#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL; double EPS = 1e-15; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define YES(b) {cout << ((b) ? "YES\n" : "NO\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; #ifdef _MSC_VER #include "localACL.hpp" #endif //using mint = modint1000000007; using mint = modint998244353; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); namespace atcoder { inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; #endif #ifdef _MSC_VER // 手元環境(Visual Studio) #include "local.hpp" #else // 提出用(gcc) inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_mat(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif //【素因数分解(複数)】 /* * Osa_k(int n) : O(n log(log n)) * n 以下の自然数を高速に素因数分解する準備を行う. * * map get(int i) : O(log n) * i の素因数分解結果を返す. */ struct Osa_k { int n; // d[i] : i を割り切る最大の素数 vi d; // n 以下の自然数を高速に素因数分解する準備を行う. Osa_k(int n_) : n(n_), d(n + 1) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2207 iota(all(d), 0); for (int p = 2; p * p <= n; p++) { if (d[p] != p) continue; for (int i = p; i <= n; i += p) d[i] = p; } } Osa_k() : n(0) {} // i の素因数分解結果を返す. map get(int i) const { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2207 Assert(i <= n); map pps; while (i > 1) { pps[d[i]]++; i /= d[i]; } return pps; } }; //【素因数の個数】O(log n) /* * n を割る p の最大べきを返す(p は素数でなくても動作する) */ int integer_exponent(ll n, ll p) { // verify : https://atcoder.jp/contests/agc047/tasks/agc047_a if (n == 0) return INF; int res = 0; while (n % p == 0) { n /= p; res++; } return res; } //【通分】O(B log(log B) + n (log B)^2)(B = max(b)) /* * Σi∈[0..n) a[i]/b[i] を既約分数 num/dnm で表したときの {num, dnm} を返す. * * 利用:【素因数分解(複数)】,【素因数の個数】 */ pair together(const vi& a, const vi& b) { int n = sz(a); int B = *max_element(all(b)); Osa_k O(B); // pps_b[i] : b[i] の素因数分解 vector> pps_b(n); rep(i, n) pps_b[i] = O.get(b[i]); // pps_lcm : L = LCM(b[0..n)) の素因数分解 // p_to_ei[p] : 素因数 p をもつ b[i] の {ord_p(b[i]), i} のリスト unordered_map pps_lcm; unordered_map> p_to_ei; rep(i, n) for (auto [p, e] : pps_b[i]) { chmax(pps_lcm[p], e); p_to_ei[p].push_back({ e, i }); } // dnm : 分母 mint dnm = 1; for (auto [p, e] : pps_lcm) { // (分子)/L が p で何回約分できるか調べるため e = ord_p(L) とおき mod p^e で考える. int pe = (int)pow(p, e); modint::set_mod(pe); // sum : p^e Σi∈[0..n) a[i]/b[i] (mod p^e) modint sum = 0; // ord_p(b[i]) = 0 の項は 0 になるので,その他の項だけの和をとる. for (auto [ei, i] : p_to_ei[p]) { int pei = (int)pow(p, pps_b[i][p]); sum += ll(a[i]) * (pe / pei) * modint(b[i] / pei).inv(); } // e_del : sum が p で何回割り切れるか int e_del = min(integer_exponent(sum.val(), p), e); // 分母に残る素因数 p の個数は e - e_del 個となる. dnm *= pow(p, e - e_del); } // 素朴に和を計算して dnm 倍すれば分子 num が求まる. mint num = 0; rep(i, n) num += mint(a[i]) / b[i]; num *= dnm; return { num, dnm }; } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); //【解説 AC】 // LCM を各法 p^e ごとに計算しなきゃいけないと思っていたが, // B[i] から素因数 p を全て括り出した残りなら mod p^e で逆元が存在するので必要なかった. int n; cin >> n; vi a(n), b(n); rep(i, n) cin >> a[i] >> b[i]; auto [c, d] = together(a, b); cout << c << " " << d << endl; }