#ifndef HIDDEN_IN_VISUAL_STUDIO // 無意味.折りたたむのが目的. // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // 使えるライブラリの読み込み #include #include // function using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vll = vector; using vvll = vector; using vvvll = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; // 定数の定義 const double PI = 3.14159265359; // 円周率 const double DEG = PI / 180.0; // θ [deg] = θ * DEG [rad] const vi dx4 = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi dy4 = { 0, 1, 0, -1 }; const vi dx8 = { 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 1 }; // 8 近傍 const vi dy8 = { 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, -1 }; const ll INFL = (ll)1e18; const int INF = (int)1e9; const double EPS = 1e-10; // 許容誤差に応じて調整 // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repbm(mid, set, d) for(int mid = set; mid < (1 << int(d)); mid = (mid + 1) | set) // set を含む部分集合の全探索(昇順) #define repbs(sub, set) for (int sub = set, bsub = 1; bsub > 0; bsub = sub, sub = (sub - 1) & set) // set の部分集合の全探索(降順) #define repbc(set, k, d) for (int set = (1 << k) - 1, lb, nx; set < (1 << n); lb = set & -set, nx = set + lb, set = (((set & ~nx) / lb) >> 1) | nx) // 大きさ k の部分集合の全探索 #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define repit(it, a) for(auto it = (a).begin(); it != (a).end(); ++it) // イテレータを回す(昇順) #define repitr(it, a) for(auto it = (a).rbegin(); it != (a).rend(); ++it) // イテレータを回す(降順) #define Yes(b) if(b){cout << "Yes" << endl;}else{cout << "No" << endl;} // 汎用関数の定義 inline ll pow(ll n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } // 工夫が必要なほど k が大きかったらどうせオーバーフローするからこれでいい inline ll pow(int n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) // 入出力用の >>, << のオーバーロード template inline istream& operator>> (istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } // pair の入力用 template inline ostream& operator<< (ostream& os, const pair& p) { os << "(" << p.first << "," << p.second << ")"; return os; } // pair の出力用 template inline istream& operator>> (istream& is, tuple& t) { is >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t); return is; } // tuple の入力用 template inline ostream& operator<< (ostream& os, const tuple& t) { os << "(" << get<0>(t) << "," << get<1>(t) << "," << get<2>(t) << ")"; return os; } // tuple の出力用 template inline istream& operator>> (istream& is, tuple& t) { is >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t); return is; } // tuple の入力用 template inline ostream& operator<< (ostream& os, const tuple& t) { os << "(" << get<0>(t) << "," << get<1>(t) << "," << get<2>(t) << "," << get<3>(t) << ")"; return os; } // tuple の出力用 template inline istream& operator>> (istream& is, vector& v) { rep(i, sz(v)) is >> v[i]; return is; } // vector の入力用 template inline ostream& operator<< (ostream& os, const vector& v) { rep(i, sz(v)) os << v[i] << " "; return os; } // vector の出力用 template inline ostream& operator<< (ostream& os, const set& s) { repe(x, s) os << x << " "; return os; } // set の出力用 // 手元環境(Visual Studio) #ifdef _MSC_VER #define popcount (int)__popcnt // 全ビットにおける 1 の個数 #define popcountll (int)__popcnt64 inline int ctz(unsigned int n) { unsigned long i; _BitScanForward(&i, n); return i; } // 下位ビットに並ぶ 0 の個数 ll gcd(ll a, ll b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } // 最大公約数 #define dump(x) cerr << "[DEBUG] " << endl << x << endl; // デバッグ出力用 #define dumpel(v) cerr << "[DEBUG]" << endl; for (const auto& x : v) {cout << x << endl;} // 提出用(GCC) #else #define popcount (int)__builtin_popcount #define popcountll (int)__builtin_popcountll #define ctz __builtin_ctz #define gcd __gcd #define dump(x) #define dumpel(v) #endif #endif // 無意味.折りたたむのが目的. //-----------------AtCoder 専用----------------- #include using namespace atcoder; // mint で使いたい法によってここを切り替える //using mint = modint1000000007; using mint = modint998244353; //using mint = modint; // modint::set_mod(10000); // mint の法の指定 istream& operator>> (istream& is, mint& x) { ll tmp; is >> tmp; x = tmp; return is; } // mint の入力用 ostream& operator<< (ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } // mint の出力用 using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; //---------------------------------------------- //【離散対数問題/Baby-step giant-step】O(√mod) /* * a^x = b の解の 1 つ x = log_a b を返す. * * 戻り値:a^x = b の解 x >= 0(なければ -1) * *(平方分割) */ int log(const mint& a, mint b) { // 参考:https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/baby-step-giant-step.html //【方法】 // m = ceil(√mod),r = a^(-m) とおく. // // まず 0 <= x < m の範囲の x について a^x を計算した集合 S を得る. // S の中に b に一致するものがあればそれでよい. // なかった場合は x >= m であることが確定する. // // 次に解くべき方程式 // a^x = b // の両辺に r を掛けて // a^(x-m) = b r // とする. // もし S の中に b r に一致するものがあれば,そこから x-m が分かり, // その結果に m を加えたものが求める x の値である. // なかった場合は x >= 2 m であることが確定する. // // a^(mod - 1) = 1 なので,同様のステップは高々 m 回で終了する. // 各回の S へのアクセスが O(1) で行えるなら,全体計算量は O(m) である. int m = (int)ceil(sqrt(mint::mod())); // a = 0 の場合の例外処理 if (a == 0) { if (b == 0) { return 1; } else { return -1; } } // loga[a^i] = i を計算しておく. unordered_map loga = { {1, 0} }; mint p = 1; repi(i, 1, m - 1) { p *= a; loga[p.val()] = i; } // r = a^(-m) mint r = a.pow(m).inv(); // 方程式の両辺に r = a^(-m) を掛けながら解を探していく. rep(i, m) { if (loga.count(b.val())) { return m * i + loga[b.val()]; } b *= r; } // 見つからなかったら -1 を返す. return -1; } //【平方剰余/トネリ-シャンクスのアルゴリズム】O(√mod) /* * x^2 = a の解の 1 つ x = √a を返す. * * 戻り値:x^2 = a の解 x >= 0(なければ -1) */ int sqrt(const mint& a) { // 参考:https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/tonelli-shanks.html //【方法】 // p = mod, p - 1 = 2^d q(q : 奇数)と表しておく. // // 乱数を用いて適当な平方非剰余 z を見つける. // オイラーの基準より, // z が平方非剰余 ⇔ z^((p-1)/2) = -1 // である. // // t = a^q と初期化する.a は平方剰余なので,オイラーの基準より // t^(2^(d-1)) = a^(2^(d-1) q) = a^((p-1)/2) = 1 // となる. // // i = [d-2..0] について,t^(2^i) = -1 であれば // t *= z^((p-1) / 2^(i+1)) // と t を更新する. // (z^((p-1) / 2^(i+1)))^(2^i) = z^(2^i (p-1) / 2^(i+1)) = z^((p-1) / 2) = -1 // なので,この更新により t^(2^i) = 1 となる. // i = 0 まで更新を終えれば,最終的に t = 1 となる. // // 求める x は // x = a^(1/2) = (t a)^(1/2) // と表されるから,2 のべきを 1 つ小さくしながら途中計算することにより, // 先の計算と同時に x を得ることができる. // 初回は乱数のシードを時刻で初期化する. static bool fc = true; if (fc) { srand((unsigned)time(NULL)); fc = false; } // a が平方非剰余なら -1 を返す. const int p = mint::mod(); if (a.pow((p - 1) / 2) == -1) { return -1; } // mod - 1 = 2^d q(q : 奇数)なる d, q を得る. int q = p - 1, d = 0; while (q % 2 == 0) { q /= 2; d++; } // 適当な平方非剰余 z を見つける. mint z = rand(); while (z.pow((p - 1) / 2) == 1) { z = rand(); } // t を更新しつつ結果を得る. mint t = a.pow(q), res = a.pow((q + 1) / 2); repir(i, d - 2, 0) { if (t.pow(1LL << i) == -1) { t *= z.pow((p - 1) >> (i + 1)); res *= z.pow((p - 1) >> (i + 2)); } } return res.val(); } //【位数】O(√mod) /* * a^x = 1 となる最小の自然数 x を返す.(なければ -1) */ int ord(const mint& a) { int m = (int)ceil(sqrt(mint::mod())); // a = 0 の場合の例外処理 if (a == 0) { return -1; } // loga[a^i] = i を計算しておく. unordered_map loga = { {1, 0} }; mint p = 1; repi(i, 1, m - 1) { p *= a; loga[p.val()] = i; } // r = a^(-m) mint r = a.pow(m).inv(); // 方程式の両辺に r = a^(-m) を掛けながら解を探していく. mint b = 1; rep(i, m) { if (loga.count(b.val())) { int res = m * i + loga[b.val()]; if (res != 0) { return res; } } b *= r; } // 見つからなかったら -1 を返す. return -1; } //【拡張ユークリッドの互除法】O(log a) /* * g = gcd(a, b) と,a x + b y = g の解 (x, y) の組を求める. * |x| + |y| は最小になるよう選ばれ,複数あれば x <= y のものを選ぶ. * * 戻り値 : タプル {g, x, y} */ tuple extended_euclidean_algorithm(ll a, ll b) { vector> mat = { {1, 0}, {0, 1} }; ll q, r; while (true) { q = a / b; r = a % b; vector> old = mat; mat[0][0] = old[1][0]; mat[0][1] = old[1][1]; mat[1][0] = old[0][0] - q * old[1][0]; mat[1][1] = old[0][1] - q * old[1][1]; a = b; b = r; if (r == 0) { break; } } // 順に (gcd(a,b), x, y) return { a, mat[0][0], mat[0][1] }; } int main() { cout << fixed << setprecision(15); // 小数点以下の桁数の指定 mint a, b, p, q; cin >> a >> b >> p >> q; mint d = a * a - 4 * b, rd = sqrt(d); mint x = (a - rd) / 2; mint y = (a + rd) / 2; dump(x); dump(y); if (d == 0) { cout << log(x, p / 2) << endl; } else { int n1 = log(x, x * (p - q * y) / (x - y)); int n2 = log(y, y * (p - q * x) / (y - x)); dump(n1); dump(n2); int ord1 = ord(x); int ord2 = ord(y); ll s, t, g; tie(g, s, t) = extended_euclidean_algorithm(ord1, ord2); s *= (n2 - n1) / g; int n = ((n1 + s * ord1) % 998244352 + 998244352) % 998244352; cout << n << endl; } }