def prime_factors(n, return_e: bool = True): """ nの素因数分解を指数付きで返す 計算量O(√N) O(n^(1/4))もある https://qiita.com/drken/items/a14e9af0ca2d857dad23#4-%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3 """ assert 1 <= n pfs = [] a = 2 while a**2 <= n: if n % a == 0: ex = 0 while n % a == 0: ex += 1 n //= a pfs.append((a, ex) if return_e else a) a += 1 if n != 1: pfs.append((n, 1) if return_e else n) return pfs def primitive_root(p: int) -> int: """素数pに対する何らかの原始根rを一つ求める (rの位数はp-1) https://manabitimes.jp/math/842 https://37zigen.com/primitive-root/ 最速ではない """ if p == 2: return 1 from random import shuffle p_1_pfs = prime_factors(p-1, return_e=False) candidates_for_r = list(range(2, p)) shuffle(candidates_for_r) # 乱択で原始根を探す for cfr in candidates_for_r: for pf in p_1_pfs: if pow(cfr, (p-1)//pf, p) == 1: # p-1//pfが位数候補 break else: # 全ての位数候補に対して、その否定がなされた。 return cfr else: raise AssertionError def discrete_logarithm(x, y, mod): """離散対数問題 x^k≡yとなるようなkを求める O(√mod)""" babys = {} sqrt = int(mod**0.5)+1 # baby-step x_baby = 1 for i in range(sqrt): babys[x_baby] = i # x^(sqrt-1)まで求めておく if x_baby == y: return i x_baby = x_baby * x % mod # giant-step x_giant = pow(x_baby, mod-2, mod) # x^(-sqrt) for i in range(1, sqrt+1): y = y * x_giant % mod if y in babys: # ここで√modずつ見ていく為に速い return babys[y] + i*sqrt return -1 # 原始根でない限り、必ず存在するとは言えない def _inv_gcd(a, b) -> tuple: """ 返り値は(gcd(a,b),x) (ただしxa≡g (mod b) 0<=x<b//g) 計算量 O(log(max(a,b))) ラメの定理などからも分かる通り計算量が非常に小さい (0<=a<=b∊N len(str(a))=dの時、gcd算出の為の計算回数は5d以下) 逆元を求めるならpow(g,-1,b)でもいいが、versionの問題とgとbが互いに素という制約はある また、このコードは拡張ユークリッドの互除法の行列表現からも理解可能 再帰でも書ける https://github.com/atcoder/ac-library/blob/master/atcoder/internal_math.hpp """ # assert 0 <= a and 1 <= b a %= b if a == 0: return (b, 0) s = b # m0*a≡s (mod b) これらの性質をm0,m1は満たしていることに注意 t = a # m1*a≡t (mod b) m0 = 0 # s*|m1|+t*|m0|<=b m1 = 1 # また、a<bよりt<sが成立 while t: # この三行は互除法そのもの u = s // t s -= t * u s, t = t, s # m0とm1が先ほど挙げた性質を保持し続ける様に変更する oがoldm、nがnewを示すとして # o_m0*a=o_s o_m1*a=o_t (冒頭にあげた性質) # n_s=o_t n_t=o_s-o_t*u (互除法による変更) # o_m1*a=n_s (o_m0-o_m1*u)*a=n_t (代入して整理) # これを先の性質の式と見比べるとn_m0=o_m1 n_m1=o_m0-o_m1*uを得る これが下の式の正体 # 三つ目の性質も保たれていることは代入すればすぐわかる m0 -= m1 * u m0, m1 = m1, m0 if m0 < 0: # 三つ目の性質を利用するとu*|n_m0|<=b//s=b//g⇒|n_mo|<b/g (∵u>=0) m0 += b // s return (s, m0) def eea(a: int, b: int) -> tuple: """ ax+by=gcd(a,b)なる(x,y)を求める(拡張されたユークリッドの互除法) (extended_euclidean_algorithm)(元のユークリッドの互除法はgcdを求める手法を指す) https://qiita.com/drken/items/b97ff231e43bce50199a https://ja.wikipedia.org/wiki/ユークリッドの互除法 <-英語版が優秀すぎ https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm また、以上の話題は連分数展開とも関連があるらしい """ g, x = _inv_gcd(a, abs(b)) y = (b//abs(b))*(g-a*x)//abs(b) # assert (g-a*x) % abs(b) == 0 return (x, y) def main(): import sys from math import gcd input = sys.stdin.buffer.readline T = int(input()) for _ in range(T): p, k, a = map(int, input().split()) g = primitive_root(p) y = discrete_logarithm(g, a, p) gkp = gcd(k, p-1) if y % gkp != 0: print(-1) continue z = (y//gkp)*eea(k//gkp, -(p-1)//gkp)[0] x = pow(g, z % (p-1), p) print(x) if __name__ == '__main__': main()