解説公開までに実装できないのでテキストで提出します

クエリの平方分割をして、dymamic treeなるものを使わずに解きます

そもそもこの問題のクエリなしバージョンにおいて、全頂点に対する解を求めるのは O(N)で解けます
これは定数回dfsをすると求められて、各頂点に接する1位,2位の頂点へ向かう辺にしか興味がなく、vを求める際はこれを辿って行くことで求められます
ある辺がどの辺に依存するかを考えるとこれは明らかにDAGとなり、O(N)個の辺で構成されます
この依存順に見ていくと、クエリ無しバージョンで全頂点に対する解を O(N)で求めることができます

sqrt(Q)毎に、先の O(N)で解を求める方法を行います。これを全更新と呼ぶことにします。
基本的な方針として、クエリ毎に前回の全更新からの差分を再計算します
まず、前回の全更新から変更のあった頂点群を、uからの距離でソートしておきます、この列をVとします

以下を繰り返して、uが葉になったらそれが答えです
1. uに接する1位の辺(または2位の辺)をたどり、この頂点をsとします
2. sに接する1位の辺(または2位の辺)から前回の全更新時の解wとのパスの間にVの頂点があるかを先頭から順に調べます
   LCAとかを使うとパス中に頂点があるかどうかは適当に求められます
3. 更新があった先頭の頂点をtとすると、パスs-t上のtの手前の頂点をuとして、1に戻ります

これで多分o(n^2)で解けるはずです