#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; using ull = unsigned long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9e18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2e9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vvvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vvvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); int DX[4] = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) int DY[4] = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003094073385LL; // (int)INFL = INF, (int)(-INFL) = -INF; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), (x))) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), (x))) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0, set##_ub = 1 << int(d); set < set##_ub; ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repis(i, set) for(int i = lsb(set), bset##i = set; i < 32; bset##i -= 1 << i, i = lsb(bset##i)) // set の全要素(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 #define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定 // 汎用関数の定義 template inline ll powi(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template inline int getb(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } template inline T smod(T n, T m) { n %= m; if (n < 0) n += m; return n; } // 非負mod // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; #ifdef _MSC_VER #include "localACL.hpp" #endif using mint = modint998244353; //using mint = static_modint<(int)1e9+7>; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; using vvvvm = vector; using pim = pair; #endif #ifdef _MSC_VER // 手元環境(Visual Studio) #include "local.hpp" #else // 提出用(gcc) int mute_dump = 0; int frac_print = 0; #if __has_include() namespace atcoder { inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } } #endif inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : 32; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : 64; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_math(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) { vc MLE(1<<30); rep(i,9)cout<; // 答えは [0..CLS) のいずれかとする. constexpr int CLS = 2; //【行列】 /* * Matrix(int n, int m) : O(n m) * n×m 零行列で初期化する. * * Matrix(int n) : O(n^2) * n×n 単位行列で初期化する. * * Matrix(vvT a) : O(n m) * 二次元配列 a[0..n)[0..m) の要素で初期化する. * * bool empty() : O(1) * 行列が空かを返す. * * A + B : O(n m) * n×m 行列 A, B の和を返す.+= も使用可. * * A - B : O(n m) * n×m 行列 A, B の差を返す.-= も使用可. * * c * A / A * c : O(n m) * n×m 行列 A とスカラー c のスカラー積を返す.*= も使用可. * * A * x : O(n m) * n×m 行列 A と n 次元列ベクトル x の積を返す. * * x * A : O(n m)(やや遅い) * m 次元行ベクトル x と n×m 行列 A の積を返す. * * A * B : O(n m l) * n×m 行列 A と m×l 行列 B の積を返す. * * Mat pow(ll d) : O(n^3 log d) * 自身を d 乗した行列を返す. */ template struct Matrix { int n, m; // 行列のサイズ(n 行 m 列) vector> v; // 行列の成分 // n×m 零行列で初期化する. Matrix(int n, int m) : n(n), m(m), v(n, vector(m)) {} // n×n 単位行列で初期化する. Matrix(int n) : n(n), m(n), v(n, vector(n)) { rep(i, n) v[i][i] = T(1); } // 二次元配列 a[0..n)[0..m) の要素で初期化する. Matrix(const vector>& a) : n(sz(a)), m(sz(a[0])), v(a) {} Matrix() : n(0), m(0) {} // 代入 Matrix(const Matrix&) = default; Matrix& operator=(const Matrix&) = default; // アクセス inline vector const& operator[](int i) const { return v[i]; } inline vector& operator[](int i) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/matrix_product // inline を付けて [] でアクセスするとなぜか v[] への直接アクセスより速くなった. return v[i]; } // 入力 friend istream& operator>>(istream& is, Matrix& a) { rep(i, a.n) rep(j, a.m) is >> a.v[i][j]; return is; } // 行の追加 void push_back(const vector& a) { Assert(sz(a) == m); v.push_back(a); n++; } // 行の削除 void pop_back() { Assert(n > 0); v.pop_back(); n--; } // サイズ変更 void resize(int n_) { v.resize(n_); n = n_; } void resize(int n_, int m_) { n = n_; m = m_; v.resize(n); rep(i, n) v[i].resize(m); } // 空か bool empty() const { return min(n, m) == 0; } // 比較 bool operator==(const Matrix& b) const { return n == b.n && m == b.m && v == b.v; } bool operator!=(const Matrix& b) const { return !(*this == b); } // 加算,減算,スカラー倍 Matrix& operator+=(const Matrix& b) { rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] += b[i][j]; return *this; } Matrix& operator-=(const Matrix& b) { rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] -= b[i][j]; return *this; } Matrix& operator*=(const T& c) { rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] *= c; return *this; } Matrix operator+(const Matrix& b) const { return Matrix(*this) += b; } Matrix operator-(const Matrix& b) const { return Matrix(*this) -= b; } Matrix operator*(const T& c) const { return Matrix(*this) *= c; } friend Matrix operator*(const T& c, const Matrix& a) { return a * c; } Matrix operator-() const { return Matrix(*this) *= T(-1); } // 行列ベクトル積 : O(m n) vector operator*(const vector& x) const { vector y(n); rep(i, n) rep(j, m) y[i] += v[i][j] * x[j]; return y; } // ベクトル行列積 : O(m n) friend vector operator*(const vector& x, const Matrix& a) { vector y(a.m); rep(i, a.n) rep(j, a.m) y[j] += x[i] * a[i][j]; return y; } // 積:O(n^3) Matrix operator*(const Matrix& b) const { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/matrix_product Matrix res(n, b.m); rep(i, res.n) rep(k, m) rep(j, res.m) res[i][j] += v[i][k] * b[k][j]; return res; } Matrix& operator*=(const Matrix& b) { *this = *this * b; return *this; } // 累乗:O(n^3 log d) Matrix pow(ll d) const { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/pow_of_matrix Matrix res(n), pow2 = *this; while (d > 0) { if (d & 1) res *= pow2; pow2 *= pow2; d >>= 1; } return res; } #ifdef _MSC_VER friend ostream& operator<<(ostream& os, const Matrix& a) { rep(i, a.n) { os << "["; rep(j, a.m) os << a[i][j] << " ]"[j == a.m - 1]; if (i < a.n - 1) os << "\n"; } return os; } #endif }; //【階段行列】O(n^2 m) /* * 行基本変形で n×m 行列 A を階段行列に変形し,A の階数を返す. * また必要ならピボット位置 (i,j) の昇順リストを piv に格納する. */ template int reduced_row_echelon_form(Matrix& A, vector* piv = nullptr) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/matrix_rank int n = A.n, m = A.m; // 直前に見つけたピボットの位置 int pi = -1, pj = -1; // 注目位置を (i, j)(i 行目かつ j 列目)とする. int i = 0, j = 0; while (i < n && j < m) { // 同じ列の下方の行から非 0 成分を見つける. int i2 = i; while (i2 < n && A[i2][j] == 0) i2++; // 見つからなかったら注目位置を右に移す. if (i2 == n) { j++; continue; } // 見つかったら第 i 行とその行を入れ替える. pi = i; pj = j; if (i != i2) swap(A[i], A[i2]); if (piv) piv->emplace_back(pi, pj); // v[i][j] が 1 になるよう行全体を v[i][j] で割る. T Aij_inv = T(1) / A[i][j]; repi(j2, j, m - 1) A[i][j2] *= Aij_inv; // v[i][j] より下方の行の成分が全て 0 になるよう i 行目を定数倍して減じる. repi(i2, i + 1, n - 1) { T mul = A[i2][j]; repi(j2, j, m - 1) A[i2][j2] -= A[i][j2] * mul; } //// v[i][j] より上方の行の成分も全て 0 にしたい場合はこれも実行する. //repi(i2, 0, i - 1) { // T mul = A[i2][j]; // repi(j2, j, m - 1) A[i2][j2] -= A[i][j2] * mul; //} // 注目位置を右下に移す. i++; j++; } return pi + 1; } //【最大マッチング(高速)】O(n^3) /* * 与えられた無向グラフ g の最大マッチングの大きさを返す. * * 利用:【階段行列】 */ int maximum_matching_fast(const Graph& g) { // 参考 : https://kopricky.github.io/code/Academic/maximum_matching_memo.html int n = sz(g); mt19937_64 mt((int)time(NULL)); uniform_int_distribution rnd(1, 998244352); // A : 重みを乱数で決めたタット行列 Matrix A(n, n); rep(s, n) repe(t, g[s]) if (s < t) { mint w = rnd(mt); A[s][t] = w; A[t][s] = -w; } // g の最大マッチングの大きさは高確率で rank(A)/2 に等しい. auto rnk = reduced_row_echelon_form(A); return rnk / 2; } //【桁の数の取得(桁数固定)】O(log n) /* * n を len 桁で b 進表記したときの桁の数字を上位桁から順に並べたリストを返す. * * 制約:b ≧ 2 */ vi integer_digits(ll n, int len, int b = 10) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/327 Assert(abs(b) >= 2); // mod |b| を取れば最下位桁から順に決定していく. vi ds(len); rep(i, len) { int d = (int)(n % b); //int d = (int)smod(n, abs(b)); // 負数の可能性があるならこっち ds[len - 1 - i] = d; n = (n - d) / b; } return ds; } // 問題 prob の愚直解を返す. int naive(const PRB& prob) { auto [n, m] = prob; int N = (int)powi(n, m); Graph g(N); rep(i, N) rep(j, N) { auto si = integer_digits(i, m, n); auto sj = integer_digits(j, m, n); if (si.back() == sj.front()) g[i].push_back(j); } int c = maximum_matching_fast(g); return (int)(2 * c != N); } // 問題 prob の特徴ベクトル vec を返す(無効な prob に対しては空リストを返す) vi feature_extraction(const PRB& prob) { vi vec; auto& [n, m] = prob; // vec.push_back(n); // vec.push_back(m); vec.push_back(n % 2); vec.push_back(m % 4); vec.push_back(m == 1); vec.push_back(m == 2); return vec; } //【累乗(切り詰め)】O(log_a(inf)) /* * 非負整数 a, n に対し min(a^n, inf) を返す. */ ll truncated_pow(ll a, ll n, ll inf = INFL) { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc322/tasks/abc322_g Assert(a >= 0 && n >= 0); if (n == 0 || a == 1) return 1; if (a == 0) return 0; ll val = 1; for (ll i = 0; i < n; i++) { // val * a >= inf if (val >= (inf + a - 1) / a) { val = inf; break; } val *= a; } return val; } // 調べるべき問題 prob のリスト probs を返す. vector create_problems() { vector probs; mt19937_64 mt((int)time(NULL)); uniform_int_distribution rnd(0, (ll)1e18); repi(n, 1, 15) repi(m, 1, 15) { if (truncated_pow(n, m, INFL) <= 1000) { dump("n, m:", n, m); PRB prob = { n, m }; probs.push_back(prob); } } return probs; } // -------------------------------------------------------------------------- //【決定木】 /* * Decision_tree() : O(1) * クラス [0..CLS) を分類するための空の決定木を準備する. * * int size() : O(1) * データ数を返す. * * add_data(vi X, int y) : O(1) * (特徴ベクトル, クラス) = (X, y) を追加する. * * build() : O(n log n) (?) * 決定木を構築する. * * int predict(vi X) : O(log n) (?) * 特徴ベクトル X の属するクラスを返す. * * to_string() : O(n) * 決定木埋め込み用の文字列を出力する. */ template class Decision_tree { // ChatGPT 作 struct Node { int feature = -1; int threshold = 0; int label = -1; Node* left = nullptr, * right = nullptr; }; vvi Xs; vi ys; int DIM; Node* rt; Node* build_tree(vi& idx) { int n = sz(idx); // 全部同じクラスなら葉 bool same = true; repi(i, 1, n - 1) if (ys[idx[i]] != ys[idx[0]]) { same = false; break; } if (same) { Node* leaf = new Node(); leaf->label = ys[idx[0]]; return leaf; } int best_feat = -1; int best_thr = 0; double best_score = 1e18; // 特徴量ごとに候補探索 rep(feat, DIM) { vector vals; vals.reserve(n); repe(id, idx) vals.push_back({ Xs[id][feat], ys[id] }); sort(vals.begin(), vals.end()); // prefix 集計 array left_cnt, right_cnt; left_cnt.fill(0); right_cnt.fill(0); repe(v, vals) right_cnt[v.second]++; int left_size = 0, right_size = n; rep(i, n - 1) { int cls = vals[i].second; left_cnt[cls]++; right_cnt[cls]--; left_size++; right_size--; if (vals[i].first == vals[i + 1].first) continue; auto gini = [](const array& cnt, int sz) { if (sz == 0) return 0.0; double g = 1.0; rep(c, CLS) { double p = (double)cnt[c] / sz; g -= p * p; } return g; }; double score = gini(left_cnt, left_size) * left_size + gini(right_cnt, right_size) * right_size; if (score < best_score) { best_score = score; best_feat = feat; best_thr = vals[i + 1].first; } } } // 同じ特徴量なのにクラスが別のものがあれば不可能 Assert(best_feat != -1); vi L, R; repe(id, idx) { if (Xs[id][best_feat] < best_thr) L.push_back(id); else R.push_back(id); } // 毎回ほぼ半分ずつに分かれてくれるなら高速 Node* node = new Node(); node->feature = best_feat; node->threshold = best_thr; node->left = build_tree(L); node->right = build_tree(R); return node; } void to_string(Node* node) { if (!node) return; if (node->label != -1) { cout << "return " << node->label << ";"; return; } cout << "if(v[" << node->feature << "]<" << node->threshold << ")"; to_string(node->left); cout << "else "; to_string(node->right); } public: Decision_tree() : DIM(-1), rt(nullptr) { // verify : https://atcoder.jp/contests/arc192/tasks/arc192_b } // データ数を返す. int size() { return sz(Xs); } // (特徴ベクトル, クラス) = (X, y) を追加する. void add_data(const vi& X, int y) { // verify : https://atcoder.jp/contests/arc192/tasks/arc192_b Xs.push_back(X); ys.push_back(y); } // 決定木を構築する. void build() { // verify : https://atcoder.jp/contests/arc192/tasks/arc192_b vi idx(sz(Xs)); iota(all(idx), 0); DIM = sz(Xs[0]); rt = build_tree(idx); } // 特徴量ベクトル X の属するクラスを返す. int predict(const vi& X) { // verify : https://atcoder.jp/contests/arc192/tasks/arc192_b Node* node = rt; while (1) { if (node->label != -1) return node->label; if (X[node->feature] < node->threshold) node = node->left; else node = node->right; } } // 決定木埋め込み用の文字列を出力する. void to_string() { // verify : https://atcoder.jp/contests/arc192/tasks/arc192_b cout << "int predict(const vi& v){\n"; to_string(rt); cout << "\n}\n"; } }; // 抽出した特徴量だけで答えが決まるかチェックし,大丈夫なら決定木埋め込み用文字列を出力する. Decision_tree embed_decision_tree() { auto probs = create_problems(); // (特徴ベクトル, 答え) の形の決定木学習用データを用意する. map vec2ans; int cnt_valid_data = 0; for (auto& prob : probs) { auto vec = feature_extraction(prob); // 無効な問題は無視する. if (vec.empty()) continue; cnt_valid_data++; auto ans = naive(prob); if (vec2ans.count(vec)) { // 同じ特徴量をもつ問題で答えの異なるものがあれば失敗. if (vec2ans[vec] != ans) { dump("------------- ERROR! -------------"); dump("vec:", vec); dump("prob1:", prob); dump("ans1 :", ans); for (auto& prob2 : probs) { auto vec2 = feature_extraction(prob2); if (vec == vec2) { auto ans2 = naive(prob2); dump("prob2:", prob2); dump("ans2 :", ans2); exit(-1); } } } } else { vec2ans[vec] = ans; } } dump("cnt_valid_data:", cnt_valid_data, "→", "sz(vec2ans):", sz(vec2ans)); // 決定木を作成して埋め込む. Decision_tree T; for (auto [vec, ans] : vec2ans) T.add_data(vec, ans); T.build(); T.to_string(); exit(0); return T; } // --------------- embed_decision_tree() からの出力を貼る ---------------- int predict(const vi& v) { if (v[0] < 1)if (v[2] < 1)if (v[3] < 1)return 0; else return 1; else return 1; else return 1; } // ---------------------------------------------------------------------- int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); // embed_decision_tree(); ll n, m; cin >> n >> m; PRB prob{ n, m }; // dump("naive:", naive(prob)); dump("====="); auto vec = feature_extraction(prob); cout << (predict(vec) ? "First" : "Second") << endl; } /* cnt_valid_data: 63 → sz(vec2ans): 12 int predict(const vi& v){ if(v[0]<1)if(v[2]<1)if(v[3]<1)return 0;else return 1;else return 1;else return 1; } */