#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL; double EPS = 1e-12; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } // 手元環境(Visual Studio) #ifdef _MSC_VER #include "local.hpp" // 提出用(gcc) #else inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_list2D(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; //using mint = modint1000000007; //using mint = modint998244353; using mint = modint; // mint::set_mod(m); istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; #endif //【約数列挙】O(√n) /* * n の約数全てを昇順に格納したリストを返す. */ vl divisors(ll n) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2142 vl ds; if (n == 1) { ds.push_back(1); return ds; } ll i = 1; for (; i * i < n; i++) { if (n % i == 0) { ds.push_back(i); ds.push_back(n / i); } } if (i * i == n) ds.push_back(i); sort(all(ds)); return ds; } //【原始根】O(√p) /* * 素数の法 p における最小の原始根を返す. * * 利用:【約数列挙】 */ int find_primitive_root() { // verify : https://atcoder.jp/contests/agc047/tasks/agc047_c const int p = mint::mod(); if (p == 2) return 1; // p - 1 の約数 divs を得る. vl divs = divisors(p - 1); // p - 1 自身だけ削除する. divs.pop_back(); repi(r, 2, p - 1) { // p - 1 の真の約数が全て r の位数でないなら原始根 repe(d, divs) if (mint(r).pow(d) == 1) goto NEXT_LOOP; return r; NEXT_LOOP:; } return -1; } //【離散対数問題(法が素数)】O(√p) /* * a^x ≡ b (mod p) の最小解 x >= 0 を返す.(なければ INF) * * 制約 : p = mint::mod() は素数 * *(baby-step giant-step) */ int log(mint a, mint b) { // 参考:https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/baby-step-giant-step.html //【方法】 // m = ceil(√p),r = a^(-m) とおく. // // まず x∈[0..m) について a^x を計算した集合 S を得る.(計算量 O(m)) // S の中に b に一致するものがあればそれでよい. // なかった場合は x >= m であることが確定する. // // 次に解くべき方程式 // a^x = b // の両辺に r = a^(-m) を掛けて // a^(x-m) = b r // とする. // もし S の中に b r に一致するものがあれば,そこから x-m が分かり, // その結果に m を加えたものが求める x の値である. // なかった場合は x >= 2 m であることが確定する. // // この調子で S の中に b, b r, b r^2, ... があるかどうかを調べていく. // a^(mod - 1) = 1 なので,同様のステップは高々 m 回で終了する. // 各回の S へのアクセスが O(1) で行えるなら,全体計算量は O(m) である. int m = (int)(ceil(sqrt(mint::mod())) + 1); // a = 0 の場合の例外処理 if (a == 0) { if (b == 0) return 1; // 0^0 = 1 とする. else return -1; } // loga[a^i] = i を計算しておく. unordered_map loga; mint a_pow = a.pow(m), a_inv = a.inv(); repir(i, m - 1, 0) { a_pow *= a_inv; loga[a_pow.val()] = i; } // r = a^(-m) mint r = a_inv.pow(m); // 方程式の両辺に r = a^(-m) を掛けながら解を探していく. rep(i, m) { if (loga.count(b.val())) { return m * i + loga[b.val()]; } b *= r; } // 見つからなかったら INF を返す. return INF; } //【拡張ユークリッドの互除法】O(log max(|a|, |b|)) /* * g = gcd(a, b) > 0 を返しつつ,a x + b y = g の解 (x, y) を求める. * |x| + |y| は最小になるよう選ばれる. */ ll extended_gcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y) { // 参考:https://qiita.com/drken/items/b97ff231e43bce50199a // verify : https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/courses/library/6/NTL/all/NTL_1_E //【方法】 // b = 0 の場合は,明らかに g = a で,(x, y) = (1, 0) が解である. // // b != 0 の場合を考える.a を b で割り // a = q b + r (0 <= r < b) // なる q, r を得ておく.これを元の式に代入すると // (q b + r) x + b y = g // ⇔ b (q x + y) + r x = g // となるので, // b X + r Y = g // の解 (X, Y) = (q x + y, x) を求めれば // (x, y) = (Y, X - q Y) // として元の式の解が得られる.これを再帰的に繰り返す. // b = 0 になったら自明解を返す. if (b == 0) { // 最大公約数は正とする. x = (a > 0) ? 1 : -1; y = 0; return a * x; } // a を b で割った商 q と余り r を求めておく. ll q = a / b, r = a % b; // a, b を更新し解 X, Y を得る. ll X, Y; ll d = extended_gcd(b, r, X, Y); // X, Y から x, y を得る. x = Y; y = X - q * Y; return d; } //【一次不定方程式】O(log max(|a|, |b|)) /* * a x + b y = c の特殊解 (x, y) を求める. * 解があれば gcd(a, b) > 0,なければ -1 を返す. * * 利用:【拡張ユークリッドの互除法】 */ ll bezout(ll a, ll b, ll c, ll& x, ll& y) { // verify : https://atcoder.jp/contests/arc091/tasks/arc091_d ll g = extended_gcd(a, b, x, y); if (c % g != 0) return -1; x *= c / g; y *= c / g; // x を非負最小にしたければ,x = smod(x, b / g); y = (n - a * x) / b; とする. // y を非負最小にしたければ,y = smod(y, a / g); x = (n - b * y) / a; とする. // verify : https://atcoder.jp/contests/arc091/tasks/arc091_d return g; } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); // https://yukicoder.me/problems/no/981 int t; cin >> t; rep(hoge, t) { int p, k, a; cin >> p >> k >> a; mint::set_mod(p); // r^(p-1) = 1 (mod p), ∀d∈[2..p-1), r^d ≠ 1 (mod p) mint r = find_primitive_root(); dump(r); // r^d = a int d = log(r, mint(a)); dump(d); // r^(d + y(p-1)) = a なので d + y(p-1) ≡ 0 (mod k) なる y を見つけたい. // そのためには k x - (p-1) y = d を解けば良い. ll x, y; ll g = bezout(k, -(p - 1), d, x, y); dump(x, y, g); if (g > 0) { x = smod(x, (p - 1) / g); cout << r.pow(x) << "\n"; } else cout << -1 << "\n"; } }