#yukicoder 中華風(Easy)

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yukicoder No.186
中華風(Easy)
https://yukicoder.me/problems/no/186

■問題設定
N≡X1 mod Y1≡X2 mod Y2≡X3 mod Y3 ･･･①
を満たす最小の正整数を求めよ。存在しなければ-1を出力せよ。
制約：0<=Xk,Yk<=10**6

■まえがき
中国剰余定理の問題。
逆元を使ったごり押し解法もあるが、今回はそれの練習と、
「法が互いに素でない場合への拡張」などについても考える。

■ユークリッドの互除法
N≡P mod A≡Q mod B
を満たすNが存在する必要十分条件は、
P≡Q mod gcd(A,B) ･･･②
が成立することである。ここで、gcdは最大公約数を表す。

AとBが互いに素である場合の実装例は
N≡P mod A≡Q mod B ･･･③
が与えられたとき、
N=Bx+Ay+ABk (kは整数) ･･･④
とすると、③④から
Bx≡P mod A
Ay≡Q mod B
ここで、AとBが互いに素であるなら、xはBの逆元のP倍である。yも同様なので
x≡P*(B**-1) mod A≡P*pow(B,A-2,A)
y≡Q*(A**-1) mod B≡Q*pow(A,B-2,B)
となる(逆元の計算はフェルマーの小定理とモジュラ逆数を用いる)。
これを④に代入して
N=B*P*pow(B,A-2,A)+A*Q*pow(A,B-2,B)+A*B*k (kは定数) ･･･⑤
とNの一般解が得られた。
この方法をGaussのアルゴリズムと呼び、③を反復することで①の解を求められる。

[問題点]
Gaussのアルゴリズムの実装上・仕様上、いくつかの問題が生じる。
 (1)Aが素数でない場合
     Bx≡1 mod A
     と与えられた場合にBの逆元xをモジュラ逆数で計算できる条件は、
     Aが素数であること が必要十分条件である。
 (2)AとBが互いに素でない場合
     AとBが互いに素でない場合、逆数判定以外にもトラブルがある。
     具体的には、法の素因数の割り振りが必要。
 (3)桁数のoverflow
     ⑤で得られた値は N≡X mod AB とおけるが、これを更に反復することで
     N≡X' mod ABC(DEF...) と法の累積積が際限なく大きくなってしまう。
     Pythonは多倍長整数(2^64以上の整数)が扱えるので気にしなくてよいが、
     C++などの言語はoverflowしてしまう。
     そうでなくてもモジュラ逆数の計算が大変。

■法が合成数の場合の逆数計算
問題点1を解消する。
 (1)オイラーの定理
     フェルマーの小定理を一般化したもので、オイラーのφ(ファイ)関数を用いる。
     φ(n) : nと互いに素である1以上n以下の自然数の個数
     pが素数なら φ(p)=p-1
     p^kの中でpの倍数はp^(k-1)個あるので φ(p^k)=p^(k-1)*(p-1)=p^k*(1-(1/p))
     mとnが互いに素なら φ(mn)=φ(m)*φ(n)
     ここで、AとMが互いに素であれば、オイラー関数を用いて
     A^(φ(M))≡1 mod M ･･･⑥
     が成り立つ。上記のφ(M)の定義から、M=X1^Y1*X2^Y2* ... としたとき
     φ(M)=φ(X1^Y1*X2^Y2* ...)
          =φ(X1^Y1)*φ(X2^Y2)* ...
          =M*(1-(1/X1))*(1-(1/X2))* ... ･･･⑦
     となる。拡張ユークリッドの互除法よりも計算が遅いため、やや不利。
 (2)拡張ユークリッドの互除法
     Ax+By=1 あるいは Ax+By=gcd(A,B) となるx,yの組を見つけるアルゴリズム。
     やっていることはAとBの剰余をAとBを用いて表す、をgcdに至るまでくり返すこと。
     難しいので具体例を与える。
     A,B=120,31 のとき、 Ax+By=1 となる x,yの組を求める。
     ユークリッドの互除法でやるようにAとBを互いに割ってみる。
     A,B=120,31 から順番にユークリッドの互除法を行うと
     120=3*31+27 から 27=A-3*B
      31=27*1+4  から  4=B-27= -A+ 4*B
      27= 4*6+3  から  3=27-4=7*A-27*B
       4= 3*1+1  から  1=4-3=-8*A+31*B (答)
     となる。当例ではgcd(A,B)=1 だったが、そうでなければgcdに至るまで反復する。
     さて、AとBが互いに素の場合、拡張ユークリッドの互除法では
     Ax+By=1 となるx,yの組を求めることができた。するとAを法として
     By≡1 mod A となる。これからyはBの逆元と求められる。
     実装上は Ax+By=1 を変形することで
     Axa+Bxb=gcd(A,B), Aya+Byb=gcd(A,B) (ただし xa,xb=1,0 ya,yb=0,1)
     として、A/B=Q ･･･ Z となるZを求め順次更新を行えばよい。

[補足]
オイラーの定理の証明
φ(mn)=φ(m)φ(n) は、mn以下の正整数を mod mで分類し、各々でmnと互いに素なものを数える。
⑥は、M以下の自然数集合を集合X, Mと互いに素な自然数をAとする。
集合X={ x1, x2, ... , xφ(M)}
集合Xの各要素をA倍した集合Yを作成すると、法Mの元で集合Yと集合Xは合同である。
 証明: 集合Xの任意の要素をxi, xjとする。
       (1)集合Yのすべての要素は、集合Xの要素のいずれかと合致する。
          (A・xiはMと互いに素のため、Axi≡xj mod M となるxjが存在する)
       (2)集合Xだけでなく、集合Yのすべての要素は互いに異なる。
          (Axi≡Axj mod M とすると、Aで除算して xi≡xj mod M となるが、
          集合Xの定義上 xi≠xj かつ 0<xi,xj<M のため矛盾する)
       (3)集合Xと集合Yの要素数は同一である。
集合Y={Ax1,Ax2, ... ,Axφ(M)}
      ≡{ x1, x2, ... , xφ(M)}≡集合X mod M
とおける。ここで集合Xの積和をZとして、集合Xと集合Yの積和をとると
Z≡A^(φ(M))*Z mod M → A^(φ(M))≡1 mod M (終)
     
■素因数の割り振り
問題点2を解消する。
 (1)けんちょん式
     互いに素でない自然数A,Bに対して、
     N≡P mod A≡Q mod B ･･･⑧
     を満たすNを求める。
     AとBの最大公約数をG=math.gcd(A,B)とする。
     まず、⑧が解を持つ必要十分条件を判定する。②を変形して
     P-Q≡0 mod G ･･･⑨
     を満たすか確認する。続いてAとBを素因数分解して、
     A=X1^Y1a * X2^Y2a *        * X4^Y4a * ...
     B=X1^Y1b *        * X3^Y3b * X4^Y4b * ...
     と変形する。各素因数に対して、次数が多い方を残してA,Bを再構成すればよい。
      具体例:
       N≡3 mod 84≡15 mod 120 ･･･⑩ (答: 255)
       G=math.gcd(84,120)=12
       P-Q≡3-15≡-12≡0 mod G
       A= 84=2^2*3^1*   *7^1
       B=120=2^3*3^1*5^1
       次数が多いものを残してA,Bを再構成する。
       3^1のみ共通項となっているが、好きな方に戻せばよい。次数上げは不要。
       (補足: N≡X mod Y→N=Yk+X→N≡X+Tk mod TY となり次数上げは面倒) 
       N≡ 3 mod 21 : Aのうち、次数がB以上だった3,7を戻した
        ≡15 mod 40 : Bのうち、次数がA未満だった8,5を戻した
       となる。オイラーの定理から逆元を得ると、φ(21)=12, φ(40)=16 なので
       N≡P mod A≡Q mod B ･･･③'
       x≡P*(B**-1) mod A≡P*pow(B,φ(A)-1,A)
       y≡Q*(A**-1) mod B≡Q*pow(A,φ(B)-1,B)
       から、A,B,P,Q=21,40,3,15 を代入すると
       N=B*P*pow(B,φ(A)-1,A)+A*Q*pow(A,φ(B)-1,B)+A*B*k (kは定数) ･･･⑤'
        =8655≡255 mod AB
       として⑩の解を求められた。
     当アルゴリズムでも十分高速だが、snuke式のほうが高速に求まる。
 (2)snuke式
     素因数分解を行わず、最大公約数のみを利用して割り振りを行う。
     N≡P mod A≡Q mod B ･･･⑧
     において、G=gcd(A,B)とする。GにはAとBに共通の素因数をすべて含む。
     a1=A/G, b1=B/G として、AとBに共通する因数を削除する。
     →a1とb1はAとBの固有の因数といえる。
     A1=gcd(a1,G) とすると、G側に残されたa1の素因数のみを抽出できる。
     →a1*A1 で、a1に含まれる素因数の次数を復元できる。
       b1側には、Gからa1の素因数を「完全に」除去したものを振り分けたい。
       b1側に振り分ける候補B1をまず求める。
     B1=G/A1 として、gcd(A1,B1) を計算する。
     G=A1*B1 である点に注意すると、振り分けが完全なら gcd(A1,B1)=1 となり、
     逆に振り分けが不完全なら gcd(A1,B1)=G1 >1 となる。
     以降、G1=gcd(A1,B1)=1 となるまで以下の「G1をA1に振る」操作を繰り返す。
      A2=A1*G1, B2=B1/G1 と修正する。
      G2=gcd(A2,B2) を計算し、G2=1 ならA1,B1,G1=A2,B2,G2 とする。
     最後に A=a1*A1, B=b1*B1 で素因数の振り分けを完了する。

■Garnerのアルゴリズム
問題点3を解消するアルゴリズムである。
 (1)「解を mod 10**9+7 で求めよ」のように任意modを求めたり、
 (2)多倍長整数の保存に必要なメモリを削減したりできる。

X≡P mod A≡Q mod B≡R mod C(≡S mod D≡ ... )
のとき、X mod ABC(D...) の最小値を求める。
Garnerのアルゴリズムでは、求めるXを
X=v0 + v1*A + v2*AB (+ v3*ABC + ...) mod ABC(D...) ･･･(A)
として、Xの満たす条件式を順番に増やすようにXを加算してゆく。
 具体例:
  X≡4 mod 5≡1 mod 7≡2 mod 11 を満たす最小のXを求める。
  (1)X≡4 mod 5 から、v0=4, X=4
  (2)X≡1 mod 7 を満たすように、X≡4 mod 5を保つようXに5を加算してゆく。
     X=v0+v1*5=4+v1*5≡1 mod 7 → 5*v1≡-3≡4 mod 7
     5^(-1)≡3 mod 7 なので、v1≡12≡5 mod 7, X=29
  (3)X≡2 mod 11 の条件を追加すると、
     X=v0+v1*5+v2*5*7≡2 mod 11 → 29+35*v2≡(7+22)+(2+33)*v2≡7+2*v2≡2 mod 11
     2^(-1)≡6 mod 11 なので、v2≡36≡3 mod 11
  (4)以上から X=134 mod (5*7*11) (答)

最終的にX mod M (Mは素数)を出力する場合について。
法の累積積 ABC(D...) について、Mで割った余りが必要になる。
現時点までで X≡P mod A≡Q mod B≡R mod C を満たすXが既に求まっており、
X=v0 + v1*A + v2*AB=Xc (mod ABC) ･･･(B)
と計算できているものとする。これに 条件式 X≡S mod D を追加する状況を考える。
X=v0 + v1*A + v2*AB + v3*ABC
 =Xc + v3*ABC ･･･(C)
(C)とX≡S mod D を連立させると
Xc + v3*ABC≡S mod D → v3*ABC≡(S-Xc) mod D ･･･(D)
(D)において、ABC^(-1) mod D を計算し、(C)に代入することでXが求まる。

mod M とする場合の計算だが、(C)について
Xc (mod ABC)≡Yc mod M ･･･(E)
とおく。条件式 X≡S mod D を追加すると
X=Xc + v3*ABC≡Yc + v3*ABC mod M ･･･(F)
となる。ABC(D...) mod M は予見して前計算しておけるため、
(D)で求めたv3を(F)に代入することで、X mod Mの答えが求まる。

■まとめ
X≡P mod A≡Q mod B≡R mod C(≡S mod D≡ ... )
のとき、X mod ABC(D...) の最小値を求めるGarnerのアルゴリズムを示す。
 (1)法 A,B,C,(D, ...) が互いに素になるように素因数を振り分ける。
    ここで、P≡Q mod gcd(A,B) が成立しなければ解なしである。
 (2)Garnerのアルゴリズムを用いて、左側の条件式から順番にXを構成する。
    X=v0 + v1*A + v2*AB (+ v3*ABC + ...) mod ABC(D...)
    とXをおき、法の累積積の逆数を毎回計算してv0,v1,v2, ... と求める。
 (3)整数の逆数は、オイラーの定理か拡張ユークリッドの互除法で求められる。
    オイラーの定理は、φ(n) : nと互いに素である1以上n以下の自然数の個数 と定義して、
    φ(M)=φ(p1^k1*p2^k2* ...)=round(M*(1-(1/p1))*(1-(1/p2))* ...)
    A^(φ(M))≡1 mod M
    となる性質を利用して、Mを素因数分解した後、Aの逆数を以下のように求める。
    A^(-1)≡A^(φ(M)-1) mod M
    拡張ユークリッドの互除法は、Ax+By=gcd(A,B) となるx,yの組を求める。
    これから、AとMが互いに素の場合、
    Ax+My=1 → Ax≡1 mod M
    となるため、xがAの逆元として与えられる。
    p=gcd(A,M)>1 の場合は逆数が存在しない。
    (A=pa,M=pm とすると、 Ax=Mk+1 (kは定数) → pax=pmk+1 → 0≡0+1 mod p
     となり矛盾する。Axは法M=pmの元、pの倍数しか取れないことから反証する)
 (4)X mod Mを求める場合、あらかじめ法ABC(D...)の各累積積についてmod Mを前計算する。
    左側の条件式から順にXa,Xb,Xc, ... と求め、毎回 mod Mを取って計算を進めればよい。

■実装
①素因数の振り分け
def CRT_SnukeDistribute(A,B):
  N≡P mod A≡Q mod B とする。AとBが互いに素になるように適切に振り直せ。

②Garnerのアルゴリズム
def Garner(Xlist,Ylist):
  N≡X1 mod Y1≡X2 mod Y2≡ ... とする。
  X=[X1,X2, ...], Y=[Y1,Y2, ...] のとき、最小のNを求めよ。なければ-1を出力せよ。
def MODGarner(Xlist,Ylist,M):
  N≡X1 mod Y1≡X2 mod Y2≡ ... とする。
  X=[X1,X2, ...], Y=[Y1,Y2, ...] のとき、最小のN mod Mを求めよ。
  適切なNがなかったり、Mが0ならば-1を出力せよ。
def Garnerv1(P,A,Q,B):
  N≡P mod A≡Q mod B, N=P+v1*A (mod AB)とする。最適なv1を求めよ。

③逆元計算
def Euclid(A,B):
  Ax+By=gcd(A,B) を満たすx,y,gcd(A,B)の組を1組出力せよ。
def EuclidMODInv(A,M):
  AとMが互いに素なら、Ax+My=1 から Ax≡1 mod M を求め、Aの逆元x mod Mを出力せよ。
  AとMが互いに素でなければ、0を出力せよ。
def EulerPhi(N):
  φ(N)を出力せよ。
def EulerMODInv(A,M):
  AとMが互いに素なら、A^(φ(M))=1 mod M を利用し、Aの逆元 A^(φ(M)-1) mod Mを出力せよ。
  AとMが互いに素でなければ、0を出力せよ。
  
■参考文献
(1)中国剰余定理 (CRT) の解説と、それを用いる問題のまとめ
https://qiita.com/drken/items/ae02240cd1f8edfc86fd
(2)けんちょんさんの中国剰余定理の補足
https://sen-comp.hatenablog.com/entry/2021/03/05/194205
(3)【数論】オイラーの定理とその2通りの証明
https://mathlandscape.com/euler-theorem/
(4)任意modでの畳み込み演算をO(n log(n))で
https://math314.hateblo.jp/entry/2015/05/07/014908
(5)もう一度中国剰余定理
https://joho-ka.mints.ne.jp/chinese-remainder-theorem2?doing_wp_cron=1677505078.4430840015411376953125
(6)拡張互除法と中国剰余定理（Garnerのアルゴリズム）
https://www.creativ.xyz/ect-gcd-crt-garner-927/
(7)Algorithms with Python : 拡張ユークリッドの互除法
http://www.nct9.ne.jp/m_hiroi/light/pyalgo70.html
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#①素因数の振り分け
def CRT_SnukeDistribute(A,B):  #N≡P mod A≡Q mod B, AとBが互いに素になるよう振り直し
    G=Euclid(A,B)[0]
    A1,B1=A//G,B//G  #A,Bそれぞれに固有の素因数
    A2=Euclid(A1,G)[0]  #G: 最大公約数の割り振りを決める
    B2=G//A2
    G1=Euclid(A2,B2)[0]
    while G1>1:
        A2,B2=A2*G1,B2//G1
        G1=Euclid(A2,B2)[0]
    return A1*A2, B1*B2

#②Garnerのアルゴリズム
def Garner(Xlist,Ylist):
    #N≡X1 mod Y1≡X2 mod Y2≡ ...
    #X=[X1,X2, ...], Y=[Y1,Y2, ...] のとき、最小のNを求めよ。なければ-1を出力せよ。
    if len(Xlist)!=len(Ylist):
        return -1
    #解なしの判定、法の素因数振り分け
    for i in range(len(Ylist)):
        for j in range(i+1,len(Ylist)):
            G=Euclid(Ylist[i],Ylist[j])[0]
            if G>1 and (Xlist[i]-Xlist[j])%G!=0:
                return -1  #解なし
            elif G>1 and (Xlist[i]-Xlist[j])%G==0:
                Ylist[i],Ylist[j]=CRT_SnukeDistribute(Ylist[i],Ylist[j])
                Xlist[i],Xlist[j]=Xlist[i]%Ylist[i],Xlist[j]%Ylist[j]
    #前から順にGarner
    Xg=Xlist[0]  #初期条件: 漸化式のN≡Xi mod Yi まで満たすN値を格納する
    Yg=Ylist[0]
    for i in range(1,len(Xlist)):
        Xi,Yi=Xlist[i],Ylist[i]
        Xg=(Xg+Garnerv1(Xg,Yg,Xi,Yi)*Yg)%(Yg*Yi)
        Yg*=Yi  #N=Xg+v1*Yg mod Yg*Yi
    return Xg    

def MODGarner(Xlist,Ylist,M):
    #N≡X1 mod Y1≡X2 mod Y2≡ ... とする。
    #X=[X1,X2, ...], Y=[Y1,Y2, ...] のとき、最小のN mod Mを求めよ。
    #適切なNがなかったり、Mが0ならば-1を出力せよ。
    if len(Xlist)!=len(Ylist):
        return -1
    #そもそもYi=M を満たすならその値を記録。解なしなら出力。
    MYihantei=False
    MYi=0
    for i in range(len(Ylist)):
        if Ylist[i]==M:
            MYihantei=True
            MYi=Xlist[i]
    #解なしの判定、法の素因数振り分け
    NoAns=False
    for i in range(len(Ylist)):
        for j in range(i+1,len(Ylist)):
            G=Euclid(Ylist[i],Ylist[j])[0]
            if G>1 and (Xlist[i]-Xlist[j])%G!=0:
                NoAns=True
            elif G>1 and (Xlist[i]-Xlist[j])%G==0:
                Ylist[i],Ylist[j]=CRT_SnukeDistribute(Ylist[i],Ylist[j])
                Xlist[i],Xlist[j]=Xlist[i]%Ylist[i],Xlist[j]%Ylist[j]
    if NoAns:  #ここまでの判定を先に行う
        return -1
    if MYihantei:
        return MYi
    #前から順にGarner。N=Xg[i]+v1*Yg[i] の式を念頭に。
    #Xg[i] : i項のX mod Yi(順に計算), Yg[i] : Y0～Yi-1の累積積 mod Yi
    #ここで、Xg・Ygともに末尾は mod Mの値を格納することとする。
    Ylist.append(M)  #Xlist+1=Ylist となる
    Xg=[Xlist[0]]*(len(Ylist))
    for i in range(len(Ylist)):
        Xg[i]%=Ylist[i]
    Yg=[1]*(len(Ylist))
    for i in range(1,len(Xlist)):  #N≡Xi mod Yi≡Xg[i]+v1*Yg mod Yi
        for j in range(i,len(Ylist)):  #Yg[i]の更新
            Yg[j]*=Ylist[i-1]
            Yg[j]%=Ylist[j]
        Xi,Yi=Xlist[i],Ylist[i]
        v1=(Xi-Xg[i])*EuclidMODInv(Yg[i],Yi)%Yi  #v1*Yg[i]≡(Xi-Xg[i]) mod Yi
        for j in range(i,len(Ylist)):  #N=X[i]+v1*Y[i] mod X
            Xg[j]+=v1*Yg[j]
            Xg[j]%=Ylist[j]
    return Xg[len(Ylist)-1]    
    
def Garnerv1(P,A,Q,B):  #N≡P mod A≡Q mod B, N=P+v1*A (mod AB), 最適なv1を求めよ
    return (Q-P)*EuclidMODInv(A,B)%B  #A*v1=(Q-P) mod B

#③逆元計算
def Euclid(A,B):  #Ax+By=gcd(A,B) を満たす gcd,x,yの組
    #http://www.nct9.ne.jp/m_hiroi/light/pyalgo70.html から剽窃
    Xs=(A,1,0)  #A=A*1+B*0
    Ys=(B,0,1)  #B=A*0+B*1
    while Ys[0]!=0:
        Q,Z=Xs[0]//Ys[0],Xs[0]%Ys[0]  #A÷Bの商,余りを格納
        Xs,Ys=Ys,(Z,Xs[1]-Q*Ys[1],Xs[2]-Q*Ys[2])
    return Xs

def EuclidMODInv(A,M):  #A^(-1) mod M
    G,x,y=Euclid(A,M)
    if G!=1:
        return 0
    else:
        return x%M
    
def EulerPhi(N):  #φ(N)
    if N<=0:
        return N
    CheckNumber=int(N)  #素因数分解のライブラリから
    SoinsuList=[]  #素因数分解の結果。(素数,次数)の形でtuple型に格納する
    for Soinsu in range(2,CheckNumber):
        if Soinsu*Soinsu>CheckNumber:
            break
        if CheckNumber%Soinsu!=0:
            continue
        SoinsuCount=0
        while CheckNumber%Soinsu==0:
            SoinsuCount+=1
            CheckNumber//=Soinsu
        SoinsuList.append((Soinsu,SoinsuCount))
    if CheckNumber!=1:
        SoinsuList.append((CheckNumber,1))
    EulerNo=int(N)
    for Prime,Order in SoinsuList:
        EulerNo=round(EulerNo*(1-(1/Prime)))
    return EulerNo

def EulerMODInv(A,M):  #A^(-1)≡A^(φ(M)-1) mod M
    if Euclid(A,M)[0]==1:
        return pow(A,EulerPhi(M)-1,M)
    else:
        return -1

'''
ここから回答
'''
X=[]
Y=[]
for i in range(3):
    x,y=list(map(int,input().split()))
    X.append(x)
    Y.append(y)
ans=Garner(X,Y)
if ans==0:  #最小公倍数の計算
    ans=Y[0]*Y[1]//Euclid(Y[0],Y[1])[0]
    ans=ans*Y[2]//Euclid(ans,Y[2])[0]
print(ans)