#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL; double EPS = 1e-12; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } // 手元環境(Visual Studio) #ifdef _MSC_VER #include "local.hpp" // 提出用(gcc) #else inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif #endif // 折りたたみ用 //--------------AtCoder 専用-------------- #include using namespace atcoder; //using mint = modint1000000007; using mint = modint998244353; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; //---------------------------------------- // O(n^2 log max(a)) mint TLE(int n, vi a) { vm dp(n); rep(i, n) { rep(j, i) { if (gcd(a[i], a[j]) == 1) continue; dp[i] += dp[j]; } dp[i]++; } return accumulate(all(dp), mint(0)); } //【素因数分解(複数)】 /* * Factor_integer(int n) : O(n log(log n)) * n 以下の自然数を高速に素因数分解する準備を行う. * * factor_integer(int i, map& pps) : O(log n) * i の素因数分解結果を pps に格納する. */ struct Factor_integer { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc215/tasks/abc215_d int n; // d[i] : i を割り切る最小の素数 vi d; // n 以下の自然数を高速に素因数分解する準備を行う. Factor_integer(int n_) : n(n_), d(n + 1) { iota(all(d), 0); for (int p = 2; p * p <= n; p++) { if (d[p] != p) continue; for (int i = p; i <= n; i += p) { d[i] = p; } } } // i の素因数分解結果を pps に格納する. void factor_integer(int i, map& pps) { Assert(i <= n); pps.clear(); while (i > 1) { pps[d[i]]++; i /= d[i]; } } }; //【約数列挙(素因数分解済)】O(σ(n)) /* * n の素因数分解結果 pps を利用して n の約数全てをリスト divs に昇順に格納する. */ template void divisors(map& pps, vector& divs) { // verify : https://atcoder.jp/contests/arc068/tasks/arc068_c divs = vector({ T(1) }); repe(pp, pps) { T p; int d; tie(p, d) = pp; vector powp(d); powp[0] = p; rep(i, d - 1) powp[i + 1] = powp[i] * p; int m = sz(divs); repir(j, m - 1, 0) { rep(i, d) { divs.push_back(divs[j] * powp[i]); } } } sort(all(divs)); } //【素数の列挙】O(n log(log n)) /* * n 以下の素数を列挙し,ps に昇順に格納する. */ void eratosthenes(int n, vi& ps) { // verify : https://algo-method.com/tasks/330 ps.clear(); // 素数かどうかを記録しておくためのテーブル vb is_prime(n + 1, true); is_prime[0] = is_prime[1] = false; int i = 2; // √n 以下の i の処理 for (; i <= n / i; i++) { if (is_prime[i]) { ps.push_back(i); for (int j = i * i; j <= n; j += i) { is_prime[j] = false; } } } // √n より大きい i の処理 for (; i <= n; i++) { if (is_prime[i]) ps.push_back(i); } } //【倍数変換,GCD 畳込み】 /* * Multiple_transform(int n) : O(n log(log n)) * n までの素数を持って初期化する. * * multiple_zeta(vT& a) : O(n log(log n)) * A[j] = Σ_(j | i) a[i] なる A に上書きする. * (倍数ゼータ変換,約数への累積和) * * multiple_mobius(vT& A) : O(n log(log n)) * A[j] = Σ_(j | i) a[i] なる a に上書きする. * (倍数メビウス変換,倍数への差分) * * vT gcd_convolution(vT a, vT b) : O(n log(log n)) * c[k] = Σ_(gcd(i, j) = k) a[i] b[j] なる c を返す. * * 制約:1-indexed とし,a[0], b[0] は使用しない. * * 利用:【素数の列挙】 */ template struct Multiple_transform { // 参考 : https://qiita.com/convexineq/items/afc84dfb9ee4ec4a67d5 // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/gcd_convolution vi ps; // 素数のリスト Multiple_transform() {} Multiple_transform(int n) { eratosthenes(n, ps); } void multiple_zeta(vector& f) { // 具体例: // A[1] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8] + ... // A[2] = a[2] + a[4] + a[6] + a[8] + ... // A[3] = a[3] + a[6] + ... // A[4] = a[4] + a[8] + ... // A[5] = a[5] + ... // A[6] = a[6] + ... // A[7] = a[7] + ... // A[8] = a[8] + ... int n = sz(f); // 各素因数ごとに上からの累積和をとる repe(p, ps) { repir(i, (n - 1) / p, 1) f[i] += f[p * i]; } } void multiple_mobius(vector& f) { int n = sz(f); // 各素因数ごとに下からの差分をとる repe(p, ps) { repi(i, 1, (n - 1) / p) f[i] -= f[p * i]; } } vector gcd_convolution(vector a, vector b) { int n = sz(a); // 各素因数の min をとったものが gcd なので min 畳込みを行う. multiple_zeta(a); multiple_zeta(b); rep(i, n) a[i] *= b[i]; multiple_mobius(a); return a; } }; void WA() { int n; cin >> n; vi a(n); cin >> a; int m = (int)1e6; m = 20; Factor_integer fi(m); vvm cnt(m + 1, vm{ 1, 0 }); vi l(m + 1, 0); vm pow2(n + 1); pow2[0] = 1; rep(i, n) pow2[i + 1] = pow2[i] * 2; Multiple_transform mt(m); rep(i, n) { map pps; fi.factor_integer(a[i], pps); vi divs; divisors(pps, divs); repe(d, divs) { // d の倍数でない数が間に挟まっていた場合 if (l[d] < i) { cnt[d][0] = cnt[d][0] * pow2[i - l[d]] + cnt[d][1] * (pow2[i - l[d]] - 1); } // a[i] を採用する場合 cnt[d][1] += cnt[d][0]; l[d] = i + 1; } } dump(cnt); dump(l); repi(d, 1, m) { int i = n; if (l[d] < i) { cnt[d][0] = cnt[d][0] * pow2[i - l[d]] + cnt[d][1] * (pow2[i - l[d]] - 1); } } dump(cnt); vm seq(m + 1); repi(i, 1, m) seq[i] = pow2[n] - (cnt[i][0] + cnt[i][1]); dump(seq); mt.multiple_mobius(seq); dump(seq); mint res = pow2[n] - 1 - seq[1]; cout << res << endl; } //【倍数変換(添字約数制限)】 /* * Limited_multiple_transform(vl ps, vl divs) : O(1) * 定数 n を定め,n の素因数の昇順列を ps,約数の昇順列を divs とする. * 添字集合を n の約数集合として初期化する. * (σ(n) : n の約数の個数,ω(n) : n の素因数の種類数) * * multiple_zeta(umap& a) : O(σ(n) ω(n)) * A[j] = Σ_(j | i) a[i] なる A に上書きする. * (倍数ゼータ変換,約数への累積和) * * multiple_mobius(umap& A) : O(σ(n) ω(n)) * A[j] = Σ_(j | i) a[i] なる a に上書きする. * (倍数メビウス変換,倍数への差分) * umap gcd_convolution(umap a, umap b) : O(σ(n) ω(n)) * c[k] = Σ_(gcd(i, j) = k) a[i] b[j] なる c を返す. */ template struct Limited_multiple_transform { vi ps; // ps : n の素因数の昇順リスト vi divs; // divs : n の約数の昇順リスト Limited_multiple_transform() {} Limited_multiple_transform(const vi& ps_, const vi& divs_) : ps(ps_), divs(divs_) {} void multiple_zeta(unordered_map& f) { // 各素因数ごとに上からの累積和をとる repe(p, ps) { for (auto it = divs.rbegin(); it != divs.rend(); it++) { int d = *it; if (!f.count(p * d)) continue; f[d] += f[p * d]; } } } void multiple_mobius(unordered_map& f) { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc212/tasks/abc212_g // 各素因数ごとに下からの差分をとる repe(p, ps) { repe(d, divs) { if (!f.count(p * d)) continue; f[d] -= f[p * d]; } } } unordered_map gcd_convolution(unordered_map a, unordered_map b) { // 各素因数の min をとったものが gcd なので min 畳込みを行う. multiple_zeta(a); multiple_zeta(b); repe(d, divs) a[d] *= b[d]; multiple_mobius(a); return a; } }; //【素因数と約数の列挙】O(√n) /* * n の互いに異なる素因数全てをリスト ps に,約数全てをリスト divs にそれぞれ昇順に格納する. */ void primefactors_and_divisors(int n, vi& ps, vi& divs) { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc212/tasks/abc212_g ps.clear(); divs.clear(); divs.push_back(1); for (int p = 2; p * p <= n; p++) { int d = 0; while (n % p == 0) { d++; n /= p; } if (d == 0) continue; ps.push_back(p); vi powp(d); powp[0] = p; rep(i, d - 1) powp[i + 1] = powp[i] * p; repir(j, sz(divs) - 1, 0) { rep(i, d) { divs.push_back(divs[j] * powp[i]); } } } if (n > 1) { ps.push_back(n); repir(j, sz(divs) - 1, 0) { divs.push_back(divs[j] * n); } } sort(all(divs)); } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); int n; cin >> n; vi a(n); cin >> a; int m = (int)1e6; // m = 20; vm acc(m + 1); mint sum = 0; rep(i, n) { dump("----"); dump(i); vi ps, divs; primefactors_and_divisors(a[i], ps, divs); Limited_multiple_transform lmt(ps, divs); unordered_map a; repe(d, divs) a[d] = acc[d]; dump(a); lmt.multiple_mobius(a); dump(a); mint dp = 1 + sum - a[1]; repe(d, divs) acc[d] += dp; sum += dp; // dump(acc); dump(sum); dump(dp); } cout << sum << endl; }