#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL; double EPS = 1e-15; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } // 手元環境(Visual Studio) #ifdef _MSC_VER #include "local.hpp" // 提出用(gcc) #else inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_list2D(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; //using mint = modint1000000007; using mint = modint998244353; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; #endif #ifdef _MSC_VER #define __int128 ll // デバッグ用 #endif //【めぐる式二分探索】O(log|ok - ng|) /* * 条件 okQ() を満たす要素 ok と満たさない要素 ng との境界を二分探索する. * 境界に隣り合うような条件を満たす要素(ok 側)の位置を返す. */ template T meguru_search(T ok, T ng, const function& okQ) { // 参考 : https://twitter.com/meguru_comp/status/697008509376835584 // verify : https://atcoder.jp/contests/abc023/tasks/abc023_d // 境界が決定するまで while (abs(ok - ng) > 1) { // 区間の中間 T mid = (ok + ng) / 2; // 中間が OK かどうかに応じて区間を縮小する. if (okQ(mid)) ok = mid; else ng = mid; } return ok; /* okQ の定義の雛形 using T = ll; function okQ = [&](T x) { return true || false; }; */ } //【ディリクレ畳込みの累積和(乗法的,一括)】 /* * Multiplicative_dirichlet_convolution_acc(int p_max) : O(p_max log(log p_max)) * p_max ≧ nl 以下の素数を持って初期化する. * 乗法的数論関数 a[1..n] と数論関数 b[1..n] のディリクレ畳込みを c[1..n] とする. * nl, nh は nh ≦ nl ≦ n ≦ nl nh を満たすとし,al, bl, cl, Ah, Bh, Ch は以下の通りとする: * al[i] = a[i] (i∈[1..nl]), bl, cl も同様 * Ah[i] = Σa[1..n/i] (i∈[1..nh]), Bh, Ch も同様 * * conv_acc(ll n, vT al, vT Ah, vT bl, vT Bh, vT& cl, vT& Ch) : O(nl log(log nl) + √(n nh)) * 上記 al, Ah, bl, Bh をもとに cl, Ch を計算し格納する. * * inv_conv_acc(ll n, vT al, vT Ah, vT cl, vT Ch, vT& bl, vT& Bh) : O(nl log(log nl) + √(n nh)) * 上記 al, Ah, cl, Ch をもとに bl, Bh を計算し格納する. * * 特に nl = (n / log(log n))^(2/3) と選ぶと全体の計算量は O(n^(2/3) (log(log n))^(1/3)) になる. */ template class Multiplicative_dirichlet_convolution_acc { // 参考 : https://maspypy.com/dirichlet-%e7%a9%8d%e3%81%a8%e3%80%81%e6%95%b0%e8%ab%96%e9%96%a2%e6%95%b0%e3%81%ae%e7%b4%af%e7%a9%8d%e5%92%8c int p_max; vi ps; // 素数のリスト public: // nl 以下の素数を持って初期化する. Multiplicative_dirichlet_convolution_acc(int p_max) : p_max(p_max) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_totient_function // is_prime[i] : i が素数か vb is_prime(p_max + 1, true); is_prime[0] = is_prime[1] = false; int i = 2; // √p_max 以下の i の処理 for (; i <= p_max / i; i++) if (is_prime[i]) { ps.push_back(i); for (int j = i * i; j <= p_max; j += i) is_prime[j] = false; } // √p_max より大きい i の処理 for (; i <= p_max; i++) if (is_prime[i]) ps.push_back(i); } // al, Ah, bl, Bh をもとに cl, Ch を計算し格納する. void conv_acc(ll n, const vector& al, const vector& Ah, const vector& bl, const vector& Bh, vector& cl, vector& Ch) { int nl = sz(al) - 1, nh = sz(Ah) - 1; Assert(nl <= p_max); Assert(nh <= nl); Assert(nl <= n); Assert(n <= (ll)nl * nh); cl = bl, Ch.assign(nh + 1, 0); // cl[1..nl] を計算する. repe(p, ps) repir(j, nl / p, 1) { for (ll i = p; i * j <= nl; i *= p) cl[i * j] += al[i] * cl[j]; } // Al[i] = Σa[1..i], Bl[i] = Σb[1..i] vector Al(nl + 1), Bl(nl + 1); repi(i, 1, nl) { Al[i] = Al[i - 1] + al[i]; Bl[i] = Bl[i - 1] + bl[i]; } auto get_Ah = [&](ll i) { return i <= nh ? Ah[i] : Al[n / i]; }; auto get_Bh = [&](ll i) { return i <= nh ? Bh[i] : Bl[n / i]; }; // 各 Ch[k] を平方分割で計算する. repi(k, 1, nh) { int m = (int)(sqrt(n / k) + 1e-12); repi(i, 1, m) Ch[k] += al[i] * get_Bh((ll)k * i); repi(j, 1, m) Ch[k] += bl[j] * (get_Ah((ll)k * j) - Al[m]); } } // al, Ah, cl, Ch をもとに bl, Bh を計算し格納する. void inv_conv_acc(ll n, const vector& al, const vector& Ah, const vector& cl, const vector& Ch, vector& bl, vector& Bh) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_totient_function Assert(al[1] != 0); int nl = sz(al) - 1, nh = sz(Ah) - 1; Assert(nl <= p_max); Assert(nh <= nl); Assert(nl <= n); Assert(n <= (ll)nl * nh); bl = cl, Bh = Ch; // bl[1..nl] を計算する. repe(p, ps) repi(j, 1, nl / p) { bl[j] /= al[1]; for (ll i = p; i * j <= nl; i *= p) bl[i * j] -= al[i] * bl[j]; } // Al[i] = Σa[1..i], Bl[i] = Σb[1..i] vector Al(nl + 1), Bl(nl + 1); repi(i, 1, nl) { Al[i] = Al[i - 1] + al[i]; Bl[i] = Bl[i - 1] + bl[i]; } auto get_Ah = [&](ll i) { return i <= nh ? Ah[i] : Al[n / i]; }; auto get_Bh = [&](ll i) { return i <= nh ? Bh[i] : Bl[n / i]; }; // 各 Bh[k] を平方分割で計算する. repir(k, nh, 1) { int m = (int)(sqrt(n / k) + 1e-12); repi(i, 2, m) Bh[k] -= al[i] * get_Bh((ll)k * i); repi(j, 1, m) Bh[k] -= bl[j] * (get_Ah((ll)k * j) - Al[m]); Bh[k] /= al[1]; } } }; //【有理数近似】O(log dnm) /* * 実数 x を分母が dnm_max 以下の既約分数 num / dnm で近似し,組 {num, dnm} を返す. * 最良の近似であるとは限らないので注意. */ template pair rationalize(double x, T dnm_max = T(INFL)) { // 参考 : https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0 // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2262 T sign = (x >= 0 ? 1 : -1); x = abs(x); vector ps{ 1, (ll)x }; vector qs{ 0, 1 }; // x の正則連分数展開に基づく近似を行う. repi(i, 2, INF) { x -= floor(x); if (x < EPS) break; x = 1 / x; // 誤差やばい T a = T(x); // a * qs[i - 1] + qs[i - 2] > dnm_max となるなら打ち切り if (a > (dnm_max - qs[i - 2]) / qs[i - 1]) break; ps.push_back(a * ps[i - 1] + ps[i - 2]); qs.push_back(a * qs[i - 1] + qs[i - 2]); } return { sign * ps.back(), qs.back() }; } //【一次式の切り捨て和】O(log(n + m + a + b)) /* * Σi∈[0..n) floor((a i + b) / m) を返す. */ template T floor_sum_linear(T n, T m, T a, T b) { // 参考:https://twitter.com/kyopro_friends/status/1304063876019793921?ref_src=twsrc%5Etfw //【方法】 // m > 0, 0 <= a < m, 0 <= b < m として一般性を失わない.また i ← n - i とした // Σi∈(0..n] floor((a (n - i) + b) / m) // も値は変わらない.これは領域 // 0 < x <= n // 0 < y <= (a (n - x) + b) / m // に含まれる格子点の個数と解釈できる.x と y の主従を入れ替えると // 0 < y <= (a n + b) / m // 0 < x <= (-m y + a n + b) / a // となる.ここに含まれる格子点の個数は // Σi∈(0..floor((a n + b) / m)] floor((-m i + a n + b) / a) // である.n' = floor((a n + b) / m) とおき,i ← n' - i とした // Σi∈[0..n') floor((-m (n' - i) + a n + b) / a) // = Σi∈[0..n') floor((m i + (- m n' + a n + b)) / a) // も値は変わらない.これで分母がより小さい問題に帰着できた. // // 次のステップに進む前に m ← m % a とするので,収束の速さはユークリッドの互除法と同じである. Assert(m != 0); if (n <= 0) return 0; T res = 0; // m < 0 の場合,分母分子を -1 倍して m > 0 とする. if (m < 0) { a *= -1; b *= -1; m *= -1; } // a を m だけ増減させた場合の影響は floor なしの和で計算できるので,0 <= a < m とする. res += (a / m - (T)(a % m < 0)) * (n * (n - 1) / 2); a = smod(a, m); // b を m だけ増減させた場合の影響は floor なしの和で計算できるので,0 <= b < m とする. res += (b / m - (T)(b % m < 0)) * n; b = smod(b, m); while (a > 0) { T nn = (a * n + b) / m; T nm = a; T na = m; T nb = -m * nn + a * n + b; res += (na / nm - (T)(na % nm < 0)) * (nn * (nn - 1) / 2); na = smod(na, nm); res += (nb / nm - (T)(nb % nm < 0)) * nn; nb = smod(nb, nm); n = nn; m = nm; a = na; b = nb; } return res; } pll solve(ll n, ll k) { __int128 DNM = 2 * n * n + 10; int n_max = (int)1e8; int nl = min((int)pow(n_max / log(log(n_max)), 2. / 3), (int)n); int nh = min((int)n / nl + 1, nl); vector<__int128> bl(nl + 1); repi(i, 1, nl) bl[i] = i; vector<__int128> Bh(nh + 1); repi(i, 1, nh) Bh[i] = (n / i) * (n / i + 1) / 2; vector<__int128> zl(nl + 1); repi(i, 1, nl) zl[i] = 1; vector<__int128> Zh(nh + 1); repi(i, 1, nh) Zh[i] = n / i; // dump(bl); dump(Bh); dump(zl); dump(Zh); Multiplicative_dirichlet_convolution_acc<__int128> MDC(nl); vector<__int128> al, Ah; MDC.inv_conv_acc(n, zl, Zh, bl, Bh, al, Ah); // dump(al); dump(Ah); ll k_max = (ll)Ah[1]; dump(k_max); bool swap_flag = false; if (k < k_max); else if (k == k_max) return { 1, 1 }; else if (k < k_max * 2) { k = 2 * k_max - k; swap_flag = true; } else { return { 0, 0 }; } // x/DNM 以下の既約分数が k 個以上あるかを返す. function okQ = [&](__int128 x) { // b[i] : x/DNM 以下で分母が i の正の分数の個数 vector<__int128> bl(nl + 1); repi(i, 1, nl) bl[i] = i * x / DNM; vector<__int128> Bh(nh + 1); repi(i, 1, nh) Bh[i] = floor_sum_linear(__int128(n / i + 1), DNM, x, __int128(0)); vector<__int128> al, Ah; MDC.inv_conv_acc(n, zl, Zh, bl, Bh, al, Ah); return Ah[1] >= k; }; __int128 x = meguru_search(DNM, __int128(0), okQ); dump(x); auto [num, dnm] = rationalize((double)x / DNM, n); if (swap_flag) swap(num, dnm); return { num, dnm }; } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); ll n, k; cin >> n >> k; auto [num, dnm] = solve(n, k); if (dnm != 0) cout << num << "/" << dnm << endl; else cout << -1 << endl; }