#if !defined(MYLOCAL)//提出時用テンプレート

#pragma GCC optimize("Ofast")
#if defined(NDEBUG)
#undef NDEBUG
#endif
#include "bits/stdc++.h"
#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;
#endif
using namespace std;
using ll=long long;
using dd=long double;
using pll=pair<ll,ll>;
using tll=tuple<ll,ll,ll>;
using qll=tuple<ll,ll,ll,ll>;
using ll2=array<ll,2>;
using ll3=array<ll,3>;
using ll4=array<ll,4>;
using namespace chrono;
constexpr ll INF = 1201001001001001001;
struct Fast{ Fast(){ cin.tie(0); ios::sync_with_stdio(false); cout<<fixed<<setprecision(numeric_limits<double>::max_digits10); } } fast;
#define EXPAND( x ) x//VS用おまじない
#define overload3(_1,_2,_3,name,...) name
#define overload4(_1,_2,_3,_4,name,...) name
#define overload5(_1,_2,_3,_4,_5,name,...) name
#define rep1(N)          for (ll dmyi = 0; dmyi < (N); dmyi++)
#define rep2(i, N)       for (ll i = 0; i < (N); i++)
#define rep3(i, S, E)    for (ll i = (S); i <= (E); i++)
#define rep4(i, S, E, t) for (ll i = (S); i <= (E); i+=(t))
#define rep(...) EXPAND(overload4(__VA_ARGS__,rep4,rep3,rep2,rep1)(__VA_ARGS__))
#define dep3(i, E, S)    for (ll i = (E); i >= (S); i--)
#define dep4(i, E, S, t) for (ll i = (E); i >= (S); i-=(t))
#define dep(...) EXPAND(overload4(__VA_ARGS__, dep4, dep3,_,_)(__VA_ARGS__))
#define ALL1(v)     (v).begin(),     (v).end()
#define ALL2(v,E)   (v).begin(),     (v).begin()+((E)+1)
#define ALL3(v,S,E) (v).begin()+(S), (v).begin()+((E)+1)
#define all(...) EXPAND(overload3(__VA_ARGS__, ALL3, ALL2, ALL1)(__VA_ARGS__))
#define RALL1(v)     (v).rbegin(),     (v).rend()
#define RALL2(v,E)   (v).rbegin(),     (v).rbegin()+((E)+1)
#define RALL3(v,S,E) (v).rbegin()+(S), (v).rbegin()+((E)+1)
#define rall(...) EXPAND(overload3(__VA_ARGS__, RALL3, RALL2, RALL1)(__VA_ARGS__))
template<class T> inline bool chmax(T &a, T b) { if (a < b) { a = b; return true; }return false; }
template<class T> inline bool chmin(T &a, T b) { if (a > b) { a = b; return true; }return false; }
template<class T> inline auto maxe(T &&v,ll S,ll E){ return *max_element(all(v,S,E)); }
template<class T> inline auto maxe(T &&v){ return *max_element(all(v)); }
template<class T> inline auto mine(T &&v,ll S,ll E){ return *min_element(all(v,S,E)); }
template<class T> inline auto mine(T &&v){ return *min_element(all(v)); }
template<class T,class U=typename remove_reference<T>::type::value_type>
inline U sum(T &&v,ll S,ll E) {return accumulate(all(v,S,E),U());}
template<class T> inline auto sum(T &&v) {return sum(v,0,v.end()-v.begin()-1);}
template<class T> inline ll sz(T &&v){ return (ll)v.size(); }
inline ll Ceil(ll a,ll b){ return (a<0) ? -(-a/b) : (a+b-1)/b; } //負もOK
inline ll Floor(ll a,ll b){ return -Ceil(-a,b); } //負もOK
inline ll Floormod(ll a,ll m){ return Floor(a,m)*m; } //負もOK
inline ll Ceilmod(ll a,ll m){ return Ceil(a,m)*m; } //負もOK
inline ll Mod(ll a,ll m){ ll r=a%m; if(r<0)r+=m; return r; } //負もOK
template<class T> inline T Pow(T a,ll n){ T r=1; for(; n>0; n>>=1,a*=a){ if(n&1)r*=a; } return r; }
inline ll Pow(int a,ll n){ return Pow((ll)a,n); }
inline ll limitmul(ll a,ll b,ll u){ return b==0||a<=u/b ? a*b : u; }//min(a*b,u) a,b,u≧0

//pair用テンプレート
template<class T,class S> inline pair<T,S>& operator+=(pair<T,S> &a,const pair<T,S> &b){ a.first+=b.first; a.second+=b.second; return a; }
template<class T,class S> inline pair<T,S>& operator-=(pair<T,S> &a,const pair<T,S> &b){ a.first-=b.first; a.second-=b.second; return a; }
template<class T,class S> inline pair<T,S>& operator*=(pair<T,S> &a,const pair<T,S> &b){ a.first*=b.first; a.second*=b.second; return a; }
template<class T,class S> inline pair<T,S>& operator/=(pair<T,S> &a,const pair<T,S> &b){ a.first/=b.first; a.second/=b.second; return a; }
template<class T,class S> inline pair<T,S>& operator%=(pair<T,S> &a,const pair<T,S> &b){ a.first%=b.first; a.second%=b.second; return a; }
template<class T,class S,class R> inline pair<T,S>& operator+=(pair<T,S> &a,R b){ a.first+=b; a.second+=b; return a; }
template<class T,class S,class R> inline pair<T,S>& operator-=(pair<T,S> &a,R b){ a.first-=b; a.second-=b; return a; }
template<class T,class S,class R> inline pair<T,S>& operator*=(pair<T,S> &a,R b){ a.first*=b; a.second*=b; return a; }
template<class T,class S,class R> inline pair<T,S>& operator/=(pair<T,S> &a,R b){ a.first/=b; a.second/=b; return a; }
template<class T,class S,class R> inline pair<T,S>& operator%=(pair<T,S> &a,R b){ a.first%=b; a.second%=b; return a; }
template<class T,class S,class R> inline pair<T,S> operator+(const pair<T,S> &a,R b){ pair<T,S> c=a; return c+=b; }
template<class T,class S,class R> inline pair<T,S> operator-(const pair<T,S> &a,R b){ pair<T,S> c=a; return c-=b; }
template<class T,class S,class R> inline pair<T,S> operator*(const pair<T,S> &a,R b){ pair<T,S> c=a; return c*=b; }
template<class T,class S,class R> inline pair<T,S> operator/(const pair<T,S> &a,R b){ pair<T,S> c=a; return c/=b; }
template<class T,class S,class R> inline pair<T,S> operator%(const pair<T,S> &a,R b){ pair<T,S> c=a; return c%=b; }
template<class T,class S,class R> inline pair<T,S> operator-(R b,const pair<T,S> &a){ pair<T,S> c=-a; return c+=b; }
template<class T,class S> inline pair<T,S> operator-(const pair<T,S> &a,const pair<T,S> &b){ pair<T,S> c=a; return c-=b; }
template<class T,class S> inline pair<T,S> operator-(const pair<T,S> &a){ pair<T,S> c=a; return c*=(-1); }
template<class T,class S> inline ostream &operator<<(ostream &os,const pair<T,S> &a){ return os << a.first << ' ' << a.second; }

//tuple用テンプレート 出力用のみ
template<class T,class S,class R> inline ostream &operator<<(ostream &os,const tuple<T,S,R> &a){ return os << get<0>(a) << ' ' << get<1>(a) << ' ' << get<2>(a); }
template<class T,class S,class R,class Q> inline ostream &operator<<(ostream &os,const tuple<T,S,R,Q> &a){ return os << get<0>(a) << ' ' << get<1>(a) << ' ' << get<2>(a) << ' ' << get<3>(a); }

//vector用テンプレート
template<class T> inline ostream &operator<<(ostream &os,const vector<T> &a){ for (ll i=0; i<(ll)a.size(); i++) os<<(i>0?" ":"")<<a[i];  return os; }

//array用テンプレート
template<class T,size_t S> inline array<T,S>& operator+=(array<T,S> &a,const array<T,S> &b){ for (ll i=0; i<(ll)S; i++) a[i]+=b[i];  return a; }
template<class T,size_t S> inline array<T,S>& operator-=(array<T,S> &a,const array<T,S> &b){ for (ll i=0; i<(ll)S; i++) a[i]-=b[i];  return a; }
template<class T,size_t S> inline array<T,S>& operator*=(array<T,S> &a,const array<T,S> &b){ for (ll i=0; i<(ll)S; i++) a[i]*=b[i];  return a; }
template<class T,size_t S> inline array<T,S>& operator/=(array<T,S> &a,const array<T,S> &b){ for (ll i=0; i<(ll)S; i++) a[i]/=b[i];  return a; }
template<class T,size_t S> inline array<T,S>& operator%=(array<T,S> &a,const array<T,S> &b){ for (ll i=0; i<(ll)S; i++) a[i]%=b[i];  return a; }
template<class T,size_t S,class R> inline array<T,S>& operator+=(array<T,S> &a,R b){ for (T &e: a) e+=b;  return a; }
template<class T,size_t S,class R> inline array<T,S>& operator-=(array<T,S> &a,R b){ for (T &e: a) e-=b;  return a; }
template<class T,size_t S,class R> inline array<T,S>& operator*=(array<T,S> &a,R b){ for (T &e: a) e*=b;  return a; }
template<class T,size_t S,class R> inline array<T,S>& operator/=(array<T,S> &a,R b){ for (T &e: a) e/=b;  return a; }
template<class T,size_t S,class R> inline array<T,S>& operator%=(array<T,S> &a,R b){ for (T &e: a) e%=b;  return a; }
template<class T,size_t S,class R> inline array<T,S> operator+(const array<T,S> &a,R b){ array<T,S> c=a; return c+=b; }
template<class T,size_t S,class R> inline array<T,S> operator-(const array<T,S> &a,R b){ array<T,S> c=a; return c-=b; }
template<class T,size_t S,class R> inline array<T,S> operator*(const array<T,S> &a,R b){ array<T,S> c=a; return c*=b; }
template<class T,size_t S,class R> inline array<T,S> operator/(const array<T,S> &a,R b){ array<T,S> c=a; return c/=b; }
template<class T,size_t S,class R> inline array<T,S> operator%(const array<T,S> &a,R b){ array<T,S> c=a; return c%=b; }
template<class T,size_t S,class R> inline array<T,S> operator-(R b,const array<T,S> &a){ array<T,S> c=-a; return c+=b; }
template<class T,size_t S> inline array<T,S> operator-(const array<T,S> &a,const array<T,S> &b){ array<T,S> c=a; return c-=b; }
template<class T,size_t S> inline array<T,S> operator-(const array<T,S> &a){ array<T,S> c=a; return c*=(-1); }
template<class T,size_t S> inline ostream &operator<<(ostream &os,const array<T,S> &a){ for (ll i=0; i<(ll)S; i++) os<<(i>0?" ":"")<<a[i];  return os; }

inline struct{
  system_clock::time_point st = system_clock::now();
  ll operator()()const{return duration_cast<microseconds>(system_clock::now()-st).count()/1000;}
} timeget;

struct cinutil{
  template<class T> static void cin1core(T &a){ cin>>a; }
  template<class T,class S> static void cin1core(pair<T,S> &a){
    cin1core(a.first), cin1core(a.second);
  }
  template<class... Args> static void cin1core(tuple<Args...> &a){
    cinTplRec<tuple<Args...>,sizeof...(Args)-1>()(a);
  }
  template<class T,size_t N>
  static void cin1core(array<T,N> &a){for(int i=0;i<(int)N;++i) cin>>a[i];}
private:
  template<class Tpl,int i> struct cinTplRec{
    void operator()(Tpl &a){ cinTplRec<Tpl,i-1>()(a); cin1core(get<i>(a)); }
  };
  template<class Tpl> struct cinTplRec<Tpl,0>{
    void operator()(Tpl &a){ cin1core(get<0>(a)); }
  };
};
template<class T> T cin1(){ T a; cinutil::cin1core(a); return a; }
template<class... Args> tuple<Args...> cins(){ return cin1<tuple<Args...>>(); }


template<long long MOD> struct mll_{
  using Int = long long;
  using ll = long long;
  ll val_=0;
  /*---- utility ----*/
  mll_ &norm(){ return normR().normS(); }//正規化
  mll_ &normR(){ val_%=MOD; return *this; }//剰余正規化のみ
  mll_ &normS(){ if (val_<0) val_+=MOD; return *this; }//正負正規化のみ
  mll_ &normP(){ if (val_>=MOD) val_-=MOD; return *this; }//加算時正規化
  mll_ &invsg(){ val_=-val_; return normS(); }//正負反転
  ll modinv(int a){//a^-1 mod MOD
    int ypre=0,y=1,apre=MOD;
    while (a>1){
      int t=apre/a;
      apre-=a*t,swap(a,apre);
      ypre-=y*t,swap(y,ypre);
    }
    return y<0 ? y+MOD: y;
  }
  /*---- I/F ----*/
  mll_(){}
  mll_(ll v): val_(v){ norm(); }
  mll_(ll v,bool b): val_(v){} //正規化無のコンストラクタ
  Int val()const{ return (Int)val_; }
  bool isnone() const { return val_==-1; } //true:値なし
  mll_ &none() { val_=-1; return *this; } //値なしにする
  mll_ &inv(){ val_=modinv((int)val_); return *this; }
  mll_ &operator+=(mll_ b){ val_+=b.val_; return normP(); }
  mll_ &operator-=(mll_ b){ val_-=b.val_; return normS(); }
  mll_ &operator*=(mll_ b){ val_*=b.val_; return normR(); }
  mll_ &operator/=(mll_ b){ return *this*=b.inv(); }
  mll_ &operator+=(ll b){ return *this+=mll_(b); }
  mll_ &operator-=(ll b){ return *this-=mll_(b); }
  mll_ &operator*=(ll b){ return *this*=mll_(b); }
  mll_ &operator/=(ll b){ return *this/=mll_(b); }
  mll_ &operator--(int){ return *this-=1; }
  mll_ &operator++(int){ return *this+=1; }
  mll_ operator-()const{ return mll_(*this).invsg(); }
  mll_ operator+(mll_ b)const{ return mll_(*this)+=b; }
  mll_ operator-(mll_ b)const{ return mll_(*this)-=b; }
  mll_ operator*(mll_ b)const{ return mll_(*this)*=b; }
  mll_ operator/(mll_ b)const{ return mll_(*this)/=b; }
  mll_ operator+(ll b)const{ return mll_(*this)+=b; }
  mll_ operator-(ll b)const{ return mll_(*this)-=b; }
  mll_ operator*(ll b)const{ return mll_(*this)*=b; }
  mll_ operator/(ll b)const{ return mll_(*this)/=b; }
  friend mll_ operator+(ll a,mll_ b){ return b+a; }
  friend mll_ operator-(ll a,mll_ b){ return -b+a; }
  friend mll_ operator*(ll a,mll_ b){ return b*a; }
  friend mll_ operator/(ll a,mll_ b){ return mll_(a)/b; }
  bool operator==(mll_ b)const{ return val_==b.val_; }
  bool operator!=(mll_ b)const{ return val_!=b.val_; }
  bool operator==(ll b)const{ return *this==mll_(b); }
  bool operator!=(ll b)const{ return *this!=mll_(b); }
  friend bool operator==(ll a,mll_ b){ return mll_(a)==b; }
  friend bool operator!=(ll a,mll_ b){ return mll_(a)!=b; }
  friend ostream &operator<<(ostream &os,mll_  a){ return os << a.val_; }
  friend istream &operator>>(istream &is,mll_ &a){ return is >> a.val_; }
  mll_ pow(ll k)const{
    mll_ ret(1,false),a(*this);
    for (; k>0; k>>=1,a*=a) if (k&1)ret*=a;
    return ret;
  }
  static constexpr int mod() { return MOD; }
  //enum{ modll=MOD };
};


struct bll{
  ll s=0;
  bll(ll s_=0): s(s_){}
  bll(int s_): s(s_){}
  bll(const string &bitstr): s(str2val(bitstr)){}
  bll(const char   *bitstr): s(str2val(bitstr)){}
  struct ref {
    bll &b; const ll msk;
    ref(bll &b_,ll pos):b(b_),msk(1LL<<pos){}
    operator ll() const { return (b.s&msk)!=0; }
    ref &operator=(bool x){ if(x) b.s|=msk; else b.s&=~msk; return *this; }
  };
  ref operator[](ll pos){ return ref(*this,pos); }
  ll operator[](ll pos) const { return (s>>pos)&1; }
  bll &operator=(int b){ s=b; return *this; }
  bll &operator=(ll  b){ s=b; return *this; }
  bll &operator=(const string &bitstr){ s=str2val(bitstr); return *this; }
  bll &operator=(const char   *bitstr){ s=str2val(bitstr); return *this; }
  bll operator++(int){ bll b(*this); s++; return b; }
  bll operator--(int){ bll b(*this); s--; return b; }
  operator ll() const noexcept { return s; }
  bll &operator&=(ll b){ s&=b; return *this; }
  bll &operator|=(ll b){ s|=b; return *this; }
  bll &operator^=(ll b){ s^=b; return *this; }
  bll &operator+=(ll b){ s+=b; return *this; }
  bll &operator-=(ll b){ s-=b; return *this; }
  bll &operator<<=(ll i){ s<<=i; return *this; }
  bll &operator>>=(ll i){ s>>=i; return *this; }
  bll operator&(ll b)const{ return s&b; }
  bll operator|(ll b)const{ return s|b; }
  bll operator^(ll b)const{ return s^b; }
  bll operator+(ll b)const{ return s+b; }
  bll operator-(ll b)const{ return s-b; }
  bll operator<<(ll i)const{ return s<<i; }
  bll operator>>(ll i)const{ return s>>i; }
  bll operator&(int b)const{ return s&b; }
  bll operator|(int b)const{ return s|b; }
  bll operator^(int b)const{ return s^b; }
  bll operator+(int b)const{ return s+b; }
  bll operator-(int b)const{ return s-b; }
  bll operator<<(int i)const{ return s<<i; }
  bll operator>>(int i)const{ return s>>i; }
  bll operator~()const{ return ~s; }
  bll &oneq  (bll msk){ s|= msk.s; return *this; }
  bll &offeq (bll msk){ s&=~msk.s; return *this; }
  bll &flipeq(bll msk){ s^= msk.s; return *this; }
  bll on   (bll msk)const{ return bll(s).oneq  (msk); }
  bll off  (bll msk)const{ return bll(s).offeq (msk); }
  bll flip (bll msk)const{ return bll(s).flipeq(msk); }
  bool any0(bll msk)const{ return ~s&msk.s; }
  bool any1(bll msk)const{ return  s&msk.s; }
  bool all0(bll msk)const{ return !any1(msk); }
  bool all1(bll msk)const{ return !any0(msk); }
  bll &oneq  (ll l,ll r){ return oneq  (rngmsk(l,r)); }
  bll &offeq (ll l,ll r){ return offeq (rngmsk(l,r)); }
  bll &flipeq(ll l,ll r){ return flipeq(rngmsk(l,r)); }
  bll on   (ll l,ll r)const{ return on  (rngmsk(l,r)); }
  bll off  (ll l,ll r)const{ return off (rngmsk(l,r)); }
  bll flip (ll l,ll r)const{ return flip(rngmsk(l,r)); }
  bool any0(ll l,ll r)const{ return any0(rngmsk(l,r)); }
  bool any1(ll l,ll r)const{ return any1(rngmsk(l,r)); }
  bool all0(ll l,ll r)const{ return all0(rngmsk(l,r)); }
  bool all1(ll l,ll r)const{ return all1(rngmsk(l,r)); }
  bll &maskeq(ll l,ll r){ s&=rngmsk(l,r); return *this; }
  bll mask(ll l,ll r)const{ return bll(s).maskeq(l,r); }
  bll &oneq  (ll i){ s|= (1LL<<i); return *this; }
  bll &offeq (ll i){ s&=~(1LL<<i); return *this; }
  bll &flipeq(ll i){ s^= (1LL<<i); return *this; }
  bll on  (ll i)const{ return s| (1LL<<i); }
  bll off (ll i)const{ return s&~(1LL<<i); }
  bll flip(ll i)const{ return s^ (1LL<<i); }
  bool contains(ll b)const{ return (s&b)==b; }
  bll substr(ll l,ll r)const{ return (s&rngmsk(l,r))>>r; }
  static bll rngmsk(ll l,ll r){ return (1LL<<(l+1))-(1LL<<r); }
  ll msbit()const{
    for(ll x=63,o=-1;;){
      ll m=(x+o)/2;
      if((1LL<<m)<=s) o=m; else x=m;
      if(x-o==1) return o;
    }
  }
  ll lsbit()const{ return bll(lsb()).msbit(); }
  ll msb()const{ ll pos=msbit(); return (pos<0) ? 0LL : 1LL<<pos; }
  ll lsb()const{ return s&-s; }
  ll count()const{ return bitset<64>(s).count(); }
  ll count(bll msk)const{ return (msk&s).count(); }
  ll count(ll l,ll r)const{ return mask(l,r).count(); }
  vector<ll> idxes()const{
    vector<ll> v;
    for(ll i=0,t=s; t; t>>=1,i++) if(t&1)v.push_back(i);
    return v;
  }
  string to_string(ll wd=-1)const{
    wd=max({wd,msbit()+1,1LL});
    string ret;
    for(ll i=wd-1;i>=0;--i) ret += '0'+char((s>>i)&1);
    return ret;
  }
private:
  ll str2val(const string &bitstr){
    ll val=0, len=(ll)bitstr.size();
    for(ll i=0;i<len;++i) val|=ll(bitstr[i]-'0')<<(len-1-i);
    return val;
  }
};


template<class T> struct SET: set<T>{
  using P=set<T>;
  typename P::iterator it=P::end();
  template<class...Args> SET(Args...args): P(args...){}
  SET(initializer_list<T> a): P(a.begin(),a.end()){}
  ll size() const { return (ll)P::size(); }
  bool insert(const T &x){ bool r; tie(it,r)=P::insert(x); return r; }
  template <class It> void insert(It st,It en){ P::insert(st,en); }
  void insert(initializer_list<T> a){ P::insert(a.begin(),a.end()); }
  template<class...A> bool emplace(A&&...a){ bool r; tie(it,r)=P::emplace(a...); return r; }
  void eraseit(){ it=P::erase(it); }
  void find(const T &x){ it=P::find(x); }
  bool contains(const T &x){ return P::count(x)==1; }
  void lower_bound(const T &x){ it=P::lower_bound(x); }
  void upper_bound(const T &x){ it=P::upper_bound(x); }
  bool isend() { return it==P::end(); }
  T getit() { return *it; }
  T next() { return *(++it); }
  T prev() { return *(--it); }
  bool nextok() { return !isend() && it!=--P::end(); }
  bool prevok() { return it!=P::begin(); }
  T front() { return *(it=P::begin()); }
  T back()  { return *(it=--P::end()); }
  void pop_front(){ front(); eraseit(); }
  void pop_back(){ back(); eraseit(); }
  void push_front(const T &x){ it=P::insert(P::begin(),x); }
  void push_back (const T &x){ it=P::insert(P::end(),x); }
  void push_out(SET &b){ b.push_front(back()); pop_back(); }
  void pull_in(SET &b){ push_back(b.front()); b.pop_front(); }
};


template<class T> struct cumulativesum{
  using Int = long long;
  using ll = long long;
  ll n=0;  vector<T> c;
  cumulativesum():c(1){}
  template<class S> cumulativesum(S &&v): n((ll)v.size()),c(n+1) { Ini(v); }
  template<class S> void init(S &&v){ n=(ll)v.size(); c.resize(n+1); Ini(v); }
  void add(T x) { n++; c.push_back(c.back()+x); }
  T operator()(Int l,Int r){ return c[max(min(n,r+1),0LL)]-c[min(max(0LL,l),n)]; }
  pair<Int,T> group(T i){
    ll g=upper_bound(c.begin(),c.end(),i)-c.begin()-1;
    T r = g>=0 ? i-c[g] : i;
    return {g,r};
  }
  T mx(){//区間和max
    T mn=T(),samx=0;
    for(ll i=1;i<=n;++i){
      chmax(samx,c[i]-mn);
      chmin(mn,c[i]);
    }
    return samx;
  }
  template<class S> void Ini(S &&v) { for(ll i=0;i<n;++i) c[i+1]=c[i]+v[i]; }
};
template<class S> cumulativesum(S) -> cumulativesum<typename remove_reference<S>::type::value_type>;


template<class T> vector<T> powers(T m,ll n){
  vector<T> ret(n+1,1);
  for(ll i=1;i<=n;++i) ret[i]=ret[i-1]*m;
  return ret;
}


template <class T> auto runlength(T &&v){
  vector<pair<typename remove_reference<T>::type::value_type,ll>> ret;
  for(auto&&e:v){
    if(ret.empty() or ret.back().first!=e) ret.emplace_back(e,1);
    else ret.back().second++;
  }
  return ret;
}


inline vector<ll> str2num(string &s,char base,const string &etc){
  vector<ll>  v(s.size());
  for(ll i=0;i<(ll)s.size();++i){
    size_t pos=etc.find(s[i]);
    if(pos==etc.npos) v[i]=s[i]-(ll)base;
    else v[i]=-((ll)pos+1);
  }
  return v;
}


template<class T> struct combination{
  vector<T> f,g; ll mxN=0;
  combination(){}
  combination(ll maxN): f(maxN+1,1),g(maxN+1),mxN(maxN) {
    for (ll i=1;i<=mxN;++i) { f[i]=f[i-1]*i; }
    g[mxN]=1/f[mxN];
    for (ll i=mxN;i>=1;--i) { g[i-1]=g[i]*i; }
  }
  T P(ll n,ll r){ return (n<0 || r<0 || n<r) ? T(0) : f[n]*g[n-r]; } //nPr
  T H(ll n,ll r){ return operator()(n+r-1,n-1); }//nHr
  T inv(ll n) { return f[n-1] * g[n]; } //1/n
  T fact(ll n) { return f[n]; } //n!
  T finv(ll n) { return g[n]; } //1/n!
  T operator()(ll n,ll r){
    if (r<0) return 0;
    if (n<0) return operator()(-n+r-1,r) * ((r&1)?-1:1); //-nＣr = (-1)^r * n+r-1Ｃr
    if (n<r) return 0;
    if (n<=mxN) return f[n]*g[n-r]*g[r]; //通常
    //n巨大、rかn-r小
    if (n-r<r) r=n-r;
    T bunsi=1,bunbo=1;
    for (ll i=0;i<r;++i) bunsi*=n-i;
    for (ll i=0;i<r;++i) bunbo*=i+1;
    return bunsi/bunbo;
  }
  template<class SP>
  vector<T> CnLnR(long long nL,long long nR,long long r,SP sp){
    if (nR-nL+1<=0) return vector<T>();
    if (r<0) return vector<T>(nR-nL+1,0);
    vector<T> v=sp(nL-r+1,nR-r+1,r);
    for (T& e: v) e*=finv(r);
    return v;
  }
  template<class SP>
  vector<T> HrLrR(long long n,long long rL,long long rR,SP sp){//r<0不可
    return CnLnR(n-1+rL,n-1+rR,n-1,sp);
  }
};


template<class T> struct wrapVector1d{
  using S=typename T::value_type;
  using Int = long long;
  const T *v;
  S Ini;
  wrapVector1d(const T &v_,S ini_=S()):v(&v_),Ini(ini_){}
  S operator[](Int i)const{ return (i<0 || (Int)v->size()<=i) ? Ini : (*v)[i]; }
};
template<class T> struct wrapVector2d{
  using S=typename T::value_type;
  using Int = long long;
  const vector<T> *v;
  S Ini;
  T dmy;
  wrapVector2d(const vector<T> &v_,S ini_=S()):v(&v_),Ini(ini_){}
  wrapVector1d<T> operator[](ll i)const{
    return (i<0 || (Int)v->size()<=i) ?
      wrapVector1d(dmy,Ini) : wrapVector1d((*v)[i],Ini);
  }
};


namespace dumpstring{//dummy
struct args{
  using Int = long long;
  args(){}
  args &wd(Int wd__){ (void)wd__; return *this; }
  template<size_t DIM> args &rngs(array<array<Int,DIM>,2> rngs){ return *this; }
  args &tr(vector<Int> tr__){ (void)tr__; return *this; }
  args &tr(){ return *this; }
  args &labels(vector<string> labels__){ (void)labels__; return *this; }
  args &xrev(){ return *this; }
  args &yrev(){ return *this; }
  args &zrev(){ return *this; }
  args &wrev(){ return *this; }
};
template<class NdT>
void dumpNd(const string &h,const NdT &fd,const args &p=args(),ostream &os=cerr){}
};
using dumpstring::args; using dumpstring::dumpNd;

#endif//テンプレートend


template<class T> struct Vector: vector<T>{
  using Int = long long;
  using vT=vector<T>;
  using cvT=const vector<T>;
  using cT=const T;
  using vT::vT; //親クラスのコンストラクタの隠蔽を回避
  using vT::begin,vT::end,vT::insert,vT::erase;
  auto it(Int i){ return begin()+i; }
  auto it(Int i)const{ return begin()+i; }
  Vector(cvT& b):vT(b){}
  Vector(vT&& b):vT(move(b)){}
  Vector(int n,cT& x):vT(n,x){}// ┬ 型推論のためラッパー
  Vector(long long n,cT& x):vT(n,x){}
  template<class S> Vector(const Vector<S>& b):vT(b.begin(),b.end()){}
  template<class S> Vector(const vector<S>& b):vT(b.begin(),b.end()){}
  Vector(Int n,T s,T d){ iota(n,s,d); }
  Vector(Int n,function<T(Int)> g):vT(n){ for(Int i=0;i<n;++i) (*this)[i]=g(i); }
  Vector &operator+=(cvT &b){ assert(size()==b.size()); for(Int i=0;i<size();++i) (*this)[i]+=b[i]; return *this; }
  Vector &operator-=(cvT &b){ assert(size()==b.size()); for(Int i=0;i<size();++i) (*this)[i]-=b[i]; return *this; }
  Vector &operator*=(cvT &b){ assert(size()==b.size()); for(Int i=0;i<size();++i) (*this)[i]*=b[i]; return *this; }
  Vector &operator/=(cvT &b){ assert(size()==b.size()); for(Int i=0;i<size();++i) (*this)[i]/=b[i]; return *this; }
  Vector &operator%=(cvT &b){ assert(size()==b.size()); for(Int i=0;i<size();++i) (*this)[i]%=b[i]; return *this; }
  Vector &operator+=(const Vector<T> &b){ return *this+=(cvT&)b; }
  Vector &operator-=(const Vector<T> &b){ return *this-=(cvT&)b; }
  Vector &operator*=(const Vector<T> &b){ return *this*=(cvT&)b; }
  Vector &operator/=(const Vector<T> &b){ return *this/=(cvT&)b; }
  Vector &operator%=(const Vector<T> &b){ return *this%=(cvT&)b; }
  Vector operator+(cvT &b){ return Vector(*this)+=b; }
  Vector operator-(cvT &b){ return Vector(*this)-=b; }
  Vector operator*(cvT &b){ return Vector(*this)*=b; }
  Vector operator/(cvT &b){ return Vector(*this)/=b; }
  Vector operator%(cvT &b){ return Vector(*this)%=b; }
  Vector operator+(const Vector<T> &b){ return Vector(*this)+=b; }
  Vector operator-(const Vector<T> &b){ return Vector(*this)-=b; }
  Vector operator*(const Vector<T> &b){ return Vector(*this)*=b; }
  Vector operator/(const Vector<T> &b){ return Vector(*this)/=b; }
  Vector operator%(const Vector<T> &b){ return Vector(*this)%=b; }
  template<class S> Vector &operator+=(S x){ for(T &e: *this) e+=x;  return *this; }
  template<class S> Vector &operator-=(S x){ for(T &e: *this) e-=x;  return *this; }
  template<class S> Vector &operator*=(S x){ for(T &e: *this) e*=x;  return *this; }
  template<class S> Vector &operator/=(S x){ for(T &e: *this) e/=x;  return *this; }
  template<class S> Vector &operator%=(S x){ for(T &e: *this) e%=x;  return *this; }
  template<class S> Vector operator+(S x)const{ return Vector(*this)+=x; }
  template<class S> Vector operator-(S x)const{ return Vector(*this)-=x; }
  template<class S> Vector operator*(S x)const{ return Vector(*this)*=x; }
  template<class S> Vector operator/(S x)const{ return Vector(*this)/=x; }
  template<class S> Vector operator%(S x)const{ return Vector(*this)%=x; }
  Vector &operator--(int){ return *this-=T(1); }
  Vector &operator++(int){ return *this+=T(1); }
  Vector operator-()const{ return Vector(*this)*=-1; }
  template<class S> friend Vector operator-(S x,const Vector &a){ return -a+=x; }
  Vector slice(Int l,Int r,Int d=1)const{
    Vector ret;
    for(Int i=l;(d>0&&i<=r)||(d<0&&r<=i);i+=d) ret.push_back((*this)[i]);
    return ret;
  }
  Int size()const{ return (Int)vT::size(); }
  Vector &push_back(cT& x,Int n=1){ for(Int i=0;i<n;++i){ vT::push_back(x); } return *this; }
  Vector &pop_back(Int n=1){ for(Int i=0;i<n;++i){ vT::pop_back(); } return *this; }
  Vector &push_front(cT& x,Int n=1){ this->insert(0,x,n); return *this; }
  Vector &pop_front(Int n=1){ erase(0,n-1); return *this; }
  T pull_back(){ T x=move(vT::back()); vT::pop_back(); return x; }
  T pull_front(){ T x=move(vT::front()); erase(0); return x; }
  Vector &insert(Int i,cT& x,Int n=1){ insert(it(i),n,x); return *this; }
  Vector &insert(Int i,cvT& b){ insert(it(i),b.begin(),b.end()); return *this; }
  Vector &erase(Int i){ erase(it(i)); return *this; }
  Vector &erase(Int l,Int r){ erase(it(l),it(r+1)); return *this; }
  Vector &concat(cvT &b,Int n=1){
    cvT B = (&b==this) ? *this : vT{};
    for(int i=0;i<n;++i) this->insert(size(),(&b==this)?B:b);
    return *this;
  }
  Vector repeat(Int n){ return Vector{}.concat(*this,n); }
  Vector &reverse(Int l=0,Int r=-1){ r+=r<0?size():0; std::reverse(it(l),it(r+1)); return *this; }
  Vector &rotate(Int m){ return rotate(0,size()-1,m); }
  Vector &rotate(Int l,Int r,Int m){ std::rotate(it(l),it(m),it(r+1)); return *this; }
  Vector &sort(Int l=0,Int r=-1){ r+=r<0?size():0; std::sort(it(l),it(r+1)); return *this; }
  Vector &rsort(Int l=0,Int r=-1){ return sort(l,r).reverse(l,r); }
  template<class Pr> Vector &sort(Pr pr){ return sort(0,size()-1,pr); }
  template<class Pr> Vector &sort(Int l,Int r,Pr pr){ std::sort(it(l),it(r+1),pr); return *this; }
  Vector &uniq(){ erase(unique(begin(),end()),end()); return *this; }
  Vector &sortq(){ return sort().uniq(); }
  Vector &fill(cT& x){ return fill(0,size()-1,x); }
  Vector &fill(Int l,Int r,cT& x){ std::fill(it(l),it(r+1),x); return *this; }
  template<class S=Int> Vector &iota(Int n,T s=0,S d=1){
    vT::resize(n);
    if(n==0) return *this;
    (*this)[0]=s;
    for(int i=1;i<n;++i) (*this)[i]=(*this)[i-1]+d;
    return *this;
  }
  Int count(cT& x)const{ return count(0,size()-1,x); }
  Int count(Int l,Int r,cT& x)const{ return Int(std::count(it(l),it(r+1),x)); }
  template<class Pr> Int countif(Pr pr)const{ return countif(0,size()-1,pr); }
  template<class Pr> Int countif(Int l,Int r,Pr pr)const{ return Int(count_if(it(l),it(r+1),pr)); }
  Int find(cT& x)const{ return find(0,size()-1,x); }
  Int find(Int l,Int r,cT& x)const{ return Int(std::find(it(l),it(r+1),x)-begin()); }
  template<class Pr> Int findif(Pr pr)const{ return findif(0,size()-1,pr); }
  template<class Pr> Int findif(Int l,Int r,Pr pr)const{ return Int(find_if(it(l),it(r+1),pr)-begin()); }
  Vector<Int> findall(cT& x)const{ return findall(0,size()-1,x); }
  Vector<Int> findall(Int l,Int r,cT& x)const{ return findallif(l,r,[&](cT& y){return y==x;}); }
  template<class Pr> Vector<Int> findallif(Pr pr)const{ return findallif(0,size()-1,pr); }
  template<class Pr> Vector<Int> findallif(Int l,Int r,Pr pr)const{
    Vector<Int> ret;
    for(Int i=l;i<=r;++i) if(pr((*this)[i])) ret.push_back(i);
    return ret;
  }
  Int  flooridx(cT& x)const{ return Int(upper_bound(begin(),end(),x)-begin()-1); }
  Int   ceilidx(cT& x)const{ return Int(lower_bound(begin(),end(),x)-begin()); }
  Int  leftnmof(cT& x)const{ return flooridx(x)+1; }
  Int rightnmof(cT& x)const{ return size()-ceilidx(x); }
  bool contains(cT& x)const{ Int i=flooridx(x); return i>=0 && (*this)[i]==x; }
  template<class Pr> Int  flooridx(cT& x,Pr pr)const{ return Int(upper_bound(begin(),end(),x,pr)-begin()-1); }
  template<class Pr> Int   ceilidx(cT& x,Pr pr)const{ return Int(lower_bound(begin(),end(),x,pr)-begin()); }
  template<class Pr> Int  leftnmof(cT& x,Pr pr)const{ return flooridx(x,pr)+1; }
  template<class Pr> Int rightnmof(cT& x,Pr pr)const{ return size()-ceilidx(x,pr); }
  template<class Pr> bool contains(cT& x,Pr pr)const{ Int i=flooridx(x,pr); return i>=0 && (*this)[i]==x; }

  template<class S> using VV    = Vector<Vector<S>>; template<class S> using sVV    = vector<vector<S>>;
  template<class S> using VVV   = Vector<VV<S>>;     template<class S> using sVVV   = vector<sVV<S>>;
  template<class S> using VVVV  = Vector<VVV<S>>;    template<class S> using sVVVV  = vector<sVVV<S>>;
  template<class S> using VVVVV = Vector<VVVV<S>>;   template<class S> using sVVVVV = vector<sVVVV<S>>;
  auto tostd()const{ return tov(*this); }
  template <class S> static vector<S> tov(const Vector<S>&v){ return v; }
  template <class S> static sVV<S>    tov(const VV<S>    &v){ sVV<S>    ret; for(auto&& e:v) ret.push_back(e);         return ret; }
  template <class S> static sVVV<S>   tov(const VVV<S>   &v){ sVVV<S>   ret; for(auto&& e:v) ret.push_back(e.tostd()); return ret; }
  template <class S> static sVVVV<S>  tov(const VVVV<S>  &v){ sVVVV<S>  ret; for(auto&& e:v) ret.push_back(e.tostd()); return ret; }
  template <class S> static sVVVVV<S> tov(const VVVVV<S> &v){ sVVVVV<S> ret; for(auto&& e:v) ret.push_back(e.tostd()); return ret; }
};
/*
vll a={9,8,7},b={1,2,3};
vpll p={{5,3},{7,8},{0,2},};
- -------- 操作系 --------
a+=x a-=x a*=x a/=x a%=x a+x a-x a*x a/x a%x -a x-a a++ a--  //∀i a[i]にxを演算
a+=b a-=b a*=b a/=b a%=b a+b a-b a*b a/b a%b  //要素毎演算(同サイズ時)
a.push_front(x,n); //n個先頭追加 省略時1
a.push_back(x,n);  //n個末尾追加 省略時1
a.pop_front(n);    //n個先頭削除 省略時1
a.pop_back(n);     //n個末尾削除 省略時1
ll x=a.pull_front(); //pop_front()と同時に値取得
ll x=a.pull_back();  //pop_back()と同時に値取得
a.insert(i,x,n); //a[i]にn個x挿入  n省略時1
a.insert(i,b);   //a[i]にvll b挿入
a.erase(i);      //a[i]削除
a.erase(l,r);    //区間[l,r]削除
a.concat(b);     //aにbを結合 b=a可
a.concat(b,n);   //aにbをn回結合 b=a可
a.reverse(l,r);  //[l,r]を反転       l,r省略可
a.rotate(m);     //a[m]を先頭にするrotate
a.rotate(l,r,m); //a[m]を先頭にするrotate 範囲[l,r]
a.sort(l,r);     //[l,r]をソート     l,r省略可
a.rsort(l,r);    //[l,r]を逆順ソート l,r省略可
p.sort(l,r,[&](pll x,pll y){return x.second<y.second;});//比較関数指定sort l,r省略可
a.uniq();      //連続同値を1つにする
a.sortq();     //ソートしてユニーク
a.fill(l,r,x); //[l,r]にx代入        l,r省略可
a.iota(n,s,d); //aを等差数列にする 長さn,初項s,公差d
vll a(n,s,d);  //コンストラクタ版iota
vll b=a.slice(st,en,d); //a[st:en:d]   d省略時1
vll b=a.repeat(n);   //aをn回繰り返す
- -------- 検索系 --------
auto pr=[&](auto &x){ return x>0; };  //検索条件
ll m=a.count(x);     //xの個数
ll m=a.count(l,r,x); //xの個数in[l,r]
ll m=a.countif(pr);     //条件満たす個数
ll m=a.countif(l,r,pr); //条件満たす個数in[l,r]
ll i=a.find(x);         //xの最左位置i         ない時N(配列長)
ll i=a.find(l,r,x);     //xの最左位置i in[l,r] ない時r+1
ll i=a.findif(pr);      //条件満たす最左位置i         ない時N(配列長)
ll i=a.findif(l,r,pr);  //条件満たす最左位置i in[l,r] ない時r+1
vll is=a.findall(x);        //xの位置i列挙
vll is=a.findall(l,r,x);    //xの位置i列挙in[l,r]
vll is=a.findallif(pr);     //条件満たす位置i列挙
vll is=a.findallif(l,r,pr); //条件満たす位置i列挙in[l,r]
- -------- 昇順sort済み配列用 --------
ll i=a.flooridx(x);   //x以下の最近傍位置i ない時-1
ll i=a.ceilidx(x);    //x以上の最近傍位置i ない時N(配列長)
ll m=a.leftnmof(x);   //x以下の個数
ll m=a.rightnmof(x);  //x以上の個数
bool b=a.contains(x); //xを含む
- -------- 比較関数prでsort済みの配列用 --------
auto pr=[&](auto &x,auto &y){ return x>y; }; //降順ソート時
ll i=a.flooridx(x,pr);   //x以左の最近傍位置i ない時-1
ll i=a.ceilidx(x,pr);    //x以右の最近傍位置i ない時N(配列長)
ll m=a.leftnmof(x,pr);   //x以左の個数
ll m=a.rightnmof(x,pr);  //x以右の個数
bool b=a.contains(x,pr); //xを含む

a.concat(b,n).pop_back().rsort().uniq();  //連続適用できる
auto aa=a.tostd(); //N次元VectorをN次元vectorに変換(N≦5)
*/


template<class T> struct wrapv: Vector<T>{
  using Int = long long;
  T def=T();
  T defIF=T();
  wrapv(const Vector<T> &b):Vector<T>(b){}
  wrapv(Vector<T> &&b):Vector<T>(move(b)){}
  wrapv(const std::vector<T> &b):Vector<T>(b){}
  wrapv(std::vector<T> &&b):Vector<T>(move(b)){}
  T &operator[](Int i){
    return (i<0 || this->size()<=i) ? (defIF=def) : Vector<T>::operator[](i);
  }
  void setdef(const T& x){ def=x; }
};
/*
wrapv v=vll(N,0,1); //vllなどでコンストラクトしてから代入する
v.setdef(INF); //範囲外での値セット
*/


#if 0
#define MODLL (1000000007LL)
#else
#define MODLL (998244353LL)
#endif
using mll = mll_<MODLL>;
//using mll = fraction;

//　１
//０┼２
//　３              左     上     右    下
vector<pll> dxys={{0,-1},{-1,0},{0,1},{1,0},};



namespace fpsspace{
using Int = long long;
using ll = long long;
constexpr int inf=int(1e9);

/********* utility関数 *********/
template<class T> T POW(T a,ll n){//a^n n負も可
  if(n<0) a=T(1)/a,n=-n;
  T r=1;
  for(; n>0; n>>=1,a*=a) if(n&1)r*=a;
  return r;
}
ll LimitMul(ll a,ll b,ll l=ll(9e18)){//min(a*b,l) a,b≧0
  return (b==0 || a<=l/b) ? a*b : l;
}
/*---- 1/i列挙 i=1~d ----*/
template<int Kind> struct Wrap{};//オーバロード解決用にKindを型に変換
template<class T,int Kind,class=enable_if_t<Kind==1 || Kind==2>>
vector<T> &Invs(int d,Wrap<Kind>){//Kind=1 or 2(modint系)の時
  static vector<T> invs(2,T(1));
  int MOD = T::mod();
  for(int i=(int)invs.size();i<=d;++i) invs.push_back(-invs[MOD%i]*T(MOD/i));
  return invs;
}
template<class T> vector<T> &Invs(int d,Wrap<0>){//その他の時
  static vector<T> invs(1);
  for(int i=(int)invs.size();i<=d;++i) invs.push_back(T(1)/i);
  return invs;
}

template<class T> vector<T> &Fact(int d){// i!列挙 i=0~d
  static vector<T> fact(1,T(1));
  for(int i=(int)fact.size();i<=d;++i) fact.push_back(fact.back()*T(i));
  return fact;
}
template<class T,int Kind> vector<T> &FInv(int d){// 1/i!列挙 i=0~d
  static vector<T> finv(1,T(1));
  const vector<T> &invs=Invs<T>(d,Wrap<Kind>{});
  for(int i=(int)finv.size();i<=d;++i) finv.push_back(finv.back()*invs[i]);
  return finv;
}

// Berlekamp Massey法 2L-1次までのA(x)からA=P/QのQをL次で復元 Kind=1,2のみ
template <class T> vector<T> BerlekampMassey(const vector<T> &a){
  vector<T> C={1},B={1};//C:求める数列、B:1つ前のCの状態を保存
  int m=1; //ポインタ？っぽいもの
  T b=T(1); //前回のdの値
  auto C_update=[](vector<T> &C,T d,T b,vector<T> &B,int m){
    T d_b=d/b;
    int M=(int)B.size();
    if((int)C.size()<M+m) C.resize(M+m);
    for(int i=0;i<M;++i) C[i+m]-=d_b*B[i];
  };
  for(int n=0;n<(int)a.size();++n){
    T d=T(0);
    for(int k=0;k<(int)C.size();++k) d+=C[k]*a[n-k]; //dを計算
    if(d!=T(0)){//①d=0なら、現在のCでAnを求める漸化式は成り立っている,そうでないなら調整
      if(2*((int)C.size()-1) <= n){
        vector<T> tmp=C;
        C_update(C,d,b,B,m); //C -= d/b * (Bをmだけ右シフトしたもの)
        B.swap(tmp);  b=d;  m=0;
      }
      else C_update(C,d,b,B,m); //C -= d/b * (Bをmだけ右シフトしたもの)
    }
    m++;
  }
  return C;
}

template<class FPS,class SPFPS,class T=typename FPS::value_type,class S>
FPS de_sparse( //a*F'=b*Fを満たすF
  const SPFPS &a_,const SPFPS &b_,S f0,Int dmx_,const vector<T> &invs_=vector<T>())
{
  assert(a_.lowdeg()<=b_.lowdeg());
  int dmx=(int)dmx_;
  const vector<T> &invs = invs_.size() ? invs_ : Invs<T>(dmx,Wrap<FPS::kind>{});
  SPFPS a=a_.shift(-a_.lowdeg()),b=b_.shift(-a_.lowdeg());
  T a0inv=T(1)/a.co(0);
  a*=a0inv,b*=a0inv;
  a.erase(a.begin());
  FPS f({T(f0)},dmx);
  for(int d=1;d<=dmx;++d){
    for(auto [bb,i]:b){
      if(d-1-i>=0) f.at(d)+=bb*f[d-1-i];
    }
    for(auto [aa,i]:a){
      if(d-i>=0) f.at(d)-=aa*f[d-i]*(d-i);
    }
    f.at(d)*=invs[d];
  }
  return f;
}

/********* 疎FPSクラス *********/
template<class T> struct sparseFps: vector<pair<T,Int>>{
  using vector<pair<T,Int>>::vector; //親クラスのコンストラクタの隠蔽を回避
  sparseFps &Norm(){//d昇順、同一dのco加算、co=0を削除
    sort(this->begin(),this->end(),
      [](const auto &x,const auto &y){return x.second<y.second;});
    int j=-1;
    for(int i=0;i<this->size();++i){
      if(j>=0 && deg(j)==deg(i)){
        co(j)+=co(i);
      }
      else{
        if(!(j>=0 && co(j)==T(0))) ++j;
        (*this)[j]=(*this)[i];
      }
    }
    if(j>=0 && co(j)==T(0)) --j;
    this->resize(j+1);
    return *this;
  }
  /*---- I/F ----*/
  template<class S,class R>
  void set(S co,R deg){ this->emplace_back(T(co),Int(deg)); }
  Int deg()const{ return this->empty() ? -1 : this->back().second; }//最高次数
  T  co(Int i)const{ return (*this)[i].first; }//(*this)[i]の係数
  T &co(Int i)     { return (*this)[i].first; }
  Int  deg(Int i)const{ return (*this)[i].second; }//(*this)[i]の次数
  Int &deg(Int i)     { return (*this)[i].second; }
  Int lowdeg()const{ return this->empty() ? inf : this->front().second; }
  sparseFps &operator+=(const sparseFps &sg){
    this->insert(this->end(),sg.begin(),sg.end());
    return Norm();
  }
  sparseFps operator+(const sparseFps &sg)const{ return sparseFps(*this)+=sg; }
  sparseFps &operator*=(T b){ for(auto&&[c,_]:*this) c*=b; return *this; }
  sparseFps operator*(T b)const{ return sparseFps(*this)*=b; }
  sparseFps &operator*=(const sparseFps &sg){ return *this=*this*sg; }
  sparseFps operator*(const sparseFps &sg)const{
    sparseFps ret;
    for(auto&&[cf,df]:*this) for(auto&&[cg,dg]:sg) ret.set(cf*cg,df+dg);
    return ret.Norm();
  }
  sparseFps shift(Int k)const{ // *x^k
    sparseFps ret;
    for(auto&&[co,d]:*this) if(d+k>=0) ret.set(co,d+k);
    return ret;
  }
  sparseFps diff()const{
    sparseFps ret;
    for(auto&&[co,d]:*this) if(d>0) ret.set(co*d,d-1);
    return ret;
  }
  template<class FPS> FPS exp(Int dmx)const{
    assert(lowdeg()!=0); //定数項=0必須
    return de_sparse<FPS>(sparseFps{{1,0},},diff(),1,dmx);
  }
  template<class FPS>
  FPS pow(ll k,Int dmx,const vector<T> &invs_=vector<T>())const{
    assert(!(k<0 && lowdeg()>0));//k負なら定数項必須
    if(k==0) return FPS({1},dmx);
    //-- 計算後最高次数d：k<0ならdmx、k>0ならmin(dmx,deg()*k)まで
    int d = (k<0 || LimitMul(deg(),k)>(ll)dmx) ? int(dmx) : int(deg()*k);
    //-- invs[i]=1/iをi=1~dまで計算(計算済み分は再利用、足りない分だけ計算)
    const vector<T> &invs = invs_.size() ? invs_ : Invs<T>(d,Wrap<FPS::kind>{});
    //-- 最低次数関連処理
    int s=(int)lowdeg();//計算前最低次数
    if(k>0 && LimitMul(s,k)>(ll)dmx) return FPS(dmx);//計算後all0の時
    //-- 漸化式で計算
    T f0inv=T(1)/co(0);
    FPS g({POW(co(0),k)},dmx);
    for(int i=1;i<=d-s*k;++i){ //k負の時必ずs=0なのでOK
      for(int j=1;j<(int)this->size();++j){
        auto [c,dg]=(*this)[j];
        int b=int(dg)-s;
        if(i-b<0)break;
        g.at(i)+=c*g.at(i-b)*(T(k)*b-i+b);
      }
      g.at(i)*=f0inv*invs[i];
    }
    return g.shift(Int(s*k));
  }
};

/********* FPSクラス *********/
template<
  class T, //係数の型
  int Kind //係数の種類 0:その他、1:NTTfriendly mod、2:任意mod
>
struct Fps: vector<T>{
  static_assert(0<=Kind && Kind<=3);
  static constexpr int kind=Kind;
  int dMx=int(1e6); //次数上限(x^dMxより上は保持しない)
  using vT = vector<T>;
  /*---- utility ----*/
  int isize()const{ return (int)vector<T>::size(); }
  int NormSize()const{//leading zeroを除いたサイズ const用
    int sv=isize();
    while(sv>0 && (*this)[sv-1]==T(0)) --sv;
    return sv;
  }
  int Deg()const{ return NormSize()-1; } //最高次数 const用
  Fps &Cut(){ return cut(dMx); }
  Fps &ZeroExtend(){
    int anm=max(0,dMx-isize()+1);
    vT::insert(vT::end(),anm,T(0));
    return *this;
  }
  int MinD(const Fps &g)const{ return min(dMx,g.dMx); }
  void MergeD(const Fps &g){ dMx=MinD(g); Cut(); }
  template <int Sign> Fps &Add(const Fps &g){
    MergeD(g);
    for(int i=min(dMx,g.Deg());i>=0;--i) at(i)+=Sign*g[i];
    return *this;
  }
  Fps ProdSparse(const sparseFps<T> &g,int d)const{//f*疎g mod x^(d+1)
    Fps ret(d);
    for(auto&&[co,dg]:g) for(int i=0;i<(int)isize();++i){
      if(dg+i>d) break;
      ret.at(dg+i)+=co*(*this)[i];
    }
    return ret;
  }
  Fps InvSparse(const sparseFps<T> &g,int d)const{//f/疎g mod x^(d+1) g0≠0
    assert(!g.empty() && g.deg(0)==0 && g.co(0)!=0);
    //-- g定数項を1にする
    T c0inv=T(1)/g.co(0);
    Fps ret=((*this)*c0inv).setdmx(d);
    if(g.size()==1u) return ret;
    sparseFps<T> gg=g*c0inv;
    //-- 配るDP計算
    for(int i=0; i+(int)gg.deg(1)<=d; ++i){
      for(int j=1; j<(int)gg.size(); ++j){
        auto [co,dg]=gg[j];
        int ii=i+(int)dg;
        if(d<ii)break;
        ret.at(ii)-=ret.at(i)*co;
      }
    }
    return ret;
  }
  Fps &LogSparse( //f+=log(疎g^k),g=1+ax^b
    const sparseFps<T> &g,ll k,const vector<T> &invs_=vector<T>())
  {
    assert(g.size()==2U && g.co(0)==T(1) && g.deg(0)==0);
    const vector<T> &invs = invs_.size() ? invs_ : Invs<T>(dMx,Wrap<Kind>{});
    int b=(int)g.deg(1);
    T c=g.co(1)*k;
    for(int i=1;i*b<=dMx;++i,c*=-g.co(1)) at(i*b)+=c*invs[i];
    return *this;
  }
  /*---- コンストラクタ ----*/
  explicit Fps(Int dmx=int(1e6)): dMx(int(dmx)){}
  Fps(initializer_list<T> i,Int dmx=int(1e6)):
    vT(i.begin(),i.end()),dMx(int(dmx)){ Cut(); }
  template <class It,class=typename iterator_traits<It>::iterator_category>
  Fps(It l,It r,Int dmx=int(1e6)): vT(l,r),dMx(int(dmx)){ Cut(); }
  Fps(vector<T> &&v,Int dmx=int(1e6)): vT(move(v)),dMx(int(dmx)){}
  Fps(const sparseFps<T> &sf,Int dmx=int(1e6)):dMx(int(dmx)){ //疎f → f
    for(auto&&[co,deg]:sf) if(deg<=dmx) at(deg)=co;
  }
  /*---- I/F ----*/
  sparseFps<T> tosparse()const{ //f → 疎f
    sparseFps<T> ret;
    for(int i=0;i<isize();++i){
      if((*this)[i]!=T(0)) ret.set((*this)[i],i);
    }
    return ret;
  }
  Int size()const{ return (Int)vector<T>::size(); }
  Int deg(){ fit(); return size()-1; }
  Int lowdeg()const{
    for(int i=0;i<isize();++i){
      if((*this)[i]!=T(0)) return i;
    }
    return inf;
  }
  Fps &setdmx(Int dmx){ dMx=(int)dmx; return Cut(); }
  T at(Int i)const{ return size()<=i ? T(0) : (*this)[i]; }
  T &at(Int i){
    if(size()<=i) this->resize(i+1);
    return (*this)[i];
  }
  Fps &fit(){
    this->resize(NormSize());
    return *this;
  }
  Fps &operator+=(const Fps &g){ return Add<1>(g); }
  Fps &operator-=(const Fps &g){ return Add<-1>(g); }
  Fps &operator*=(const Fps &g){ return *this=*this*g; }
  Fps &operator/=(const Fps &g){ return *this=*this/g; }
  Fps &operator*=(const sparseFps<T> &g){ return *this=*this*g; }
  Fps &operator/=(const sparseFps<T> &g){ return *this=*this/g; }
  Fps &operator+=(T c){ at(0)+=c; return *this; }
  Fps &operator-=(T c){ at(0)-=c; return *this; }
  Fps &operator*=(T c){ for(auto&& e: *this) e*=c; return *this; }
  Fps &operator/=(T c){ return (*this)*=T(1)/c; }
  Fps operator+(const Fps &g)const{ return Fps(*this)+=g; }
  Fps operator-(const Fps &g)const{ return Fps(*this)-=g; }
  Fps operator*(const Fps &g)const{ return Prod(*this,g,MinD(g)); }
  Fps operator/(const Fps &g)const{ return InvSparse(g.tosparse(),MinD(g)); }
  Fps operator*(const sparseFps<T> &g)const{ return ProdSparse(g,dMx); }
  Fps operator/(const sparseFps<T> &g)const{ return InvSparse(g,dMx); }
  Fps operator+(T c)const{ return Fps(*this)+=c; }
  Fps operator-(T c)const{ return Fps(*this)-=c; }
  Fps operator*(T c)const{ return Fps(*this)*=c; }
  Fps operator/(T c)const{ return Fps(*this)/=c; }
  Fps operator-()const{ return Fps(*this)*=T(-1); }
  friend Fps operator+(T c,const Fps &f){ return f+c; }
  friend Fps operator-(T c,const Fps &f){ return -f+c; }
  friend Fps operator*(T c,const Fps &f){ return f*c; }
  T prod1(const Fps &g,Int k_)const{ //[x^k]f*g
    int df=Deg(),dg=g.Deg(),k=(int)k_;
    if(MinD(g)<k) return T(0);
    T ret=T(0);
    for(int i=max(0,k-dg),j=k-i; i<=df&&j>=0; ++i,--j) ret+=(*this)[i]*g[j];
    return ret;
  }
  T bostanmori(const Fps &g,ll k)const{ //[x^k]f/g
    assert(g.at(0)!=0);
    Fps P=Fps(*this).setdmx(inf),Q=Fps(g).setdmx(inf);
    for(; k>0; k>>=1){
      Fps Q1=Q;
      for(int i=1;i<Q1.isize();i+=2) Q1[i]*=-1; //Q1=(Qの奇数項を正負反転)
      Fps PQ=P*Q1,QQ=Q*Q1;
      P.clear(),Q.clear();
      for(int i=k&1;i<PQ.isize();i+=2) P.push_back(PQ[i]);//P=(PQの奇or偶数項)
      for(int i=0; i<QQ.isize();i+=2) Q.push_back(QQ[i]);//Q=(QQの偶数項)
    }
    return P.at(0)/Q[0];
  }
  Fps berlekamp_massey(Int d)const{ //f=P/QのQを得る x^d(d奇数)までの係数から推定
    assert(d%2==1);
    vector<T> f;
    for(int i=0;i<=d;++i) f.push_back(at(i));
    vector<T> Q=BerlekampMassey(f);
    Int dmx=Int(Q.size()-1);
    return Fps(move(Q),dmx);
  }
  T nthterm(Int d,ll k)const{ //[x^k]f  線形漸化式を仮定しx^d(d奇数)までから推定
    Fps Q=berlekamp_massey(d);
    Fps P=Prod(*this,Q,Q.dMx-1).fit();
    return P.bostanmori(Q,k);
  }
  Fps &estimate(Int d,Int dmx=-1){ //dmx次まで推定 線形漸化式を仮定しx^d(d奇数)までから推定
    if(dmx==-1) dmx=dMx;
    Fps Q=berlekamp_massey(d);
    Fps P=Prod(*this,Q,Q.dMx-1).fit().setdmx(dmx);
    return *this=(Q.setdmx(dmx).inv()*P).ZeroExtend();
  }
  Fps &cut(Int d){ //x^dまでにする
    if(d+1<size()) vT::resize(size_t(d+1));
    return *this;
  }
  Fps &mod(Int n){ return cut(n-1); } //mod x^n
  [[nodiscard]] Fps shift(Int k_)const{ // *x^k
    Fps ret(dMx);
    const int k=(int)k_,m=min(isize()+k,dMx+1); //変換後長さ
    if(m<=0 || dMx<k) return ret; //空になる時
    for(int i=m-1-k;i>=max(0,-k);--i) ret.at(i+k)=(*this)[i];
    return ret;
  }
  T eval(T x)const{ //f(c)
    T ret=T(0);
    for(int i=isize()-1;i>=0;--i) ret*=x,ret+=(*this)[i];
    return ret;
  }
  Fps diff()const{ //微分
    Fps ret(dMx-1);
    for(int i=Deg();i>=1;--i) ret.at(i-1)=(*this)[i]*i;
    return ret;
  }
  Fps integ()const{ //積分
    Fps ret(dMx+1);
    for(int i=min(Deg(),dMx); i>=0; --i) ret.at(i+1)=(*this)[i]/(i+1);
    return ret;
  }
  T integrange(T l,T r)const{ //定積分 ∫_l^r f dx
    Fps itg=integ();
    return itg.eval(r)-itg.eval(l);
  }
  Fps inv()const{
    assert(at(0)!=0);//定数項≠0
    Fps g{T(1)/at(0)};
    for(int i=1;i<dMx+1;i*=2){//i:項数
      g.setdmx(min(i*2-1,dMx));
      g = g+g-g*g*(*this);
    }
    return g;
  }
  Fps log()const{ //log f
    assert(at(0)==T(1));//定数項=1
    return (diff()*inv()).integ();
  }
  Fps exp()const{ //exp f
    assert(at(0)==T(0));//定数項=0
    Fps g{1};
    for(int i=1;i<dMx+1;i*=2){//i:項数
      g.setdmx(min(i*2-1,dMx));
      g = g*(T(1)-g.log()+(*this));
    }
    return g;
  }
  Fps pow(ll k)const{ //f^k  k<0は未対応
    if(k==0) return Fps({1},dMx);
    if(k==1) return *this;
    int z=(int)lowdeg();
    if(z==inf || z>int(dMx/k)) return Fps(dMx);//f(x)=0か結果=0の時
    int m=int(dMx+1-z*k); //最終は先頭にゼロがz*k個→計算はdMx+1-z*k項でok
    Fps g=shift(-z).setdmx(m-1)/at(z); //定数項1にする変換
    Fps gk=(g.log()*k).exp(); //g^k
    Fps ret=(gk*POW(at(z),k)).setdmx(dMx).shift(Int(z*k)); //変換を戻す
    return ret;
  }
  Fps powdbl(ll k)const{ //f^k
    Fps ret({1},dMx),g=*this;
    for(; k>0; k>>=1,g*=g) if(k&1)ret*=g;
    return ret;
  }
  Fps powsparse(ll k,const vector<T> &invs=vector<T>())const{ //疎f^k
    return tosparse().template pow<Fps>(k,dMx,invs);
  }
  pair<Fps,Fps> div(const Fps &g)const{ //多項式f/g,f%g
    const Fps &f=*this;
    int na=f.NormSize(),nb=g.NormSize();
    assert(nb>0);
    int n=na-nb+1;//商の項数
    if(n<=0) return {Fps(dMx),f};
    int nu=f.isize(),nv=g.isize();
    Fps aR(f.rbegin()+nu-na,f.rbegin()+min(nu-na+n,nu),n-1);
    Fps bR(g.rbegin()+nv-nb,g.rbegin()+min(nv-nb+n,nv),n-1);
    Fps qR=bR.inv()*aR;
    qR.resize(n);
    reverse(qR.begin(),qR.end());
    qR.fit().setdmx(dMx);
    Fps r=(f-Prod(qR,g,dMx)).fit();
    return {move(qR),move(r)};
  }
};

/********* 積をNTTmod畳み込み、任意mod畳み込み、畳み込み不使用から選択 *********/
template<class T> //f*g mod x^(d+1)  畳み込み不使用
Fps<T,0> Prod(const Fps<T,0> &f,const Fps<T,0> &g,int d){
  return f.ProdSparse(g.tosparse(),d);
}
template<class T> //f*g mod x^(d+1)  NTTmod畳み込み
Fps<T,1> Prod(const Fps<T,1> &f,const Fps<T,1> &g,int d){
  int nf=min(d+1,f.NormSize()),ng=min(d+1,g.NormSize());
  vector<ll> ff,gg;
  ff.reserve(nf),gg.reserve(ng);
  for(int i=0;i<nf;++i) ff.push_back(f[i].val());
  for(int i=0;i<ng;++i) gg.push_back(g[i].val());
  vector<ll> hh=convolution<T::mod()>(ff,gg);
  if((int)hh.size()>d+1) hh.resize(d+1);
  return Fps<T,1>(hh.begin(),hh.end(),d);
}
template<class T> //f*g mod x^(d+1)  任意mod畳み込み
Fps<T,2> Prod(const Fps<T,2> &f,const Fps<T,2> &g,int d){
  static constexpr int m0 = 167772161; //m0<m1<m2必須
  static constexpr int m1 = 469762049;
  static constexpr int m2 = 754974721;
  static constexpr int m01  = 104391568;// 1/m0(mod m1)
  static constexpr int m12  = 399692502;// 1/m1(mod m2)
  static constexpr int m012 = 190329765;// 1/m0m1(mod m2)
  static           int m0m1 = ll(m0)*m1 % T::mod();
  int nf=min(d+1,f.NormSize()),ng=min(d+1,g.NormSize());
  vector<ll> ff,gg;
  ff.reserve(nf),gg.reserve(ng);
  for(int i=0;i<nf;++i) ff.push_back(f[i].val());
  for(int i=0;i<ng;++i) gg.push_back(g[i].val());
  vector<ll> h0=convolution<m0>(ff,gg);
  vector<ll> h1=convolution<m1>(ff,gg);
  vector<ll> h2=convolution<m2>(ff,gg);
  Fps<T,2> ret(d);
  int nn=min(d+1,(int)h0.size());
  ret.reserve(nn);
  for(int i=0;i<nn;++i){
    ll r0=h0[i],r1=h1[i],r2=h2[i];
    ll s0=r0;
    ll s1=(r1+m1-s0)*m01%m1; //s0<m1のため正になる
    ll s2=((r2+m2-s0)*m012+(m2-s1)*m12)%m2; //s0,s1<m2のため正になる
    ret.emplace_back(s0+s1*m0+s2*m0m1);
  }
  return ret;
}
#if 0 //f*g mod x^(d+1)  FFT畳み込み  使用時はFFTライブラリを貼った上で1にする
template<class T>
Fps<T,3> Prod(const Fps<T,3> &f,const Fps<T,3> &g,int d){
  vector<T> ff(f.begin(),f.end()),gg(g.begin(),g.end());
  vector<T> hh = ArbitraryModConvolution::CooleyTukey::multiply(ff,gg);
  if((int)hh.size()>d+1) hh.resize(d+1);
  return Fps<T,3>(hh.begin(),hh.end(),d);
}
#endif
/********* I/F関数 *********/
template<class FPS,class T=typename FPS::value_type> FPS prodtwopow(//f^k*g^m
  sparseFps<T> f_,ll k,sparseFps<T> g_,ll m,Int dmx,
  const vector<T> &invs=vector<T>())
{
  if(k==0) f_={{T(1),0},},k=1;
  if(m==0) g_={{T(1),0},},m=1;
  Int fz=f_.lowdeg(),gz=g_.lowdeg();
  assert(!(fz==Int(1e9) && k<0) && !(gz==Int(1e9) && m<0));//f=0かつk>0はNG
  if(fz==Int(1e9) || gz==Int(1e9)) return FPS(dmx);//f=0なら結果=0
  ll z=fz*k+gz*m; //k,m巨大時のoverflowは未対応とする
  assert(z>=0);
  if(ll(dmx)<z) return FPS(dmx);
  sparseFps<T> f=f_.shift(-fz),g=g_.shift(-gz);
  Int dmx2=dmx-z;
  sparseFps<T> a=f*g,b=f.diff()*g*k+f*g.diff()*m;
  T h0=POW(f.co(0),k)*POW(g.co(0),m);
  FPS h=de_sparse<FPS>(a,b,h0,dmx2,invs);
  return h.setdmx(dmx).shift(Int(z));
}

}//namespace fpsspace
#if 0
using fpsT = dd;
using fps  = fpsspace::Fps<fpsT,0>; //0:畳み込み不使用
#elif 1
using fpsT = mll;
using fps  = fpsspace::Fps<fpsT,1>; //1:NTTfriendly mod
#elif 0
using fpsT = atcoder::modint;
using fps  = fpsspace::Fps<fpsT,2>; //2:任意mod
#elif 0
using fpsT = dd;
using fps  = fpsspace::Fps<fpsT,3>; //3:FFT
#endif
using spfps = fpsspace::sparseFps<fpsT>;
/*
- 各種演算の結果の次数上限は、一部例外を除きf,gの小さい方となる。
- 疎FPSクラスは次数昇順、係数≠0必須
- -------- コンストラクタ --------
fps f;             //f(x)=0            次数上限1e6
fps f(d);          // 〃                  〃    d
fps f{2,3,4,};     //f(x)=2+3x+4x^2    次数上限1e6
fps f({2,3,4,},d); // 〃                  〃    d
fps f(all(v));     //vll等のvをコピー  次数上限1e6
fps f(all(v),d);   // 〃                  〃    d
- -------- コンストラクタ疎版 --------  vector<pair>と同じ
spfps sf={{4,2},{-1,5}}; //f(x)=4x^2-x^5
sf.set(c,d);             //c*x^dを末尾に追加
- -------- 演算子(fps同士) --------
f+=g f-=g f+g f-g -f 疎f+=疎g 疎f*=疎g 疎f+疎g 疎f*疎g
f*=g f*g              //NTTmod,任意mod,愚直がテンプレートで切り替わる
f*=疎g f*疎g          //愚直
f/=g f/=疎g f/g f/疎g //漸化式で愚直  g定数項≠0
- -------- 演算子(定数) --------
f+=c f-=c f*=c f/=c f+c f-c f*c f/c 疎f*=c 疎f*c
- -------- アクセス・操作 --------
f[i]=val;           //直接操作
f.at(i)=val;        //自動サイズ調整有
ll n=f.size();      //項数(次数+1)  leading zero含む
ll d=f.deg();       //非0の最高次の次数 f(x)=0の時-1
ll d=f.lowdeg();    //非0の最低次の次数 f(x)=0の時1e9
f.setdmx(d);        //次数上限をx^dにセット ＆ mod x^(d+1)  d≧0
f.fit();            //最高次≠0になるよう縮める
fps f(sf);             //疎f→f 変換
fps f(sf,d);           //疎f→f 変換  次数上限d
spfps sf=f.tosparse(); //f→疎f 変換
- -------- 演算 --------
mll c=f.prod1(g,k);     //[x^k]f*g
mll c=f.bostanmori(g,k);//[x^k]f/g  g定数項≠0  k巨大(10^18)でもOK
f.cut(d);               //x^dまでにする
f.mod(n);               //mod x^n
fps g=f.shift(k);       //f*x^k         k負も可
spfps sg=sf.shift(k);   //疎f*x^k       k負も可
mll val=f.eval(c);      //f(c)
fps g=f.diff();         //微分
fps g=f.integ();        //積分
mll val=f.integrange(l,r); //定積分 ∫_l^r f dx
fps g=f.inv();          //1/f     定数項≠0
fps g=f.log();          //log f   定数項=1
fps g=f.exp();          //exp f   定数項=0
fps g=sf.exp<fps>(d);   //exp 疎f 定数項=0
fps g=f.pow(k);         //f^k    k負は未対応
fps g=f.powdbl(k);      //f^k    doubling版
fps g=sf.pow<fps>(k,d); //疎f^k  次数上限d  k負も可(定数項≠0必須)
fps g=f.powsparse(k);   //疎f^k             k負も可(定数項≠0必須)
auto[h,r]=f.div(g);     //多項式の除算・剰余 h=f/g,r=f%g  次数上限はfの方
fps Q=f.berlekamp_massey();  //f=P/QのQを復元 fは2d-1次、Qはd次 Qのdmx=d
mll c=f.nthterm(k);          //[x^k]f  線形漸化式を仮定  k巨大(10^18)でもOK
f.estimate();                //次数上限まで推定 線形漸化式を仮定
f.estimate(d);               //d次まで推定 線形漸化式を仮定
fps F=fpsspace::de_sparse<fps>(sf,sg,F0,d); //微分方程式 疎f*F'=疎g*F  次数上限d
fps h=fpsspace::prodtwopow<fps>(sf,k,sg,m,d); //疎f^k*疎g^m 次数上限d  k,m負も可
*/


namespace SolvingSpace{

template<class T> using vector = Vector<T>;
using    vll=vector<   ll>; using    vmll=vector<   mll>; using    vdd=vector<   dd>;
using   vvll=vector<  vll>; using   vvmll=vector<  vmll>; using   vvdd=vector<  vdd>;
using  vvvll=vector< vvll>; using  vvvmll=vector< vvmll>; using  vvvdd=vector< vvdd>;
using vvvvll=vector<vvvll>; using vvvvmll=vector<vvvmll>; using vvvvdd=vector<vvvdd>;
using   vpll=vector<  pll>; using    vtll=vector<   tll>; using   vqll=vector<  qll>;
using  vvpll=vector< vpll>; using   vvtll=vector<  vtll>; using  vvqll=vector< vqll>;
using   vll2=vector<  ll2>; using    vll3=vector<   ll3>; using   vll4=vector<  ll4>;
using  vvll2=vector< vll2>; using   vvll3=vector<  vll3>; using  vvll4=vector< vll4>;
using vvvll2=vector<vvll2>; using  vvvll3=vector< vvll3>; using vvvll4=vector<vvll4>;
using vss=vector<string>;
template<class T> vector<T> cinv(ll nm){ return vector<T>(nm,[](ll i){ (void)i; return cin1<T>(); }); }
template<class T> vector<vector<T>> cinvv(ll H,ll W){ return vector<vector<T>>(H,[&](ll i){ (void)i; return cinv<T>(W); }); }


struct unionfind{
  vll par,rank,size;
  ll ccNum;
  unionfind(ll n): par(n),rank(n),size(n,1),ccNum(n){
    for(ll i=0;i<n;++i) par[i]=i;
  }
  bool issame(ll u,ll v) { return root(u) == root(v); }
  ll root(ll v) { return (par[v] == v) ? v : par[v]=root(par[v]); }
  ll ccsize(ll v){ return size[root(v)]; }//頂点vを含む連結成分のサイズ
  ll ccnum() { return ccNum; } //連結成分数
  void merge(ll u,ll v){
    u = root(u);
    v = root(v);
    if(u == v) return;
    if(rank[u] < rank[v]) par[u] = v;
    else                   par[v] = u;
    if(rank[u] == rank[v]) rank[u]++;
    size[u] = size[v] = size[u] + size[v];
    ccNum--;
  }
};
/*
unionfind uft(n);
uft.merge(u,v);
bool b = uft.issame(u,v);
ll  rt = uft.root(v);
ll ccsz= uft.ccsize(v); //頂点vを含む連結成分のサイズ
ll ccnm= uft.ccnum(); //連結成分数
*/


auto interactive_query(ll i,ll j){
  //cout
  cout << "1 ";
  cout << pll(i+1,j+1);
  cout << endl;

  //cin
  auto k=cin1<ll>();
  return k-1;
}


void interactive_result(vll &P){
  cout << "2 ";
  cout << P;
  cout << endl;
}


void cin2solve()
{
  auto N=cin1<ll>();

  vll db(N,-INF);//db[i]:Piの2倍がP[db[i]]  -2なし
  vll pa(N,-2);
  unionfind uft(N);

  rep(i,0,N-1){
    ll k=interactive_query(i,i);
    db[i]=k;
    if(k>=0) pa[k]=i, uft.merge(i,k);
  }

  ll mxi=-1;
  {
    ll mxsz=0;
    rep(i,0,N-1){
      if (chmax(mxsz,uft.ccsize(i))) mxi=i;
    }
  }
  ll ione=mxi;
  while(pa[ione]>=0) ione=pa[ione];
  ll itwo=db[ione];

  vll plus2(N);//plus2[i]:2大きいインデックス  -2:なし
  rep(i,0,N-1){
    ll k=interactive_query(i,itwo);
    plus2[i]=k;
  }

  vll P(N);
  {
    ll st=1;
    ll sti=ione;
    while(st<=N){
      ll va=st;
      ll vai=sti;
      while(va<=N){
        P[vai]=va;
        va*=2;
        vai=db[vai];
      }

      st+=2;
      sti=plus2[sti];
    }
  }

  interactive_result(P);

  return;
}

};//SolvingSpace

//////////////////////////////////////////

int main(){
  #if 1
  //SolvingSpace::labo();
  SolvingSpace::cin2solve();
  //SolvingSpace::generand();
  #else
  ll t;  cin >> t;
  rep(i,0,t-1){
    SolvingSpace::cin2solve();
    //SolvingSpace::generand();
  } 
  #endif
  cerr << timeget() <<"ms"<< '\n';
  return 0;
}