#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620; double EPS = 1e-15; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define YES(b) {cout << ((b) ? "YES\n" : "NO\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; #ifdef _MSC_VER #include "localACL.hpp" #endif //using mint = modint1000000007; using mint = modint998244353; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); namespace atcoder { inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; #endif #ifdef _MSC_VER // 手元環境(Visual Studio) #include "local.hpp" #else // 提出用(gcc) inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_mat(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif //【二分探索(実数)】O(log(|ok - ng| / EPS)) /* * 条件 okQ() を満たす要素 ok と満たさない要素 ng との境界を二分探索する. */ template T bin_search(T ok, T ng, const FUNC& okQ, double EPS = 1e-12) { // 参考 : https://rsk0315.hatenablog.com/entry/2020/04/29/155009 // verify : https://atcoder.jp/contests/abc026/tasks/abc026_d int L = max((int)log2(abs(ok - ng) / EPS), 1); rep(hoge, L) { // 区間の中間 T mid = (ok + ng) * 0.5; // 相対誤差を小さくしたい場合はこちらを使う. //double mid = sqrt(ok * ng); // 中間が OK かどうかに応じて区間を縮小する. if (okQ(mid)) ok = mid; else ng = mid; } return (ok + ng) / 2; /* okQ の定義の雛形 auto okQ = [&](double x) { return true || false; }; */ } //【平面上の点,二次元ベクトル】 /* * 平面における点/二次元ベクトルを表す構造体 * * Point() : O(1) * (0, 0) で初期化する. * * Point(T x, T y) : O(1) * (x, y) で初期化する. * * p1 == p2, p1 != p2, p1 < p2, p1 > p2, p1 <= p2, p1 >= p2 : O(1) * x 座標優先,次いで y 座標の大小比較を行う. * * p1 + p2, p1 - p2, c * p, p * c, p / c : O(1) * ベクトルとみなした加算,減算,スカラー倍,スカラー除算を行う.複合代入演算子も使用可. * * T sqnorm() : O(1) * 自身の 2 乗ノルムを返す. * * double norm() : O(1) * 自身のノルムを返す. * * Point normalize() : O(1) * 自身を正規化したベクトルを返す. * * T dot(Point p) : O(1) * 自身と p との内積を返す. * * T cross(Point p) : O(1) * 自身と p との外積を返す. * * double angle(Point p) : O(1) * 自身から p までの成す角度を返す. */ template struct Point { // 点の x 座標,y 座標 T x, y; // コンストラクタ Point() : x(0), y(0) {} Point(T x_, T y_) : x(x_), y(y_) {} // 代入 Point(const Point& old) = default; Point& operator=(const Point& other) = default; // キャスト operator Point() const { return Point((ll)x, (ll)y); } operator Point() const { return Point((double)x, (double)y); } // 入出力 friend istream& operator>>(istream& is, Point& p) { is >> p.x >> p.y; return is; } friend ostream& operator<<(ostream& os, const Point& p) { os << '(' << p.x << ',' << p.y << ')'; return os; } // 比較(x 座標優先) bool operator==(const Point& p) const { return x == p.x && y == p.y; } bool operator!=(const Point& p) const { return !(*this == p); } bool operator<(const Point& p) const { return x == p.x ? y < p.y : x < p.x; } bool operator>=(const Point& p) const { return !(*this < p); } bool operator>(const Point& p) const { return x == p.x ? y > p.y : x > p.x; } bool operator<=(const Point& p) const { return !(*this > p); } // 加算,減算,スカラー倍,スカラー除算 Point& operator+=(const Point& p) { x += p.x; y += p.y; return *this; } Point operator+(const Point& p) const { Point q(*this); return q += p; } Point& operator-=(const Point& p) { x -= p.x; y -= p.y; return *this; } Point operator-(const Point& p) const { Point q(*this); return q -= p; } Point& operator*=(const T& c) { x *= c; y *= c; return *this; } Point operator*(const T& c) const { Point q(*this); return q *= c; } Point& operator/=(const T& c) { x /= c; y /= c; return *this; } Point operator/(const T& c) const { Point q(*this); return q /= c; } friend Point operator*(const T& sc, const Point& p) { return p * sc; } Point operator-() const { Point a = *this; return a *= -1; } // 二乗ノルム,ノルム,正規化 T sqnorm() const { return x * x + y * y; } double norm() const { return sqrt((double)x * x + (double)y * y); } Point normalize() const { return Point(*this) / norm(); } // 内積,外積,成す角度 T dot(const Point& other) const { return x * other.x + y * other.y; } T cross(const Point& other) const { return x * other.y - y * other.x; } double angle(const Point& other) const { return atan2(this->cross(other), this->dot(other)); } }; //【平面内の直線,線分】 /* * {a, b} : 2 点 a, b を通る a → b 方向の有向直線を表す. * * その他,無向直線,有向線分,無向線分などを表すのにも用いる. */ template using Line = pair, Point>; //【平面内の円】 /* * {p, r} : 点 p を中心とする半径 r の円を表す. */ template using Circle = pair, T>; //【平面内の多角形】 /* * Polygon(p[0..n)) : これらの点を周る順に頂点にもつ n 角形を表す. */ template using Polygon = vector>; //【円と直線の交点(実数)】O(1) /* * 円 c と直線 l の共有点の個数を返す.また共有点があればその座標を p1, p2 に格納する. */ int intersection_C_L(const Circle& c, const Line& l, Point& p1, Point& p2) { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc263/tasks/abc263_h // 円 c の中心が原点にくるよう平行移動 Point o = c.first; Point a = l.first - o; Point b = l.second - o; // 直線 l の方向ベクトル Point d = b - a; // (0, 0) と l との符号付き距離の分子,分母の二乗,円 c の半径 double num = a.cross(b); double dnm_sq = d.sqnorm(); double r = c.second; // (0, 0) と l との距離が円の半径より大きい場合 → 共有点 0 個 if (num * num >= r * r * dnm_sq) return 0; // (0, 0) と l との符号付き距離 double dist = num / sqrt(dnm_sq); // 円 c の中心から弦の中点までのベクトル Point nn = Point(-(double)d.y, (double)d.x) * (-dist / d.norm()); // 弦の中点から一方の交点までのベクトル Point nd = Point(d) * (sqrt(r * r - dist * dist) / d.norm()); // (0, 0) と l との距離が円の半径より小さい場合 → 交点 2 個 p1 = Point(o) + nn + nd; p2 = Point(o) + nn - nd; return 2; } //【円と多角形の共通部分の面積】O(n) /* * 円 c と n 角形 poly との共通部分の符号付き面積を返す. * * 利用:【円と直線の交点】 */ double area_intersection_C_Poly(const Circle& c, const Polygon& poly) { // verify : https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/courses/library/4/CGL/all/CGL_7_H int n = sz(poly); Point o = Point(c.first); double r_sq = (double)pow(c.second, 2.); // poly に c との交点を追加した多角形 npoly を作る. // 同時に円の中心が原点にくるように平行移動しておく. Polygon npoly; rep(i, n) { Point p1 = poly[i], p2 = poly[(i + 1) % n]; Point dp1 = Point(p1), dp2 = Point(p2); npoly.push_back(dp1 - o); Point dq1, dq2; int cnt = intersection_C_L(c, Line(p1, p2), dq1, dq2); if (cnt == 2) { double ratio1 = (dq1 - dp1).dot(dp2 - dp1) / (dp2 - dp1).sqnorm(); double ratio2 = (dq2 - dp1).dot(dp2 - dp1) / (dp2 - dp1).sqnorm(); if (0 < ratio1 && ratio1 < 1) { if (0 < ratio2 && ratio2 < 1) { if (ratio1 > ratio2) swap(dq1, dq2); npoly.push_back(dq1 - o); npoly.push_back(dq2 - o); } else { npoly.push_back(dq1 - o); } } else if (0 < ratio2 && ratio2 < 1) { npoly.push_back(dq2 - o); } } } int m = sz(npoly); double res = 0; // 扇形または三角形の符号付き面積を足し込んでいく. rep(i, m) { Point p1 = npoly[i], p2 = npoly[(i + 1) % m]; Point mid = (p1 + p2) / 2; // 扇形の場合 if (mid.sqnorm() > r_sq - EPS) { double th = atan2(p1.cross(p2), p1.dot(p2)); res += r_sq * th / 2; } // 三角形の場合 else { res += p1.cross(p2) / 2; } } return res; } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); int r, k; cin >> r >> k; Circle c{{0., 0.}, (double)r}; double a = double(r) * r * PI / (k + 1); dump(a); rep(i, k) { auto okQ = [&](double l) { Polygon p{ {-(double)INF, l}, { (double)INF, l}, {0., -(double)INF} }; double area = abs(area_intersection_C_Poly(c, p)); // dump(l, area); return area <= a * (i + 1); }; cout << bin_search(-(double)r, (double)r, okQ) << endl; } }