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Deleteq　想定解v2

dp[i][j] = ABをi個、BAをj個最小で使うことで作成可能な文字列の個数

AB,BAは対消滅可能なので、
i <= x , j <= y , i-j = x-y
となる i,jに関して総和を求めればよい。

x-y >= 0 となるように、x,yを交換する。
iを決めると、jも決まる。
ここから、iの範囲が決まる。
後は、x-yごとにindexをiとして累積和を取っておくとクエリO(1)

dp2[a][b] = (i-j==a) かつ、i <= b の場合の dp[i][j] の総和

TLEもやむなし

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import sys
from sys import stdin

mod = 998244353

dp = [[0] * 4001 for i in range(4001)]
dp[0][0] = 1

for i in range(4001):
    for j in range(4001):

        if i != 0 and j != 0:
            #add AA or BB
            dp[i][j] += 2 * dp[i-1][j-1]

        if i != 0:
            #add AB
            dp[i][j] += dp[i-1][j]

        if j != 0:
            dp[i][j] += dp[i][j-1]

        dp[i][j] %= mod

dp2 = [ [0] * (4002) for i in range(4002) ]

for i in range(4001):
    for j in range(i+1):
        a = i - j
        dp2[a][i] += dp[i][j]
        dp2[a][i] %= mod

#累積和
for a in range(4001):
    for b in range(4000):
        dp2[a][b+1] += dp2[a][b]
        dp2[a][b+1] %= mod

Q = 1
ANS = []
for loop in range(Q):

    x,y = map(int,stdin.readline().split())

    #制約チェック
    assert 1 <= x <= 4000
    assert 1 <= y <= 4000

    if x < y:
        x,y = y,x

    a = x-y
    
    ilim = min(x , y+a)
    ANS.append( dp2[a][ilim] )

print ("\n".join(map(str,ANS)))