#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi dx4 = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi dy4 = { 0, 1, 0, -1 }; const vi dx8 = { 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 1 }; // 8 近傍 const vi dy8 = { 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, -1 }; const int INF = 1001001001; const ll INFL = 4004004004004004004LL; const double EPS = 1e-12; // 許容誤差に応じて調整 // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(15); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define distance (int)distance #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } // 手元環境(Visual Studio) #ifdef _MSC_VER #include "local.hpp" // 提出用(gcc) #else #define popcount (int)__builtin_popcount #define popcountll (int)__builtin_popcountll #define lsb __builtin_ctz #define lsbll __builtin_ctzll #define msb(n) (31 - __builtin_clz(n)) #define msbll(n) (63 - __builtin_clzll(n)) #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #endif #endif // 折りたたみ用 //--------------AtCoder 専用-------------- #include using namespace atcoder; //using mint = modint1000000007; //using mint = modint998244353; using mint = modint; // mint::set_mod(m); istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; //---------------------------------------- //【めぐる式二分探索】O(log|ok - ng|) /* * 条件 okQ() を満たす要素 ok と満たさない要素 ng との境界を二分探索する. * 境界に隣り合うような条件を満たす要素(ok 側)の位置を返す. */ template T meguru_search(T ok, T ng, function& okQ) { // verify : https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/courses/lesson/1/ALDS1/all/ALDS1_4_D // 境界が決定するまで while (abs(ok - ng) > 1) { // 区間の中間 T mid = (ok + ng) / 2; // 中間が OK かどうかに応じて区間を縮小する. if (okQ(mid)) ok = mid; else ng = mid; } return ok; /* okQ の定義の雛形 function okQ = [&](ll x) { return true || false; }; */ } //【累積非可逆積(モノイド)】 /* * Cumulative_lossy_prod(a) : O(n) * 配列 a[0..n) で初期化する * 要素はモノイド の元とする. * * left_prod(r) : O(1) * Πa[0..r] を返す. * * right_prod(l) : O(1) * Πa[l..n) を返す. * * without_prod(i) : O(1) * Πa[0..i)a(i..n) を返す. */ template struct Cumulative_lossy_prod { int n; // acc_l[i] : Πa[0..i) // acc_r[i] : Πa[i..n) vector acc_l, acc_r; // コンストラクタ(配列で初期化) Cumulative_lossy_prod(const vector& a) : n(sz(a)), acc_l(n + 1), acc_r(n + 1) { acc_l[0] = acc_r[n] = e(); rep(i, n) acc_l[i + 1] = op(acc_l[i], a[i]); repir(i, n - 1, 0) acc_r[i] = op(a[i], acc_r[i + 1]); } Cumulative_lossy_prod() : n(0) {} // ダミー // Πa[0..r] を返す. S left_prod(int r) { // verify : https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/courses/lesson/1/ALDS1/all/ALDS1_1_D return acc_l[r + 1]; } // Πa[l..n) を返す. S right_prod(int l) { // verify : https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/courses/lesson/1/ALDS1/all/ALDS1_1_D return acc_r[l]; } // Πa[0..i)∪a(i..n) を返す. S without_prod(int i) { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc134/tasks/abc134_c return op(acc_l[i], acc_r[i + 1]); } }; //【乗算 モノイド】 using S2 = mint; S2 op2(S2 a, S2 b) { return a * b; } S2 e2() { return 1; } #define Mul_monoid S2, op2, e2 //【素因数分解(複数)】 /* * Factor_integer(int n) : O(n log(log n)) * n 以下の自然数を高速に素因数分解する準備を行う. * * factor_integer(int i, map& pps) : O(log n) * i の素因数分解結果を pps に格納する. */ struct Factor_integer { int n; // d[i] : i を割り切る最小の素数 vi d; // n 以下の自然数を高速に素因数分解する準備を行う. Factor_integer(int n_) : n(n_), d(n + 1) { iota(all(d), 0); for (int p = 2; p * p <= n; p++) { if (d[p] != p) continue; for (int i = p; i <= n; i += p) { d[i] = p; } } } // i の素因数分解結果を pps に格納する. void factor_integer(int i, map& pps) { pps.clear(); while (i > 1) { pps[d[i]]++; i /= d[i]; } } }; int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); int n; cin >> n; vi a(n), b(n); rep(i, n) cin >> a[i] >> b[i]; Factor_integer fi(200000); vector> bpps(n); rep(i, n) fi.factor_integer(b[i], bpps[i]); dumpel(bpps); unordered_map pps; rep(i, n) repe(pp, bpps[i]) pps[pp.first] += pp.second; dump(pps); vector divs; repe(pp, pps) { // 分子が p^x で割り切れるか function okQ = [&](int x) { mint::set_mod((int)pow(pp.first, x)); vm bm(n); rep(i, n) bm[i] = b[i]; Cumulative_lossy_prod clp(bm); mint sum = 0; rep(i, n) sum += a[i] * clp.without_prod(i); return sum == 0; }; int d = meguru_search(0, min(pp.second + 1, (int)(log(1e9) / log(pp.first))), okQ); divs.push_back({ pp.first, d }); } dump(divs); mint::set_mod(998244353); mint div = 1; repe(d, divs) div *= pow(d.first, d.second); mint d = 1; rep(i, n) d *= b[i]; mint c = 0; rep(i, n) c += a[i] * d / b[i]; c /= div; d /= div; cout << c << " " << d << endl; }