0, m≧1, a≧0, b≧0 */ template S multiple_along_line(T n, T m, T a, T b, S f, S g) { // 参考 : https://github.com/hos-lyric/libra/blob/master/number/gojo.cpp // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_floor_of_linear Assert(n >= 0); Assert(m >= 1); Assert(a >= 0); Assert(b >= 0); // x^n を返す auto pow = [](const S& x, T n) { S res(e()), pow2 = x; while (n > 0) { if (n & 1) res = op(res, pow2); pow2 = op(pow2, pow2); n /= 2; } return res; }; S resL = e(), resR = e(); bool rev = false; while (true) { // 傾きを 1 未満,切片を 1 未満にする. if (rev) { resR = op(pow(g, b / m), resR); f = op(pow(g, a / m), f); } else { resL = op(resL, pow(g, b / m)); f = op(f, pow(g, a / m)); } a %= m; b %= m; if (a == 0 || n == 0) break; // 左側の中途半端に余っている部分を切り取る. T l = (m - b + a - 1) / a; if (l > n) { if (rev) { resR = op(pow(f, n), resR); } else { resL = op(resL, pow(f, n)); } n = 0; break; } if (rev) { resR = op(op(g, pow(f, l)), resR); } else { resL = op(resL, op(pow(f, l), g)); } b = a * l + b - m; n -= l; if (n == 0) break; // 軸を取り直して傾きを 1 より大きくする. T nn = (a * n + b) / m; T nm = a; T na = m; T nb = a * n + b - m * nn; n = nn; m = nm; a = na; b = nb; swap(f, g); rev = !rev; } return op(resL, op(pow(f, n), resR)); } //【正方行列(固定サイズ)】 /* * Fixed_matrix() : O(n^2) * T の要素を成分にもつ n×n 零行列で初期化する. * * Fixed_matrix(bool identity = true) : O(n^2) * T の要素を成分にもつ n×n 単位行列で初期化する. * * Fixed_matrix(vvT a) : O(n^2) * 二次元配列 a[0..n)[0..n) の要素で初期化する. * * A + B : O(n^2) * n×n 行列 A, B の和を返す.+= も使用可. * * A - B : O(n^2) * n×n 行列 A, B の差を返す.-= も使用可. * * c * A / A * c : O(n^2) * n×n 行列 A とスカラー c のスカラー積を返す.*= も使用可. * * A * x : O(n^2) * n×n 行列 A と n 次元列ベクトル array x の積を返す. * * x * A : O(n^2) * n 次元行ベクトル array x と n×n 行列 A の積を返す. * * A * B : O(n^3) * n×n 行列 A と n×n 行列 B の積を返す. * * Mat pow(ll d) : O(n^3 log d) * 自身を d 乗した行列を返す. */ template struct Fixed_matrix { array, n> v; // 行列の成分 // n×n 零行列で初期化する.identity = true なら n×n 単位行列で初期化する. Fixed_matrix(bool identity = false) { rep(i, n) v[i].fill(T(0)); if (identity) rep(i, n) v[i][i] = T(1); } // 二次元配列 a[0..n)[0..n) の要素で初期化する. Fixed_matrix(const vector>& a) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/1000 Assert(sz(a) == n && sz(a[0]) == n); rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] = a[i][j]; } // 代入 Fixed_matrix(const Fixed_matrix&) = default; Fixed_matrix& operator=(const Fixed_matrix&) = default; // アクセス inline array const& operator[](int i) const { return v[i]; } inline array& operator[](int i) { return v[i]; } // 入力 friend istream& operator>>(istream& is, Fixed_matrix& a) { rep(i, n) rep(j, n) is >> a[i][j]; return is; } // 比較 bool operator==(const Fixed_matrix& b) const { return v == b.v; } bool operator!=(const Fixed_matrix& b) const { return !(*this == b); } // 加算,減算,スカラー倍 Fixed_matrix& operator+=(const Fixed_matrix& b) { rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] += b[i][j]; return *this; } Fixed_matrix& operator-=(const Fixed_matrix& b) { rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] -= b[i][j]; return *this; } Fixed_matrix& operator*=(const T& c) { rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] *= c; return *this; } Fixed_matrix operator+(const Fixed_matrix& b) const { return Fixed_matrix(*this) += b; } Fixed_matrix operator-(const Fixed_matrix& b) const { return Fixed_matrix(*this) -= b; } Fixed_matrix operator*(const T& c) const { return Fixed_matrix(*this) *= c; } friend Fixed_matrix operator*(const T& c, const Fixed_matrix& a) { return a * c; } Fixed_matrix operator-() const { return Fixed_matrix(*this) *= T(-1); } // 行列ベクトル積 : O(n^2) array operator*(const array& x) const { array y{ 0 }; rep(i, n) rep(j, n) y[i] += v[i][j] * x[j]; return y; } // ベクトル行列積 : O(n^2) friend array operator*(const array& x, const Fixed_matrix& a) { array y{ 0 }; rep(i, n) rep(j, n) y[j] += x[i] * a[i][j]; return y; } // 積:O(n^3) Fixed_matrix operator*(const Fixed_matrix& b) const { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/1000 Fixed_matrix res; rep(i, n) rep(k, n) rep(j, n) res[i][j] += v[i][k] * b[k][j]; return res; } Fixed_matrix& operator*=(const Fixed_matrix& b) { *this = *this * b; return *this; } // 累乗:O(n^3 log d) Fixed_matrix pow(ll d) const { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2810 Fixed_matrix res(true), pow2(*this); while (d > 0) { if (d & 1) res *= pow2; pow2 *= pow2; d /= 2; } return res; } #ifdef _MSC_VER friend ostream& operator<<(ostream& os, const Fixed_matrix& a) { rep(i, n) { os << "["; rep(j, n) os << a[i][j] << " ]"[j == n - 1]; if (i < n - 1) os << "\n"; } return os; } #endif }; //【逆行列総積 モノイド】 /* verify: https://atcoder.jp/contests/arc025/tasks/arc025_4 */ constexpr int N020 = 6; using S020 = Fixed_matrix<__int128, N020>; S020 op020(S020 a, S020 b) { return b * a; } S020 e020() { return S020(1); } #define MatrixInvMul_monoid S020, op020, e020 //【文字列連結 モノイド】 using S007 = string; S007 op007(S007 a, S007 b) { return a + b; } S007 e007() { return ""; } #define Join_monoid S007, op007, e007 string zikken(ll n, ll m, ll a, ll b) { S007 f = "x", g = "y"; auto res = multiple_along_line(n, m, a, b, f, g); return res; } //【一次式の切り捨て和】O(log(n + m)) /* * Σi∈[0..n) floor((a i + b) / m) を返す. */ template T floor_sum_large(T n, T m, T a, T b) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_floor_of_linear //【方法】 // m < 0 なら a, b, m をそれぞれ -1 倍して m > 0 とする. // a = aq m + ar, b = bq m + br (0 ≦ ar, br < m) // と表すと, // Σi∈[0..n) floor((a i + b) / m) // = Σi∈[0..n) (floor((ar i + br) / m) + (aq i + bq)) // = Σi∈[0..n) floor((ar i + br) / m) + (aq n(n-1)/2 + bq n) // となるので 0 ≦ a < m, 0 ≦ b < m として一般性を失わない. // // 求めるべき値は,領域 // {(x, y) | 0 ≦ x < n かつ 0 < y ≦ (a x + b) / m} // に含まれる格子点の個数である.u1 = floor((a x + b) / m) とおき,変数変換 // v = n - x, u = u1 - y // を施すと,直線 y = (a x + b) / m の式は // u1 - u = (a (n - v) + b) / m // ⇔ m u1 - m u = a n - a v + b // ⇔ a v = m u + a n + b - m u1 // ⇔ v = (m u + (a n + b - m u1)) / a // と書き換えられるので,先の領域は // {(u, v) | 0 ≦ u < u1 かつ 0 < v ≦ (m u + (a n + b - m u1)) / a} // となる.ここに含まれる格子点の個数は // Σi∈[0..u1) floor((m i + (a n + b - m u1)) / a) // であり,分母を m からより小さい a に書き換えられた. // // 次のステップに進む前に m ← m mod a とするので,収束の速さはユークリッドの互除法と同じである. Assert(m != 0); if (n <= 0) return 0; T res = 0; // m < 0 の場合,分母分子を -1 倍して m > 0 とする. if (m < 0) { a *= -1; b *= -1; m *= -1; } // a を m だけ増減させた場合の影響は floor なしの和で計算できるので,0 ≦ a < m とする. res += (a / m - (T)(a % m < 0)) * (n * (n - 1) / 2); a = smod(a, m); // b を m だけ増減させた場合の影響は floor なしの和で計算できるので,0 ≦ b < m とする. res += (b / m - (T)(b % m < 0)) * n; b = smod(b, m); while (a > 0) { T nn = (a * n + b) / m; T nm = a; T na = m; T nb = a * n + b - m * nn; res += (na / nm) * (nn * (nn - 1) / 2); na %= nm; res += (nb / nm) * nn; nb %= nm; n = nn; m = nm; a = na; b = nb; } return res; } void Main() { ll n, m, a, b; cin >> n >> m >> a >> b; // dump(zikken(n - 1, m, a, b)); S020 f({ {1, 0, 0, 1, 0, 0}, // x {0, 1, 0, 0, 0, 0}, // y {0, 1, 1, 0, 1, 0}, // v1 {0, 0, 0, 1, 0, 0}, // 1 {0, 1, 0, 0, 1, 0}, // x y {0, 1, 0, 0, 0, 1} // v }); S020 g({ {1, 0, 0, 0, 0, 0}, // x {0, 1, 0, 1, 0, 0}, // y {1, 0, 1, 0, 0, 0}, // v1 {0, 0, 0, 1, 0, 0}, // 1 {1, 0, 0, 0, 1, 0}, // x y {0, 0, 0, 1, 0, 1} // v }); __int128 res = 0; auto h = multiple_along_line(n - 1, m, a, b, f, g); dump(h); res += 2 * h[2][3]; res += (1 - n) * h[5][3]; h = multiple_along_line(n - 1, m, a, 0, f, g); dump(h); res += h[2][3]; res += -n * h[5][3]; cout << (ll)res << "\n"; } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); int t = 1; cin >> t; // マルチテストケースの場合 while (t--) { dump("------------------------------"); Main(); } }