#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL; double EPS = 1e-12; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } // 手元環境(Visual Studio) #ifdef _MSC_VER #include "local.hpp" // 提出用(gcc) #else inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_list2D(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; //using mint = modint1000000007; //using mint = modint998244353; using mint = modint; // mint::set_mod(m); istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; #endif //【平方剰余】O((log p)^2) /* * x^2 = a mod p の解 x の 1 つを返す.(なければ -1) * * 制約 : p = mint::mod() は素数 */ int tonelli_shanks(const mint& a) { // 参考:https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/tonelli-shanks.html // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod //【方法】 // p = mod, p-1 = 2^d q(q : 奇数)と表しておく. // // a = 0 のときは 0^2 = 0 なので単に 0 を返せば良い. // // p = 2 のときは x^2 = x (mod 2) なので単に a を返せば良い. // // a が平方非剰余の場合を検出するには,オイラーの規準より // a が平方非剰余 ⇔ a^((p-1)/2) = -1 // であることを用いてればよい.この場合は -1 を返す. // // p = 3 (mod 4) の場合は,単に x = a^((p+1)/4) を返せば良い.実際,オイラーの規準より // x^2 = a^((p+1)/2) = a * a^((p-1)/2) = a * 1 = a // となる. // // 以降の手順のため,オイラーの規準を用いて適当な平方非剰余 z を見つけておく. // // t = a^q と初期化する.a は平方剰余なので,オイラーの規準より // t^(2^(d-1)) = a^(2^(d-1) q) = a^((p-1)/2) = 1 // となる. // // i∈[d-2..0] について,t^(2^i) = -1 であれば // t *= z^(2^(d-i-1) q) // と t を更新する.この因子の 2^i 乗は // (z^(2^(d-i-1) q))^(2^i) = z^(2^(d-1) q) = z^((p-1)/2) = -1 // より -1 なので,この更新により t^(2^i) = 1 となる. // i = 0 まで更新を終えれば最終的に t = 1 となり,ここまでの手順から // 1 = a^q z^(2^(d-i[1]-1) q) ... z^(2^(d-i[k]-1) q) // の形の等式が得られる. // // 先の等式を用いれば,求める x は // x = (1 a)^(1/2) // = (a^(q+1) z^(2^(d-i[1]-1) q) ... z^(2^(d-i[k]-1) q))^(1/2) // = a^((q+1)/2) z^(2^(d-i[1]-2) q) ... z^(2^(d-i[k]-2) q) // と表される. // 法 p を得る. int p = mint::mod(); // a = 0 の場合の例外処理 if (a == 0) return 0; // p = 2 の場合の例外処理 if (p == 2) return a.val(); // a が平方非剰余なら -1 を返す. if (a.pow((p - 1) / 2) == -1) return -1; // p = 3 (mod 4) の場合は簡単に解決する. if (p % 4 == 3) return a.pow((p + 1) / 4).val(); // mod - 1 = 2^d q(q : 奇数)なる d, q を得る. int q = p - 1, d = 0; while (q % 2 == 0) { q /= 2; d++; } mt19937_64 mt((int)time(NULL)); uniform_int_distribution rnd(2, p - 1); // 適当な平方非剰余 z を見つける. mint z; vm z_pow(d); // z_pow[i] = z^(2^i q) while (true) { z = rnd(mt); z_pow[0] = z.pow(q); repi(i, 1, d - 1) z_pow[i] = z_pow[i - 1] * z_pow[i - 1]; if (z_pow[d - 1] == -1) break; } // t を更新しつつ結果を得る. mint tmp = a.pow((q - 1) / 2), res = tmp * a, t = tmp * res; repir(i, d - 2, 0) { if (t.pow(1LL << i) == -1) { t *= z_pow[d - i - 1]; res *= z_pow[d - i - 2]; } } return res.val(); } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); int p; cin >> p; mint::set_mod(p); mint k = (p - 1) / 2; mint D = 9 - 4 * (k * k + 4 * k + 2); int res = tonelli_shanks(D); cout << (res != -1 ? "YES" : "NO") << endl; }