#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL; double EPS = 1e-15; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } // 手元環境(Visual Studio) #ifdef _MSC_VER #include "local.hpp" // 提出用(gcc) #else inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_list2D(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; //using mint = modint1000000007; //using mint = modint998244353; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); using mint = static_modint<5>; istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; #endif //【二次拡大体】 /* * a + b √d ∈ F_p(√d) を表す. * * set_base(mint d) : O(1) * 体を F_p(√d) とする(p = mint::mod) * 制約:√d !∈ F_p * * QF() : O(1) * 0 で初期化する. * * QF(mint a) : O(1) * a で初期化する. * * QF(mint a, mint b) : O(1) * a + b √d で初期化する. * * x + y, x - y, x * y : O(1) * 和,差,積を返す.複合代入演算子も使用可. * * x / y : O(log p) * 商を返す.複合代入演算子も使用可. * * QF inv() : O(log p) * 逆元を返す. * * QF pow(ll n) : O(log n) * n 乗を返す. */ struct QF { // a + b √d を表す. inline static mint d; mint a, b; // d を定める static void set_base(mint d_) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod d = d_; } // 初期化 QF() : a(0), b(0) {} QF(const mint& a) : a(a), b(0) {} QF(const mint& a, const mint& b) : a(a), b(b) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod } // 代入 QF(const QF&) = default; QF& operator=(const QF&) = default; // 和 QF& operator+=(const QF& y) { a += y.a; b += y.b; return *this; } QF operator+(const QF& y) const { QF x = *this; return x += y; } // 差 QF& operator-=(const QF& y) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod a -= y.a; b -= y.b; return *this; } QF operator-(const QF& y) const { QF x = *this; return x -= y; } // 積 QF operator*(const QF& y) const { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod // (a1 + b1√d)(a2 + b2√d) = (a1 a2 + b1 b2 d) + (a1 b2 + a2 b1)√d return QF(a * y.a + b * y.b * d, a * y.b + b * y.a); } QF& operator*=(const QF& y) { *this = *this * y; return *this; } // 逆元 QF inv() const { // 1/(a + b√d) = (a - b√d) / (a^2 - b^2 d) mint dnm = (a * a - b * b * d).inv(); return QF(a * dnm, -b * dnm); } // 商 QF& operator/=(const QF& y) { return *this *= y.inv(); } QF operator/(const QF& y) const { return *this * y.inv(); } // 累乗 QF pow(ll n) const { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod QF res(1), pow2 = *this; while (n > 0) { if (n & 1) res *= pow2; pow2 *= pow2; n /= 2; } return res; } }; //【平方剰余】O(log p) /* * x^2 ≡ a (mod p) の解 x の 1 つを返す.(なければ -1) * * 制約:p = mint::mod() は素数 * * 利用:【二次拡大体】 */ int cipolla(const mint& a) { // 参考 : https://37zigen.com/cipolla-algorithm/ // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod //【方法】 // a ≡ 0 なら x ≡ 0 でよいから a ≠ 0 と仮定する. // p = 2 なら a^2 ≡ a (mod p) より x = a でよいから p は奇素数と仮定する. // // オイラーの規準より // a^((p-1)/2) ≡ 1 (mod p) ⇔ a が p を法とする平方剰余 // である.解が存在しない場合はこれで判定できるので,以下解が存在すると仮定する. // // p = 3 (mod 4) の場合は,単に x = a^((p+1)/4) を返せば良い.実際,オイラーの規準より // x^2 = a^((p+1)/2) = a * a^((p-1)/2) = a * 1 = a // となる. // // モニックな 2 次多項式 f(b; x) ∈ F_p[x] を // f(b; x) = (x-b)^2 - b^2 + a // と定める.f(b; x) の根は // x = b ± √(b^2 - a) // と表される.よって α = b^2 - a が平方非剰余であれば f(b; x) は F_p に根をもたず既約となる. // そのような b は十分多く存在するので,乱択とオイラーの規準による判定で素早く得ることができる. // // f(b; x) の 1 つの根 θ !∈ F_p を固定すると, // F_p(θ) ~= F_(p^2) におけるフロベニウス写像の性質より f(b; x) の全ての根は // θ, θ^p // と表される.f(b; x) についての根と係数の関係より,定数項について // θ θ^p ≡ [x^0] f(b; x) (mod p) // ⇔ θ^(1+p) ≡ a (mod p) // が成り立つ.p は奇素数より 1+p は偶数なので, // θ^((1+p)/2) ∈ F_p // が求める a の平方根である. // // F_p(θ) = F_p(√(b^2 - a)) なので,この上で θ^((1+p)/2) を計算すればいい. // a ≡ 0 (mod p) の場合の例外処理 : O(1) if (a == 0) return 0; auto p = mint::mod(); // p = 2 の場合の例外処理 : O(1) if (p == 2) return a.val(); // a が平方非剰余なら -1 を返す. : O(log p) if (a.pow((p - 1) / 2) == -1) return -1; // p = 3 (mod 4) の場合は簡単に解決する. : O(log p) if (p % 4 == 3) return a.pow((p + 1) / 4).val(); mt19937_64 mt((int)time(NULL)); uniform_int_distribution rnd(2, p - 1); // b^2 - a が平方非剰余となる適当な b を見つける. : 平均 O(log p) mint b; while (true) { b = rnd(mt); if ((b * b - a).pow((p - 1) / 2) == -1) break; } // 二次拡大体 F_p(√b^2-a) を作る. QF::set_base(b * b - a); // θ = b + √(b^2 - a) とする. QF th(b, 1); // θ^((1+p)/2) ∈ F_p を返す. : O(log p) return th.pow((1 + p) / 2).a.val(); } void WA() { ll n; int e; cin >> n >> e; ll res = 0; ll pow5 = 1; rep(i, e) { // r^2 = n (mod 5) int r = cipolla(mint(n)); dump(i, n, r); if (r == -1) EXIT("NaN"); res += pow5 * r; pow5 *= 5; n = (n - (r * r % 5)) / 5; } if (res > 1LL << 29) res -= pow5; cout << res << endl; } #ifdef _MSC_VER #define __int128 ll // デバッグ用 #endif int main() { input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); ll n; int E; cin >> n >> E; if (n == 0) EXIT(0); int e = E; if (e <= 0) EXIT(0); int z = 0; while (n % 5 == 0) { if (e <= 1) EXIT(0); if (n % 25 == 0) { z++; n /= 25; e -= 2; if (e <= 0) EXIT(0); } else EXIT("NaN"); } int r0 = cipolla(mint(n)); if (r0 == -1) EXIT("NaN"); { __int128 res = r0; repi(k, 1, e - 1) { mint s = mint((n - res * res) / pow(5, k)) / (2 * res); res += s.val() * pow(5, k); } dump(res); res *= pow(5, z); res = smod(res, pow(5, E)); if (res > 1LL << 29) res -= pow(5, E); if (res >= -(1LL << 29)) EXIT((ll)res); } { __int128 res = 5 - r0; repi(k, 1, e - 1) { mint s = mint((n - res * res) / pow(5, k)) / (2 * res); res += s.val() * pow(5, k); } dump(res); res *= pow(5, z); res = smod(res, pow(5, E)); if (res > 1LL << 29) res -= pow(5, E); if (res >= -(1LL << 29)) EXIT((ll)res); } EXIT("NaN"); }