#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL; double EPS = 1e-12; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } // 手元環境(Visual Studio) #ifdef _MSC_VER #include "local.hpp" // 提出用(gcc) #else inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_list2D(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; //using mint = modint1000000007; //using mint = modint998244353; using mint = modint; // mint::set_mod(m); istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; #endif //【有限体 F_p 上の計算(64 bit)】 /* * 有限体 F_p 上ので様々な計算を行う. * mll::set_mod(ll p) はあらゆる場所で使う法を書き換えてしまうので注意. * * 制約 : p は素数,コンパイラは gcc */ #ifdef _MSC_VER #define __int128 ll // デバッグ用 #endif struct mll { __int128 v; inline static __int128 MOD; // コンストラクタ mll() : v(0) {}; mll(const mll& a) = default; mll(const int& a) : v(safe_mod(a)) {}; mll(const ll& a) : v(safe_mod(a)) {}; // 代入 mll& operator=(const mll& a) { v = a.v; return *this; } mll& operator=(const int& a) { v = safe_mod(a); return *this; } mll& operator=(const ll& a) { v = safe_mod(a); return *this; } // 入出力 friend istream& operator>>(istream& is, mll& x) { ll tmp; is >> tmp; x.v = safe_mod(tmp); return is; } friend ostream& operator<<(ostream& os, const mll& x) { os << (ll)x.v; return os; } // 非負 mod template static __int128 safe_mod(T a) { return ((a % MOD) + MOD) % MOD; } // 比較 bool operator==(const mll& b) const { return v == b.v; } bool operator==(const int& b) const { return v == safe_mod(b); } bool operator==(const ll& b) const { return v == safe_mod(b); } friend bool operator==(const int& a, const mll& b) { return b == a; } friend bool operator==(const ll& a, const mll& b) { return b == a; } // 演算 mll& operator+=(const mll& b) { v = safe_mod(v + b.v); return *this; } mll& operator-=(const mll& b) { v = safe_mod(v - b.v); return *this; } mll& operator*=(const mll& b) { v = safe_mod(v * b.v); return *this; } mll& operator/=(const mll& b) { *this *= b.inv(); return *this; } mll operator+(const mll& b) const { mll a = *this; return a += b; } mll operator-(const mll& b) const { mll a = *this; return a -= b; } mll operator*(const mll& b) const { mll a = *this; return a *= b; } mll operator/(const mll& b) const { mll a = *this; return a /= b; } mll operator-() const { mll a = *this; return a *= -1; } // int との演算 mll& operator+=(const int& b) { v = safe_mod(v + b); return *this; } mll& operator-=(const int& b) { v = safe_mod(v - b); return *this; } mll& operator*=(const int& b) { v = safe_mod(v * b); return *this; } mll& operator/=(const int& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; } mll operator+(const int& b) const { mll a = *this; return a += b; } mll operator-(const int& b) const { mll a = *this; return a -= b; } mll operator*(const int& b) const { mll a = *this; return a *= b; } mll operator/(const int& b) const { mll a = *this; return a /= b; } friend mll operator+(const int& a, const mll& b) { return b + a; } friend mll operator-(const int& a, const mll& b) { return -(b - a); } friend mll operator*(const int& a, const mll& b) { return b * a; } friend mll operator/(const int& a, const mll& b) { return mll(a) * b.inv(); } // ll との演算 mll& operator+=(const ll& b) { v = safe_mod(v + b); return *this; } mll& operator-=(const ll& b) { v = safe_mod(v - b); return *this; } mll& operator*=(const ll& b) { v = safe_mod(v * b); return *this; } mll& operator/=(const ll& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; } mll operator+(const ll& b) const { mll a = *this; return a += b; } mll operator-(const ll& b) const { mll a = *this; return a -= b; } mll operator*(const ll& b) const { mll a = *this; return a *= b; } mll operator/(const ll& b) const { mll a = *this; return a /= b; } friend mll operator+(const ll& a, const mll& b) { return b + a; } friend mll operator-(const ll& a, const mll& b) { return -(b - a); } friend mll operator*(const ll& a, const mll& b) { return b * a; } friend mll operator/(const ll& a, const mll& b) { return mll(a) * b.inv(); } // 累乗 mll pow(ll d) const { mll res(1), pow2 = *this; while (d > 0) { if (d & 1) res *= pow2; pow2 *= pow2; d /= 2; } return res; } // 逆元 mll inv() const { return pow(MOD - 2); } // 法の設定,確認 static void set_mod(ll MOD_) { Assert(MOD_ > 0); MOD = MOD_; } static ll mod() { return (ll)MOD; } // 値の確認 ll val() const { return (ll)safe_mod(v); } }; //【素数判定】O((log n)^3) /* * n が素数かを返す. * * 利用:【有限体 F_p 上の計算(64 bit)】 */ bool miller_rabin(ll n) { // 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/prime/fast-factorize.hpp.html // verify : https://algo-method.com/tasks/513 //【方法】 // p を奇素数とすると,任意の a=[1..p) についてフェルマーの小定理より // a^(p-1) = 1 (mod p) // となる.これの平方根を考えていくと, // p-1 = 2^s d (d : 奇数) // と表せば, // a^d = 1 (mod p) or ∃r=[0..s), a^(2^r d) = -1 (mod p) // と書き直せる. // // この対偶を用いて判定することをランダムに選んだ a で繰り返す. // n の範囲を限定するなら擬素数を生じない a を固定的に選べる. const vl as = { 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022 }; if (n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 13 || n == 19 || n == 73 || n == 193 || n == 407521 || n == 299210837) return true; if (n == 1 || n % 2 == 0) return false; mll::set_mod(n); int s = 0; ll d = n - 1; while (d % 2 == 0) { s++; d /= 2; } repe(a, as) { mll powa = mll(a).pow(d); if (powa == 1 || powa == -1) goto LOOP_END; rep(r, s - 1) { powa *= powa; if (powa == 1) return false; if (powa == -1) goto LOOP_END; } return false; LOOP_END:; } return true; } //【約数検出】O(n^(1/4)) /* * n の真の約数を何か 1 つ返す(なければ n を返す) * * 利用:【有限体 F_p 上の計算(64 bit)】 */ ll pollard_rho(ll n) { // 参考 : https://qiita.com/Kiri8128/items/eca965fe86ea5f4cbb98 // verify : https://algo-method.com/tasks/553 //【方法】 // 適当な定数 c をとり関数 f : Z/nZ → Z/nZ を // f(x) = x^2 + c // と定める. // // 適当な初期値 x[0] = y[0] (= 2) から始め,Z/nZ 上の数列を漸化式 // x[i+1] = f(x[i]), y[i+1] = f(f(y[i])) // で定める.フロイドの循環検出法より,もし // gcd(x[i] - y[i], n) = g ∈ [2..n-1] // であれば,これは f が Z/gZ(g は n の真の約数)で巡回したことを意味する. // // 実際には, // x は r = (2 冪) 個ずつ進める(定数 1/2 倍) // gcd の計算を m = n^(1/8) 程度個まとめて行う(gcd の log を落とす) // ことにより高速化を図る. if (!(n & 1)) return 2; int m = 1 << (msb(n) / 8); mll::set_mod(n); // n は合成数だが割り算は使わないので問題ない const int c_max = 99; // c を最大どこまで試すか repi(c, 1, c_max) { auto f = [&](mll x) { return x * x + c; }; mll x, y = 2, y_bak; ll g = 1; int r = 1; // g = 1 である間は巡回未検出 while (g == 1) { // x, y を r = 2^i だけ一気に進める. x = y; rep(hoge, r) y = f(y); // 次の r = 2^i 個をまとめて見る. for (int k = 0; k < r; k += m) { // 一気に掛けすぎて g = n となってしまった場合の復元用 y_bak = y; // m 個ごとにまとめて見る. mll mul = 1; rep(i, min(m, r - k)) { y = f(y); // 複数個掛けておき,後でまとめて gcd を計算する. //(フロイドの循環検出法とは違い x を固定しているが, // 巡回は検出できるので問題ない.) mul *= x - y; } g = gcd(mul.val(), n); // g != 1 なら巡回を検出できたので次の処理へ if (g != 1) goto LOOP_END; } r *= 2; } LOOP_END:; // 一気に掛けすぎて g = n となってしまった(であろう)場合 if (g == n) { // 復元用に残しておいた x, y_bak から再スタート g = 1; while (g == 1) { y_bak = f(y_bak); g = gcd((x - y_bak).val(), n); } } // g < n なら g が n の真の約数なのでそれを返す. if (g < n) return g; // 本当に g = n ならたまたま真の約数が全て同時検出されてしまったので, // 関数 f における定数項 c の値を別のものに取り替えて再挑戦. } // 複数個の c を試してなお失敗したなら諦める. return n; } //【素因数分解】O(n^(1/4)) /* * n を素因数分解した結果を pps に格納し pps を返す. * pps[p] = d : n に素因数 p が d 個含まれていることを表す. * * 利用:【素数判定】,【約数検出】 */ map factor_integer(ll n) { // verify : https://algo-method.com/tasks/553 map pps; if (n == 1) return map(); // 検出した約数を記録しておくキュー queue divs; divs.push(n); while (!divs.empty()) { ll d = divs.front(); divs.pop(); // 約数が素数なら素因数発見 if (miller_rabin(d)) { pps[d]++; } // 約数が合成数なら新たな約数を 2 つ発見する else { ll d1 = pollard_rho(d); ll d2 = d / d1; divs.push(d1); divs.push(d2); } } return pps; } //【約数列挙】O(n^(1/4)) /* * n の約数全てを昇順に格納したリストを返す. * * 利用:【素因数分解】 */ vl divisors(ll n) { // verify : https://atcoder.jp/contests/chokudai_S002/tasks/chokudai_S002_j Assert(n > 0); map pps = factor_integer(n); vl divs{ 1 }; repe(pp, pps) { ll p; int d; tie(p, d) = pp; vl powp(d); powp[0] = p; rep(i, d - 1) powp[i + 1] = powp[i] * p; int m = sz(divs); repir(j, m - 1, 0) { rep(i, d) { divs.push_back(divs[j] * powp[i]); } } } sort(all(divs)); return divs; } //【原始根】O(√p) /* * 素数の法 p における最小の原始根を返す. * * 利用:【約数列挙】 */ int find_primitive_root() { // verify : https://atcoder.jp/contests/agc047/tasks/agc047_c const int p = mint::mod(); if (p == 2) return 1; // p - 1 の約数 divs を得る. vl divs = divisors(p - 1); // p - 1 自身だけ削除する. divs.pop_back(); repi(r, 2, p - 1) { // p - 1 の真の約数が全て r の位数でないなら原始根 repe(d, divs) if (mint(r).pow(d) == 1) goto NEXT_LOOP; return r; NEXT_LOOP:; } return -1; } //【離散対数問題(法が素数)】O(√p) /* * a^x ≡ b (mod p) の最小解 x >= 0 を返す.(なければ INF) * * 制約 : p = mint::mod() は素数 * *(baby-step giant-step) */ int log(mint a, mint b) { // 参考:https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/baby-step-giant-step.html //【方法】 // m = ceil(√p),r = a^(-m) とおく. // // まず x∈[0..m) について a^x を計算した集合 S を得る.(計算量 O(m)) // S の中に b に一致するものがあればそれでよい. // なかった場合は x >= m であることが確定する. // // 次に解くべき方程式 // a^x = b // の両辺に r = a^(-m) を掛けて // a^(x-m) = b r // とする. // もし S の中に b r に一致するものがあれば,そこから x-m が分かり, // その結果に m を加えたものが求める x の値である. // なかった場合は x >= 2 m であることが確定する. // // この調子で S の中に b, b r, b r^2, ... があるかどうかを調べていく. // a^(mod - 1) = 1 なので,同様のステップは高々 m 回で終了する. // 各回の S へのアクセスが O(1) で行えるなら,全体計算量は O(m) である. int m = (int)(ceil(sqrt(mint::mod())) + 1); // a = 0 の場合の例外処理 if (a == 0) { if (b == 0) return 1; // 0^0 = 1 とする. else return -1; } // loga[a^i] = i を計算しておく. unordered_map loga; mint a_pow = a.pow(m), a_inv = a.inv(); repir(i, m - 1, 0) { a_pow *= a_inv; loga[a_pow.val()] = i; } // r = a^(-m) mint r = a_inv.pow(m); // 方程式の両辺に r = a^(-m) を掛けながら解を探していく. rep(i, m) { if (loga.count(b.val())) { return m * i + loga[b.val()]; } b *= r; } // 見つからなかったら INF を返す. return INF; } //【拡張ユークリッドの互除法】O(log max(|a|, |b|)) /* * g = gcd(a, b) > 0 を返しつつ,a x + b y = g の解 (x, y) を求める. * |x| + |y| は最小になるよう選ばれる. */ ll extended_gcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y) { // 参考:https://qiita.com/drken/items/b97ff231e43bce50199a // verify : https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/courses/library/6/NTL/all/NTL_1_E //【方法】 // b = 0 の場合は,明らかに g = a で,(x, y) = (1, 0) が解である. // // b != 0 の場合を考える.a を b で割り // a = q b + r (0 <= r < b) // なる q, r を得ておく.これを元の式に代入すると // (q b + r) x + b y = g // ⇔ b (q x + y) + r x = g // となるので, // b X + r Y = g // の解 (X, Y) = (q x + y, x) を求めれば // (x, y) = (Y, X - q Y) // として元の式の解が得られる.これを再帰的に繰り返す. // b = 0 になったら自明解を返す. if (b == 0) { // 最大公約数は正とする. x = (a > 0) ? 1 : -1; y = 0; return a * x; } // a を b で割った商 q と余り r を求めておく. ll q = a / b, r = a % b; // a, b を更新し解 X, Y を得る. ll X, Y; ll d = extended_gcd(b, r, X, Y); // X, Y から x, y を得る. x = Y; y = X - q * Y; return d; } //【一次不定方程式】O(log max(|a|, |b|)) /* * a x + b y = c の特殊解 (x, y) を求める. * 解があれば gcd(a, b) > 0,なければ -1 を返す. * * 利用:【拡張ユークリッドの互除法】 */ ll bezout(ll a, ll b, ll c, ll& x, ll& y) { // verify : https://atcoder.jp/contests/arc091/tasks/arc091_d ll g = extended_gcd(a, b, x, y); if (c % g != 0) return -1; x *= c / g; y *= c / g; // x を非負最小にしたければ,x = smod(x, b / g); y = (n - a * x) / b; とする. // y を非負最小にしたければ,y = smod(y, a / g); x = (n - b * y) / a; とする. // verify : https://atcoder.jp/contests/arc091/tasks/arc091_d return g; } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); int t; cin >> t; rep(hoge, t) { int p, k, a; cin >> p >> k >> a; mint::set_mod(p); // r^(p-1) = 1 (mod p), ∀d∈[2..p-1), r^d ≠ 1 (mod p) mint r = find_primitive_root(); dump(r); // r^d = a int d = log(r, mint(a)); dump(d); // r^(d + y(p-1)) = a なので d + y(p-1) ≡ 0 (mod k) なる y を見つけたい. // そのためには k x - (p-1) y = d を解けば良い. ll x, y; ll g = bezout(k, -(p - 1), d, x, y); dump(x, y, g); if (g > 0) { x = smod(x, (p - 1) / g); cout << r.pow(x) << "\n"; } else cout << -1 << "\n"; } }