// QCFium 法 #pragma GCC target("avx2") #pragma GCC optimize("O3") #pragma GCC optimize("unroll-loops") #ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include <bits/stdc++.h> using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; using ull = unsigned long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9e18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2e9) using pii = pair<int, int>; using pll = pair<ll, ll>; using pil = pair<int, ll>; using pli = pair<ll, int>; using vi = vector<int>; using vvi = vector<vi>; using vvvi = vector<vvi>; using vvvvi = vector<vvvi>; using vl = vector<ll>; using vvl = vector<vl>; using vvvl = vector<vvl>; using vvvvl = vector<vvvl>; using vb = vector<bool>; using vvb = vector<vb>; using vvvb = vector<vvb>; using vc = vector<char>; using vvc = vector<vc>; using vvvc = vector<vvc>; using vd = vector<double>; using vvd = vector<vd>; using vvvd = vector<vvd>; template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); int DX[4] = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) int DY[4] = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003094073385LL; // (int)INFL = INF, (int)(-INFL) = -INF; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), (x))) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), (x))) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0, set##_ub = 1 << int(d); set < set##_ub; ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repis(i, set) for(int i = lsb(set), bset##i = set; i < 32; bset##i -= 1 << i, i = lsb(bset##i)) // set の全要素(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 #define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定 // 汎用関数の定義 template <class T> inline ll powi(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template <class T> inline T getb(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } template <class T> inline T smod(T n, T m) { n %= m; if (n < 0) n += m; return n; } // 非負mod // 演算子オーバーロード template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; } template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; } #endif // 折りたたみ用 #if __has_include(<atcoder/all>) #include <atcoder/all> using namespace atcoder; #ifdef _MSC_VER #include "localACL.hpp" #endif using mint = modint998244353; //using mint = static_modint<1000000007>; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); string mint_to_frac(mint x, int v_max = 31595) { repi(dnm, 1, v_max) { int num = (x * dnm).val(); if (num == 0) { return "0"; } if (num <= v_max) { if (dnm == 1) return to_string(num); return to_string(num) + "/" + to_string(dnm); } if (mint::mod() - num <= v_max) { if (dnm == 1) return "-" + to_string(mint::mod() - num); return "-" + to_string(mint::mod() - num) + "/" + to_string(dnm); } } return to_string(x.val()); } namespace atcoder { inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } #ifdef _MSC_VER inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << mint_to_frac(x); return os; } #else inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } #endif } using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>; using pim = pair<int, mint>; #endif #ifdef _MSC_VER // 手元環境(Visual Studio) #include "local.hpp" #else // 提出用(gcc) inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : 32; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : 64; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define dump(...) #define dumpel(...) #define dump_list(v) #define dump_mat(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) { vc MLE(1<<30); EXIT(MLE.back()); } } // RE の代わりに MLE を出す #endif //【素因数分解(複数)】 /* * Osa_k(int n) : O(n log(log n)) * n 以下の自然数を高速に素因数分解する準備を行う. * * bool primeQ(int i) : O(1) * i が素数かを返す. * * map<int, int> factor_integer(int i) : O(log n) * i の素因数分解結果を返す. * * vi divisors(int i) : O(σ(n)) * i の約数の昇順リストを返す. * * int euler_phi(int i) : O(log n) * オイラーのトーシェント関数 φ(i) の値を返す. * * vi unique_prime_factors(int i) : O(log n) * i の重複を除去した素因数のリストを返す. * * int radical(int i) : O(log n) * i の根基(重複を除去した素因数の積)を返す. * * vi prime_power_decomposition(int i) : O(log n) * i を素数冪の積に分解したリストを返す. */ struct Osa_k { int n; // gpf[i] : i を割り切る最大の素数 vi gpf; // n 以下の自然数を高速に素因数分解する準備を行う. Osa_k(int n_) : n(n_), gpf(n + 1) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2207 iota(all(gpf), 0); for (int p = 2; p * p <= n; p++) { if (gpf[p] != p) continue; // ここは d の最大性のため p^2 からにはできない. for (int i = p; i <= n; i += p) gpf[i] = p; } } Osa_k() : n(0) {} // i が素数かを返す. bool primeQ(int i) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/1396 Assert(i <= n); return i >= 2 && gpf[i] == i; } // i の素因数分解結果を返す. map<int, int> factor_integer(int i) const { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2207 Assert(i <= n); map<int, int> pps; while (i > 1) { pps[gpf[i]]++; i /= gpf[i]; } return pps; } // i の約数の昇順リストを返す. vi divisors(int i) const { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc368/tasks/abc368_f Assert(i <= n); vi divs{ 1 }; auto pps = factor_integer(i); for (auto [p, d] : pps) { vi powp(d); powp[0] = p; rep(i, d - 1) powp[i + 1] = powp[i] * p; int m = sz(divs); repir(j, m - 1, 0) rep(i, d) divs.push_back(divs[j] * powp[i]); } sort(all(divs)); // 不要なら削除可能 return divs; } // オイラーのトーシェント関数 φ(i) の値を返す. int euler_phi(int i) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2849 Assert(i <= n); int phi = 1; int pp = INF; while (i > 1) { int p = gpf[i]; phi *= (p == pp ? p : p - 1); pp = p; i /= p; } return phi; } // i の重複を除去した素因数のリストを返す. vi unique_prime_factors(int i) const { Assert(i <= n); vi res; int pp = INF; while (i > 1) { int p = gpf[i]; if (p != pp) res.push_back(p); pp = p; i /= p; } return res; } // i の根基(重複を除去した素因数の積)を返す. int radical(int i) const { // verify : https://projecteuler.net/problem=518 Assert(i <= n); int rad = 1; int pp = INF; while (i > 1) { int p = gpf[i]; if (p != pp) rad *= p; pp = p; i /= p; } return rad; } // i を素数冪の積に分解したリストを返す. vi prime_power_decomposition(int i) const { // verify : https://projecteuler.net/problem=407 Assert(i <= n); vi res; int pp = INF; while (i > 1) { int p = gpf[i]; if (p != pp) res.push_back(p); else res.back() *= p; pp = p; i /= p; } return res; } }; Osa_k O; #include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp> using Bint = boost::multiprecision::cpp_int; //【累乗】O(log n) Bint pow_bint_mod(const Bint& x, Bint n, Bint MOD) { Bint res(1), pow2 = x; while (n > 0) { if (n & 1) { res *= pow2; res %= MOD; } pow2 *= pow2; pow2 %= MOD; n /= 2; } return res; } int n_max = 0; ll B_max, N_max, M_max; // WA7() がとても惜しかった.カスの解法に走ったの勿体なさすぎる・・・ ll TLE(ll B, ll N, ll M) { int n = 0; auto pps = O.factor_integer((int)B); for (auto [p, e] : pps) { int ord = -1; vi divs = O.divisors(p - 1); repe(d, divs) if (pow_mod(M, d, p) == 1) { ord = d; break; } if (ord == -1) return -1; auto pps2 = O.factor_integer(ord); for (auto [p2, e2] : pps2) { if (!pps.count(p2)) return -1; int e = pps[p2]; chmax(n, (e2 + e - 1) / e); } } // ここがダメだった. // n++; chmax(n, (int)N); // dump("n:", n); //if (chmax(n_max, n)) { // B_max = B, N_max = N, M_max = M; //} ll MOD = powi(B, (int)N); // dump(MOD); Bint Bn = 1; rep(hoge, n) Bn *= B; // dump(Bn); Bint num = pow_bint_mod(M, Bn, MOD * Bn) - 1; // dump(num); ll a = smod((ll)(num / Bn), MOD); // if (a != 0) { // if (8 <= n && n <= 9) { // dump("n:", n, "a:", a, "B N M:", B, N, M); // } // } return a; } /* やばいケースの一例: n: 12 a: 73734 B N M: 221202 1 938642470387890019 n: 12 a: 73734 B N M: 663606 1 569887344029755735 n: 13 a: 491532 B N M: 737298 1 652303410774024499 n: 12 a: 147468 B N M: 221202 1 144724915998203809 n: 11 a: 491560 B N M: 614450 1 332370521262624211 n: 12 a: 294936 B N M: 663606 1 602909229475107151 n: 11 a: 184330 B N M: 921650 1 615098227504156881 n: 11 a: 110598 B N M: 995382 1 824077417941371765 n: 13 a: 245766 B N M: 737298 1 87066598109952973 n: 10 a: 221202 B N M: 663606 1 464220951965924615 n: 10 a: 460830 B N M: 829494 1 131118901202347681 n: 11 a: 884784 B N M: 995382 1 894449835844946105 n: 13 a: 491532 B N M: 737298 1 813782825271406865 n: 12 a: 147468 B N M: 221202 1 700059672256021501 n: 11 a: 491560 B N M: 614450 1 710782717101345239 n: 10 a: 221202 B N M: 663606 1 605086375262543389 n: 10 a: 614440 B N M: 768050 1 394351613178697109 n: 11 a: 221196 B N M: 331794 1 83978138233245947 n: 11 a: 663588 B N M: 995382 1 396400066665083675 n: 11 a: 147468 B N M: 221202 1 663033641839565567 n: 10 a: 491560 B N M: 614450 1 687439741701148489 n: 12 a: 368670 B N M: 663606 1 239196527398219495 */ // 毎回 16 乗しないといけないケース // 2024/12/18 21:30 時点での writer 解以外の全てを落とせる. void make_worst_case() { mt19937_64 mt(0); uniform_int_distribution<ll> rnd(0, (ll)1e18); ll B0 = 2 * 65537; auto check = [&](ll B, ll N, ll M) { auto pps = O.factor_integer((int)B); int n = 0; for (auto [p, e] : pps) { int ord = -1; vi divs = O.divisors(p - 1); repe(d, divs) if (pow_mod(M, d, p) == 1) { ord = d; break; } // dump("ord:", ord); if (ord == -1) return false; auto pps2 = O.factor_integer(ord); // dump("pps2:", pps2); for (auto [p2, e2] : pps2) { if (!pps.count(p2)) return false; int e = pps[p2]; chmax(n, (e2 + e - 1) / e); } } return n >= 16; }; int T = 100000; // T = 10; cout << T << endl; while (T > 0) { // dump("---------- T:", T); ll B = B0 * (rnd(mt) % 7 + 1); ll M = rnd(mt); ll N = rnd(mt) % 2; if (!check(B, N, M)) continue; cout << B << " " << N << " " << M << endl; T--; } exit(0); } void make_worst_case2() { mt19937_64 mt(0); uniform_int_distribution<ll> rnd(0, (ll)1e18); auto check = [&](ll B, ll N, ll M, int n0) { auto pps = O.factor_integer((int)B); int n = 0; for (auto [p, e] : pps) { int ord = -1; vi divs = O.divisors(p - 1); repe(d, divs) if (pow_mod(M, d, p) == 1) { ord = d; break; } if (ord == -1) return false; auto pps2 = O.factor_integer(ord); for (auto [p2, e2] : pps2) { if (!pps.count(p2)) return false; int e = pps[p2]; chmax(n, (e2 + e - 1) / e); } } return n >= n0; }; int T = 100000; cout << T << endl; repir(n0, 20, 1) { // n0=3 くらいまでいってしまう. dump("-------- n0:", n0, "--------"); repi(p, 2, (int)1e6) { if (!O.primeQ(p)) continue; ll p_pow = powi(p, n0); if (p_pow + 1 > (ll)1e6) break; repi(k, 1, (int)1e6) { ll B0 = k * p_pow + 1; if (B0 * p > (ll)1e6) break; if (!O.primeQ((int)B0)) continue; dump("p:", p, "k:", k, "k p^n0 + 1:", B0); B0 *= p; repi(i, 1, (int)1e6) { ll B = B0 * i; if (B > (ll)1e6) break; repi(N, 0, 1) { ll M = rnd(mt); rep(hoge, 10) { if (check(B, N, M, n0)) break; M = rnd(mt); } if (!check(B, N, M, n0)) continue; cout << B << " " << N << " " << M << endl; T--; if (T == 0) exit(0); } } } } } } // 毎回 13 乗しないといけなくて,しかも a!=0 のケース // 2024/12/19 17:00 時点での writer 解以外の全てを落とせる. void make_worst_case3() { mt19937_64 mt(0); uniform_int_distribution<ll> rnd(0, (ll)1e18); ll B = 737298; auto check = [&](ll B, ll N, ll M) { auto pps = O.factor_integer((int)B); int n = 0; for (auto [p, e] : pps) { int ord = -1; vi divs = O.divisors(p - 1); repe(d, divs) if (pow_mod(M, d, p) == 1) { ord = d; break; } if (ord == -1) return false; auto pps2 = O.factor_integer(ord); for (auto [p2, e2] : pps2) { if (!pps.count(p2)) return false; int e = pps[p2]; chmax(n, (e2 + e - 1) / e); } } return n >= 13; }; int T = 100000; // T = 10; cout << T << endl; while (T > 0) { // dump("---------- T:", T); ll M = rnd(mt); ll N = rnd(mt) % 2; if (!check(B, N, M)) continue; cout << B << " " << N << " " << M << endl; T--; } exit(0); } void make_worst_case_all_same() { int T = 100000; cout << T << endl; rep(t, T) cout << "989450 1 265534344666945059" << endl; // n=8 // rep(t, T) cout << "944808 1 351481058622028685" << endl; // n=9 exit(0); } map<tuple<ll, ll, ll>, ll> memo; ll solve(ll B, ll N, ll M) { int n = 0; auto pps = O.factor_integer((int)B); for (auto [p, e] : pps) { int ord = -1; vi divs = O.divisors(p - 1); repe(d, divs) if (pow_mod(M, d, p) == 1) { ord = d; break; } if (ord == -1) return -1; auto pps2 = O.factor_integer(ord); for (auto [p2, e2] : pps2) { if (!pps.count(p2)) return -1; int e = pps[p2]; chmax(n, (e2 + e - 1) / e); } } chmax(n, (int)N); if (N == 0) return 0; vl rs, ms; for (auto [p, e] : pps) { ll pe = powi(p, e); ll k = B / pe; ll m = powi(pe, (int)N); //ll phi = (p - 1) * powi(p, e * N - 1); //ll kn = pow_mod(k, n, phi); //ll r = pow_mod(M, kn, m); ll r = M; rep(hoge, n) r = pow_mod(r, k, (int)m); rs.push_back(r); ms.push_back(m); } auto [y, z] = crt(rs, ms); dump("y:", y); ll MOD = powi(B, (int)N); if (memo.count({ B, N, y })) return memo[{B, N, y}]; Bint Bn = 1; rep(hoge, n) Bn *= B; Bint num = pow_bint_mod(M, Bn, MOD * Bn) - 1; ll a = smod((ll)(num / Bn), MOD); memo[{B, N, y}] = a; return a; } //【桁の数の取得】O(log n)(の改変) /* * n を b 進表記したときの桁の数字を上位桁から順に並べたリストを返す. * * 制約:b ≧ 2 */ vi integer_digits(Bint n, ll b = 10) { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc105/tasks/abc105_c Assert(abs(b) >= 2); // n = 0 の場合の例外処理 if (n == 0) return vi{ 0 }; // mod |b| を取れば最下位桁から順に決定していく. vi ds; while (n != 0) { int d = (int)(n % b); // int d = (int)smod(n, abs(b)); // 負数の可能性があるならこっち ds.push_back(d); n = (n - d) / b; } // 上位桁から順になるように並べ直す. reverse(all(ds)); return ds; } ll solve_yappayameta(ll B, ll N, ll M) { int n = 0; auto pps = O.factor_integer((int)B); for (auto [p, e] : pps) { int ord = -1; vi divs = O.divisors(p - 1); repe(d, divs) if (pow_mod(M, d, p) == 1) { ord = d; break; } if (ord == -1) return -1; auto pps2 = O.factor_integer(ord); for (auto [p2, e2] : pps2) { if (!pps.count(p2)) return -1; int e = pps[p2]; chmax(n, (e2 + e - 1) / e); } } chmax(n, (int)N); if (N == 0) return 0; vl rs, ms; for (auto [p, e] : pps) { dump("- - - - - p:", p, "e:", e, "- - - - -"); ll pe = powi(p, e); ll k = B / pe; ll m = powi(pe, (int)N); //ll phi = (p - 1) * powi(p, e * N - 1); //ll kn = pow_mod(k, n, phi); //ll r = pow_mod(M, kn, m); ll Mkn = M; rep(hoge, n) Mkn = pow_mod(Mkn, k, (int)m); Bint NUM = Mkn; Bint DNM = 1; Bint MOD = m; rep(hoge, e * n) { dump("id:", integer_digits(NUM, p)); MOD *= p; Bint nNUM = pow_bint_mod(NUM, p, MOD); DNM *= p; if ((nNUM - 1) == (NUM - 1) * p) { NUM = nNUM; break; } NUM = nNUM; } ll r = (ll)((NUM - 1) / DNM); rs.push_back(r); ms.push_back(m); } auto [y, z] = crt(rs, ms); dump("y:", y); return y; } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); O = Osa_k((int)1e6); // make_worst_case_all_same(); int t = 1; cin >> t; // マルチテストケースの場合 while (t--) { dump("------------------------------"); ll B, N, M; cin >> B >> N >> M; // auto res_TLE = TLE(B, N, M); dump(res_TLE); //dump("----"); auto res = solve(B, N, M); // assert(res == res_TLE); cout << res << "\n"; } }