#ifdef DEBUG
  #define _GLIBCXX_DEBUG
  #define UNTIE ios_base::sync_with_stdio( false ); cin.tie( nullptr ); signal( SIGABRT , &AlertAbort )
  #define DEXPR( LL , BOUND , VALUE , DEBUG_VALUE ) CEXPR( LL , BOUND , DEBUG_VALUE )
  #define CERR( ANSWER ) cerr << ANSWER << endl;
  #define COUT( ANSWER ) cout << ANSWER << endl
  #define ASSERT( A , MIN , MAX ) CERR( "ASSERTチェック： " << ( MIN ) << ( ( MIN ) <= A ? "<=" : ">" ) << A << ( A <= ( MAX ) ? "<=" : ">" ) << ( MAX ) ); assert( ( MIN ) <= A && A <= ( MAX ) )
  #define LIBRARY_SEARCH if( LibrarySearch() != 0 ){ QUIT; };
  #define START_WATCH( PROCESS_NAME ) StartWatch( PROCESS_NAME )
  #define STOP_WATCH( HOW_MANY_TIMES ) StopWatch( HOW_MANY_TIMES )
#else
  #pragma GCC optimize ( "O3" )
  #pragma GCC optimize( "unroll-loops" )
  #pragma GCC target ( "sse4.2,fma,avx2,popcnt,lzcnt,bmi2" )
  #define UNTIE ios_base::sync_with_stdio( false ); cin.tie( nullptr )
  #define DEXPR( LL , BOUND , VALUE , DEBUG_VALUE ) CEXPR( LL , BOUND , VALUE )
  #define CERR( ANSWER ) 
  #define COUT( ANSWER ) cout << ANSWER << "\n"
  #define ASSERT( A , MIN , MAX ) assert( ( MIN ) <= A && A <= ( MAX ) )
  #define LIBRARY_SEARCH
  #define START_WATCH( PROCESS_NAME )
  #define STOP_WATCH( HOW_MANY_TIMES )
#endif
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using uint = unsigned int;
using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
#define ATT __attribute__( ( target( "sse4.2,fma,avx2,popcnt,lzcnt,bmi2" ) ) )
#define TYPE_OF( VAR ) decay_t<decltype( VAR )>
#define CEXPR( LL , BOUND , VALUE ) constexpr LL BOUND = VALUE
#define CIN( LL , A ) LL A; cin >> A
#define CIN_ASSERT( A , MIN , MAX ) CIN( TYPE_OF( MAX ) , A ); ASSERT( A , MIN , MAX )
#define SET_ASSERT( A , MIN , MAX ) cin >> A; ASSERT( A , MIN , MAX )
#define GETLINE( A ) string A; getline( cin , A )
#define GETLINE_SEPARATE( A , SEPARATOR ) string A; getline( cin , A , SEPARATOR )
#define FOR( VAR , INITIAL , FINAL_PLUS_ONE ) for( TYPE_OF( FINAL_PLUS_ONE ) VAR = INITIAL ; VAR < FINAL_PLUS_ONE ; VAR ++ )
#define FOREQ( VAR , INITIAL , FINAL ) for( TYPE_OF( FINAL ) VAR = INITIAL ; VAR <= FINAL ; VAR ++ )
#define FOREQINV( VAR , INITIAL , FINAL ) for( TYPE_OF( INITIAL ) VAR = INITIAL ; VAR >= FINAL ; VAR -- )
#define AUTO_ITR( ARRAY ) auto itr_ ## ARRAY = ARRAY .begin() , end_ ## ARRAY = ARRAY .end()
#define FOR_ITR( ARRAY ) for( AUTO_ITR( ARRAY ) , itr = itr_ ## ARRAY ; itr_ ## ARRAY != end_ ## ARRAY ; itr_ ## ARRAY ++ , itr++ )
#define REPEAT( HOW_MANY_TIMES ) FOR( VARIABLE_FOR_REPEAT_ ## HOW_MANY_TIMES , 0 , HOW_MANY_TIMES )
#define QUIT return 0
#define SET_PRECISION( DECIMAL_DIGITS ) cout << fixed << setprecision( DECIMAL_DIGITS_ )
#define RETURN( ANSWER ) COUT( ( ANSWER ) ); QUIT

#ifdef DEBUG
  inline void AlertAbort( int n ) { CERR( "abort関数が呼ばれました。assertマクロのメッセージが出力されていない場合はオーバーフローの有無を確認をしてください。" ); }
  void StartWatch( const string& process_name = "nothing" );
  void StopWatch( const int& how_many_times = 1 );
#endif

template <typename T> inline T Absolute( const T& a ){ return a > 0 ? a : -a; }
template <typename T> inline T Residue( const T& a , const T& p ){ return a >= 0 ? a % p : ( a % p ) + p; }

#define POWER( ANSWER , ARGUMENT , EXPONENT )				\
  static_assert( ! is_same<TYPE_OF( ARGUMENT ),int>::value && ! is_same<TYPE_OF( ARGUMENT ),uint>::value ); \
  TYPE_OF( ARGUMENT ) ANSWER{ 1 };					\
  {									\
    TYPE_OF( ARGUMENT ) ARGUMENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER = ( ARGUMENT );	\
    TYPE_OF( EXPONENT ) EXPONENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER = ( EXPONENT );	\
    while( EXPONENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER != 0 ){			\
      if( EXPONENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER % 2 == 1 ){			\
	ANSWER *= ARGUMENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER;			\
      }									\
      ARGUMENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER *= ARGUMENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER;	\
      EXPONENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER /= 2;				\
    }									\
  }									\

#define POWER_MOD( ANSWER , ARGUMENT , EXPONENT , MODULO )		\
  ll ANSWER{ 1 };							\
  {									\
    ll ARGUMENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER = ( MODULO + ( ( ARGUMENT ) % MODULO ) ) % MODULO; \
    TYPE_OF( EXPONENT ) EXPONENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER = ( EXPONENT );	\
    while( EXPONENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER != 0 ){			\
      if( EXPONENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER % 2 == 1 ){			\
	ANSWER = ( ANSWER * ARGUMENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER ) % MODULO;	\
      }									\
      ARGUMENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER = ( ARGUMENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER * ARGUMENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER ) % MODULO; \
      EXPONENT_FOR_SQUARE_FOR_POWER /= 2;				\
    }									\
  }									\

#define FACTORIAL_MOD( ANSWER , ANSWER_INV , INVERSE , MAX_INDEX , CONSTEXPR_LENGTH , MODULO ) \
  static ll ANSWER[CONSTEXPR_LENGTH];						\
  static ll ANSWER_INV[CONSTEXPR_LENGTH];						\
  static ll INVERSE[CONSTEXPR_LENGTH];						\
  {									\
    ll VARIABLE_FOR_PRODUCT_FOR_FACTORIAL = 1;				\
    ANSWER[0] = VARIABLE_FOR_PRODUCT_FOR_FACTORIAL;			\
    FOREQ( i , 1 , MAX_INDEX ){						\
      ANSWER[i] = ( VARIABLE_FOR_PRODUCT_FOR_FACTORIAL *= i ) %= MODULO; \
    }									\
    ANSWER_INV[0] = ANSWER_INV[1] = INVERSE[1] = VARIABLE_FOR_PRODUCT_FOR_FACTORIAL = 1; \
    FOREQ( i , 2 , MAX_INDEX ){						\
      ANSWER_INV[i] = ( VARIABLE_FOR_PRODUCT_FOR_FACTORIAL *= INVERSE[i] = MODULO - ( ( ( MODULO / i ) * INVERSE[MODULO % i] ) % MODULO ) ) %= MODULO; \
    }									\
  }									\

// 二分探索テンプレート
// EXPRESSIONがANSWERの広義単調関数の時、EXPRESSION >= TARGETの整数解を格納。
#define BS( ANSWER , MINIMUM , MAXIMUM , EXPRESSION , DESIRED_INEQUALITY , TARGET , INEQUALITY_FOR_CHECK , UPDATE_U , UPDATE_L , UPDATE_ANSWER ) \
  static_assert( ! is_same<TYPE_OF( TARGET ),uint>::value && ! is_same<TYPE_OF( TARGET ),ull>::value ); \
  ll ANSWER = MINIMUM;							\
  if( MINIMUM <= MAXIMUM ){						\
    ll VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_L = MINIMUM;				\
    ll VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_U = MAXIMUM;				\
    ANSWER = ( VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_L + VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_U ) / 2; \
    ll VARIABLE_FOR_DIFFERENCE_FOR_BINARY_SEARCH;			\
    while( VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_L != VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_U ){ \
      VARIABLE_FOR_DIFFERENCE_FOR_BINARY_SEARCH = ( EXPRESSION ) - ( TARGET ); \
      CERR( "二分探索中： " << VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_L << "<=" << ANSWER << "<=" << VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_U << ":" << EXPRESSION << "-" << TARGET << "=" << VARIABLE_FOR_DIFFERENCE_FOR_BINARY_SEARCH ); \
      if( VARIABLE_FOR_DIFFERENCE_FOR_BINARY_SEARCH INEQUALITY_FOR_CHECK 0 ){	\
	VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_U = UPDATE_U;			\
      } else {								\
	VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_L = UPDATE_L;			\
      }									\
      ANSWER = UPDATE_ANSWER;						\
    }									\
    CERR( "二分探索終了： " << VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_L << "<=" << ANSWER << "<=" << VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_U << ":" << EXPRESSION << ( EXPRESSION > TARGET ? ">" : EXPRESSION < TARGET ? "<" : "=" ) << TARGET ); \
    CERR( ( EXPRESSION DESIRED_INEQUALITY TARGET ? "二分探索成功" : "二分探索失敗" ) ); \
    assert( EXPRESSION DESIRED_INEQUALITY TARGET );			\
  } else {								\
    CERR( "二分探索失敗： " << MINIMUM << ">" << MAXIMUM );		\
    assert( MINIMUM <= MAXIMUM );					\
  }									\

// 単調増加の時にEXPRESSION >= TARGETの最小解を格納。
#define BS1( ANSWER , MINIMUM , MAXIMUM , EXPRESSION , TARGET )		\
  BS( ANSWER , MINIMUM , MAXIMUM , EXPRESSION , >= , TARGET , >= , ANSWER , ANSWER + 1 , ( VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_L + VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_U ) / 2 ) \

// 単調増加の時にEXPRESSION <= TARGETの最大解を格納。
#define BS2( ANSWER , MINIMUM , MAXIMUM , EXPRESSION , TARGET )		\
  BS( ANSWER , MINIMUM , MAXIMUM , EXPRESSION , <= , TARGET , > , ANSWER - 1 , ANSWER , ( VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_L + 1 + VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_U ) / 2 ) \

// 単調減少の時にEXPRESSION >= TARGETの最大解を格納。
#define BS3( ANSWER , MINIMUM , MAXIMUM , EXPRESSION , TARGET )		\
  BS( ANSWER , MINIMUM , MAXIMUM , EXPRESSION , >= , TARGET , < , ANSWER - 1 , ANSWER , ( VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_L + 1 + VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_U ) / 2 ) \
    
// 単調減少の時にEXPRESSION <= TARGETの最小解を格納。
#define BS4( ANSWER , MINIMUM , MAXIMUM , EXPRESSION , TARGET )		\
  BS( ANSWER , MINIMUM , MAXIMUM , EXPRESSION , <= , TARGET , <= , ANSWER , ANSWER + 1 , ( VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_L + VARIABLE_FOR_BINARY_SEARCH_U ) / 2 ) \

// 圧縮用
#define TE template
#define TY typename
#define US using
#define ST static
#define IN inline
#define CL class
#define PU public
#define OP operator
#define CE constexpr
#define CO const
#define NE noexcept
#define RE return 
#define WH while
#define VO void
#define VE vector
#define LI list
#define BE begin
#define EN end
#define SZ size
#define MO move
#define TH this
#define CRI CO int&
#define CRUI CO uint&
#define CRL CO ll&

#define ASK_DETAILS( ... )						\
  CERR( "問題の区分は以下の中で何番に該当しますか？" );			\
  problems = { __VA_ARGS__ };						\
  problems_size = problems.size();					\
  FOR( i , 0 , problems_size ){						\
    CERR( i << ": " << problems[i] );					\
  }									\
  cin >> num;								\
  CERR( "" );								\
  num_temp = 0;								\
  if( num < 0 || num >= problems_size ){				\
    CERR( "返答は" << problems_size - 1 << "以下の非負整数にしてください。" ); \
    CERR( "終了します。" );						\
    CERR( "" );								\
    return -1;								\
  }									\
  
int LibrarySearch( int num = -1 )
{
  vector<string> problems{};
  int problems_size = 13;
  int num_temp = 0;
  string reply{};
  if( num == -1 ){
    CERR( "ライブラリーを探索しますか？[y/n]" );
    cin >> reply;
    if( reply == "n" ){
      CERR( "ライブラリーを探索せずに続行します。" );
      CERR( "" );
      return 0;
    } else if( reply != "y" ){
      CERR( "y/nのいずれかで答えてください。" );
      CERR( "終了します。" );
      CERR( "" );
      return -1;
    }
    CERR( "" );
    CERR( "ライブラリーを探索します。" );
    ASK_DETAILS(
		"数や関数に関する問題。" ,
		"配列に関する問題。" ,
		"文字列に関する問題。" ,
		"順列に関する問題。" ,
		"矩形領域に関する問題。" ,
		"グラフに関する問題。" ,
		"部分和問題。" ,
		"確率／期待値に関する問題。" ,
		"ゲームに関する問題。" ,
		"論理に関する問題。" ,
		"半順序集合に関する問題。" ,
		"関数適用に関する問題。" ,
		"構築問題。"
		);
  } else {
    CERR( "" );
  }
  CEXPR( int , num_graph , 5 );
  CEXPR( int , num_subsequence_sum , 6 );
  CEXPR( int , num_game , 8 );
  if( num == num_temp++ ){
    CERR( "入力は１つの数か、１つの数と法を表す数ですか？[y/n]" );
    cin >> reply;
    CERR( "" );
    if( reply == "y" ){
      CERR( "まずは小さい入力の場合を愚直に計算し、OEISで検索しましょう。" );
      CERR( "https://oeis.org/?language=japanese" );
      CERR( "" );
      CERR( "次に出力の定義と等価な式を考察しましょう。" );
      CERR( "- 単調ならば、冪乗や階乗" );
      CERR( "- 定義にp進法が使われていれば、各種探索アルゴリズム" );
      CERR( "- 入力が素数に近い場合に規則性があれば、p進付値、p進法、" );
      CERR( "  オイラー関数、約数の個数など" );
      CERR( "を検討しましょう。" );
    } else if( reply == "n" ){
      ASK_DETAILS(
		  "求解問題。" ,
		  "最大化問題。" ,
		  "数え上げ問題。" ,
		  "その他。"
		  );
      if( num == num_temp++ ){
	CERR( "まず" );
	CERR( "- 単調関数は二分探索" );
	CERR( "- 可微分関数はニュートン法" );
	CERR( "- 一次関数は掃き出し法" );
	CERR( "を検討しましょう。" );
	CERR( "" );
	CERR( "それらが間に合わない時は" );
	CERR( "- 探索範囲を絞れそうな場合は全探策" );
	CERR( "- 多変数の合成関数で表せる場合は半分全列挙" );
	CERR( "を検討しましょう。" );
      } else if( num == num_temp++ ){
	CERR( "- 凸関数は三分探索" );
	CERR( "- 可微分関数は微分のニュートン法" );
	CERR( "を検討しましょう。" );
      } else if( num == num_temp++ ){
	CERR( "- 変数の対称性があれば大小関係を制限した全探策" );
	CERR( "- 何らかの約数となるなど動く範囲が狭い変数があればそれらを決め打った全探策" );
	CERR( "- 多変数の合成関数で表せる場合は半分全列挙" );
	CERR( "を検討しましょう。" );
      } else if( num == num_temp++ ){
	CERR( "このケースのライブラリー探索は不完全です。" );
      }
    } else {
      CERR( "y/nのいずれかで答えてください。" );
      CERR( "終了します。" );
      CERR( "" );
      return -1;
    }
    CERR( "" );
    CERR( "マルチテストケースの場合は以下の前計算を検討しましょう；" );
    CERR( "素数列挙、約数列挙、オイラー関数の値列挙、サブゴールとなる関係式を満たす解列挙。" );
  } else if( num == num_temp++ ){
    ASK_DETAILS(
		"区間処理問題。" ,
		"最大化問題。" ,
		"最長部分列問題。" ,
		"数え上げ問題。" ,
		"部分和問題。"
		);
    if( num == num_temp++ ){
      ASK_DETAILS(
		  "可換群構造+を使う問題。" ,
		  "可換羃等モノイド構造∨を使う問題。" ,
		  "モノイド構造*を使う問題。" ,
		  "非結合的マグマ構造*を使う問題。" ,
		  "集合へのマグマ作用(*,\\cdot)を使う問題。" ,
		  "モノイドへのマグマ作用(+,\\cdot)を使う問題。" ,
		  "定数とのmaxを取った値の区間和取得を使う問題。"
		  );
      if( num == num_temp++ ){
	CERR( "- 区間加算／区間取得が必要ならば可換群BIT" );
	CERR( "  \\Mathematics\\SetTheory\\DirectProduct\\AffineSpace\\BIT\\Template" );
	CERR( "- 一点代入／一点加算／区間取得が必要ならば可換群平方分割" );
	CERR( "  \\Mathematics\\SetTheory\\DirectProduct\\AffineSpace\\SqrtDecomposition\\Template" );
	CERR( "- 区間以外の領域で加算／全更新後の一点取得が必要ならば階差数列" );
	CERR( "  \\Mathematics\\SetTheory\\DirectProduct\\Tree\\DifferenceSeqeuence" );
	CERR( "を検討しましょう。" );
      } else if( num == num_temp++ ){
	CERR( "- 一点代入／区間加算／一点取得／区間取得が必要ならば可換羃等モノイドBIT" );
	CERR( "  \\Mathematics\\SetTheory\\DirectProduct\\AffineSpace\\BIT\\IntervalMax\\Template" );
	CERR( "を検討しましょう。" );
      } else if( num == num_temp++ ){
	CERR( "- 一点代入／区間取得が必要ならばモノイドBIT" );
	CERR( "  \\Mathematics\\SetTheory\\DirectProduct\\AffineSpace\\BIT\\Template\\Monoid" );
	CERR( "- 一点加算／区間加算／一点取得／区間取得が必要ならばモノイド平方分割" );
	CERR( "  \\Mathematics\\SetTheory\\DirectProduct\\AffineSpace\\SqrtDecomposition\\Template\\Monoid" );
	CERR( "- 一点代入／一点取得／区間取得が必要ならばモノイドセグメント木" );
	CERR( "  \\Mathematics\\SetTheory\\DirectProduct\\AffineSpace\\SegmentTree" );
	CERR( "を検討しましょう。" );
      } else if( num == num_temp++ ){
	CERR( "- 写像のコード化" );
	CERR( "  \\Mathematics\\Function\\Encoder" );
	CERR( "によりモノイドに帰着させることを検討しましょう。" );
      } else if( num == num_temp++ ){
	CERR( "- 一点作用／区間作用／一点取得が必要ならば双対平方分割" );
	CERR( "  \\Mathematics\\SetTheory\\DirectProduct\\AffineSpace\\SqrtDecomposition\\Template\\Dual" );
	CERR( "を検討しましょう。" );
      } else if( num == num_temp++ ){
	CERR( "- 区間代入／区間作用／区間加算／一点取得／区間取得が必要な場合は遅延評価平方分割" );
	CERR( "  \\Mathematics\\SetTheory\\DirectProduct\\AffineSpace\\SqrtDecomposition\\Template\\LazyEvaluation" );
	CERR( "を検討しましょう。" );
      } else if( num == num_temp++ ){
	CERR( "maxで全体更新でなく区間更新をする場合の汎用的な解法は分かりません。" );
	CERR( "例えば区間が包含について単調でmaxを取る値も単調であれば全体更新と" );
	CERR( "同様の処理ができます。状況に応じた考察をしましょう。" );
	CERR( "" );
	CERR( "maxで全体更新をする場合、maxを取る値は単調である場合に帰着できます。" );
	CERR( "maxで全体更新をしない場合、つまりただmaxの区間和を処理するだけの場合、" );
	CERR( "クエリの順番を入れ替えることができるので、単調な全体更新に帰着できます。" );
	CERR( "従って以下では単調な全体更新の問題を考えます。" );
	CERR( "" );
	CERR( "maxを取る定数を変数化し、元の値との大小を表す{0,1}値の係数を考えます。" );
	CERR( "すると区間作用前後の値は統一的にその係数と変数を使って表せます。" );
	CERR( "配列の各成分の係数の値が変化するイベントとクエリをソートして管理し、" );
	CERR( "クエリがイベントを跨ぐたびに係数を更新することを検討しましょう。" );
	CERR( "" );
	CERR( "例えばクエリB_qに対するmax(A_i,B_q)の区間和は、" );
	CERR( "- 優先度つきキューA'={(A_i,i)|i}（構築O(N log N)）" );
	CERR( "- (B_q,q)_qをソートしたB'（構築O(Q log Q)）" );
	CERR( "- 長さNの数列C=(0,...,0)（構築O(N)）" );
	CERR( "を用意し、B'を前から探索して順に各クエリ(B_q,q)を処理します。" );
	CERR( "具体的にはA'を前から探索して順にA_i<B_qとなる各iに対し" );
	CERR( "- A'から(A_i,i)を削除（クエリ合計O(N)）" );
	CERR( "- A_iを0に更新（クエリ合計O(N log N)）" );
	CERR( "- C_iを1に更新（各クエリO(log N)）" );
	CERR( "- A+C×B_qの区間和取得（各クエリO(log N)）" );
	CERR( "とすれば合計O((N + Q)log N + Q log Q)で処理できます。" );
      }
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "最大化すべき式のサブゴールfに表れる項xのうち決め打ちやすいものを探しましょう。" );
      CERR( "- 配列の長さをiで打ち切った時のxの候補数をX(i)" );
      CERR( "- 配列の長さをiで打ち切ってxを決め打った時の配列の長さi+1でのxの候補数をdX(i)" );
      CERR( "と置きます。" );
      CERR( "- O(sum_i X(i) dX(i))が通りそうでfがxからO(1)で計算できるならば、iとxに関する動的計画法" );
      CERR( "- O(N log_2 X(N))が通りそうで" );
      CERR( "  - fがxからO(N)で計算できxに関して単調ならば、xの二分探索" );
      CERR( "  - fがxからO(N/x)で計算できるならば、xの全探索" );
      CERR( "- O(N log_2 N)が通りそうでxを上手く並び替えるとfがxからO(log_2 N)で計算できるならば、" );
      CERR( "  優先度つきキューなどでのxの管理" );
      CERR( "を検討しましょう。" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "全順序か疎な半順序かで効率的な実装が違います。" );
      CERR( "- 全順序ならば、条件を満たす部分列の長さの最大値をインデックスに持つ配列を用いて、" );
      CERR( "  それらの部分列の末尾である項を記録すること" );
      CERR( "- 疎な半順序ならば、条件を満たす部分列の末尾をインデックスに持つ連想配列を用いて、" );
      CERR( "  それら部分列の長さの最大値を記録すること" );
      CERR( "を検討しましょう。" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "gcdやmaxなどの羃等演算に関する等式を指定した数え上げは不等式の方が" );
      CERR( "扱いやすいのでゼータ変換／メビウス変換を検討しましょう。" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      return LibrarySearch( num = num_subsequence_sum );
    }
  } else if( num == num_temp++ ){
    ASK_DETAILS(
		"部分列マッチング問題。" ,
		"回文探索問題。"
		);
    if( num == num_temp++ ){
      CERR( "基本的には丁寧にループを回して解きましょう。" );
      CERR( "- 比較対象が少ない場合、前または後ろから順に探索（貪欲法／動的計画法）" );
      CERR( "- ワイルドカードを含む場合、" );
      CERR( "  - 前または後ろから順に場合分けをしてO(N)で処理できるか" );
      CERR( "  - 可能な代入方法を絞り込んでO(N)種類に落せるか" );
      CERR( "- 比較回数が多い場合、ローリングハッシュ" );
      CERR( "  \\Utility\\String\\RollingHash" );
      CERR( "- マッチングする文字列の最長化をする場合、Zアルゴリズム" );
      CERR( "  https://qiita.com/Pro_ktmr/items/16904c9570aa0953bf05" );
      CERR( "を検討しましょう。" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "回文判定は長さに関して再帰的に計算できます。" );
      CERR( "- O(N^2)が通る場合、愚直な再帰により前計算で全ての部分列の回文判定" );
      CERR( "- O(N^2)が通らない場合、Manacherのアルゴリズムやローリングハッシュで前計算" );
      CERR( "  https://snuke.hatenablog.com/entry/2014/12/02/235837" );
      CERR( "を検討しましょう。" );
    }
  } else if( num == num_temp++ ){
    CERR( "符号の計算は転倒数の計算に帰着させましょう。" );
    CERR( "符号と何かの積の和は行列式に帰着させましょう。" );
    CERR( "- 行列式そのものなら行基本変形でO(N^3)" );
    CERR( "- 余因子展開の途中の値はメモ化再帰でO(N 2^N)" );
    CERR( "で計算できます。" );
    CERR( "" );
    CERR( "１つの順列の転倒数は、" );
    CERR( "- O(N^2)が通りそうならば愚直な二重ループ" );
    CERR( "- O(N log_2 N)が通りそうならば可換群BIT" );
    CERR( "  \\Mathematics\\Combinatorial\\Permutation" );
    CERR( "  \\Mathematics\\SetTheory\\DirectProduct\\AffineSpace\\BIT" );
    CERR( "で計算しましょう。" );
    CERR( "" );
    CERR( "条件を満たす順列全体をわたる転倒数の総和は、" );
    CERR( "各i<jごとにそこで転倒が生じる順列の個数を計算し、その総和を取りましょう。" );
    CERR( "条件が良ければ、転倒が生じる順列の個数は転倒が生じるとは限らない順列の個数の" );
    CERR( "半分となります。" );
  } else if( num == num_temp++ ){
    ASK_DETAILS(
		"探索問題。" ,
		"絶対値の最小／最大化問題。" ,
		"その他の最小／最大化問題。"
		);
    if( num == num_temp++ ){
      CERR( "隣接関係の定める無向グラフの問題に帰着させましょう。" );
      return LibrarySearch( num = num_graph );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "符号を用いて絶対値を外しましょう。" );
      CERR( "- 単調な式に帰着できる場合、二分探索を検討しましょう。" );
      CERR( "- 最大化問題の場合、符号パターンの全探策を検討しましょう。" );
      CERR( "- マンハッタン距離などは一次変換で簡単にすることを検討しましょう。" );
      CERR( "複数のパラメータを決定すべき場合は、サブゴールの式の値を決め打ちましょう。" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "このケースのライブラリー探索は不完全です。" );
      CERR( "- O(HW)が通りそうならば動的計画法" );
      CERR( "- O(HW)が通らなさそうならば見方を変えて最短経路問題に帰着できないか" );
      CERR( "を検討しましょう。" );
      CERR( "" );
      CERR( "例えば迷路の攻略可能性は" );
      CERR( "- スタートとゴールが同一の弧状連結成分に属すこと" );
      CERR( "- スタートとゴールを分断する壁のパスの非存在性" );
      CERR( "などから翻訳できます。" );
    }
  } else if( num == num_temp++ ){
    ASK_DETAILS(
		"２点最短径路（迷路）問題。" ,
		"多点最短経路（スタンプラリー）問題。" ,
		"木の問題。" ,
		"連結性問題。"
		);
    if( num == num_temp++ ){
      CERR( "特定の経路を進むと思い込んで考察漏れをする可能性があります。" );
      CERR( "なるべく全ての経路を許した探索アルゴリズムを適用した方が無難です。" );
      CERR( "- 特定の２点のみを考える場合、BFSやDijkstra" );
      CERR( "  \\Utility\\Search\\BreadthFirst" );
      CERR( "  \\Utility\\Search\\Dijkstra" );
      CERR( "- 全ての２点の組み合わせを考える場合、" );
      CERR( "  - 一般のモノイド演算を考えておりO(V^3)が通りそうならば、FloydWarshall" );
      CERR( "    \\Utility\\Search\\FloydWarshall" );
      CERR( "  - max演算を考えておりO(E(log_2 E + α(V)))が通りそうならば、UnionFind" );
      CERR( "    \\Utility\\VLTree\\UnionFindForest" );
      CERR( "を検討しましょう。" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "HeldKarpや、移動方法を分類するパラメータの全探策などを検討しましょう。" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "深さ優先探索や動的木を検討しましょう。" );
      CERR( "\\Utility\\Search\\DepthFirst" );
      CERR( "\\Utility\\VLTree" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "- 0次の連結性はUnionFind" );
      CERR( "  \\Utility\\VLTree\\UnionFindForest" );
      CERR( "- 高次の連結性は深さ優先探索" );
      CERR( "  \\Utility\\Search\\DepthFirst" );
      CERR( "- マルチテストケースの場合は座標圧縮との併用" );
      CERR( "を検討しましょう。" );
    }
  } else if( num == num_temp++ ){
    ASK_DETAILS(
		"最大化問題。" ,
		"数え上げ問題。"
		);
    if( num == num_temp++ ){
      CERR( "項数N、重みの総和の上限W（多変数も可）、価値（和を取る値）の上限Vとします。" );
      CERR( "- B=∞ならば、通常のナップサック問題と同様の動的計画法" );
      CERR( "- B<∞でO(2^N)が通りそうならば愚直に全探策" );
      CERR( "- B<∞でO(2^{N/2} N)が通りそうならば半分全列挙" );
      CERR( "- B<∞で重みと価値が等しくO(NV)が通りそうならば[B-V,B+V]での実現可能性を" );
      CERR( "  遷移する動的計画法" );
      CERR( "  https://stackoverflow.com/a/18949218" );
      CERR( "- Wが10^5オーダーで重みと価値が等しくO((N+W)log_2 W)が通りそうならば" );
      CERR( "  適当な法での畳み込み（確率的解法）" );
      CERR( "  \\Mathematics\\Polynomial" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "項数N、重みの総和の上限Wとします。" );
      CERR( "- 重みと価値が異なりO(2^N)が通りそうならば愚直な２変数多項式乗算" );
      CERR( "- 重みと価値が等しくO(2^N)が通りそうならば愚直な１変数多項式乗算" );
      CERR( "- 重みと価値が等しくO(2^{N/2}N)が通りそうならば半分ずつ多項式乗算を" );
      CERR( "  して最後にそれらの積の１係数のみの計算" );
      CERR( "- 重みと価値が等しくWが10^5オーダーで法が与えられていてO((N+W)log_2 W)が" );
      CERR( "  通りそうならば畳み込み" );
      CERR( "  \\Mathematics\\Polynomial" );
    }
    CERR( "を検討しましょう。" );
  } else if( num == num_temp++ ){
    CERR( "確率計算は" );
    CERR( "- 余事象や包除原理（高速ゼータ変換）" );
    CERR( "- 同様に確からしい事象の特定" );
    CERR( "- ベイズの定理" );
    CERR( "を検討しましょう。" );
    CERR( "" );
    CERR( "期待値計算は" );
    CERR( "- 上記方法での確率計算" );
    CERR( "- 対象を独立な和で表して線形性" );
    CERR( "を検討しましょう。" );
  } else if( num == num_temp++ ){
    CERR( "ゲームの和に分解できる場合は最小単位で考察をし、グランディ数を実装しましょう。" );
    CERR( "これ以上分解できないゲームには整礎構造を探し、順序数の小さい順に実験をしましょう。" );
  } else if( num == num_temp++ ){
    CERR( "複数の命題に対する" );
    CERR( "- 区間処理は各種代数的データ構造" );
    CERR( "  \\Mathematics\\SetTheory\\DirectProduct\\AffineSpace" );
    CERR( "- 充足可能性判定は頂点数を２倍してUnionFind" );
    CERR( "  \\Utility\\VLTree\\UnionFindForest" );
    CERR( "を検討しましょう。" );
  } else if( num == num_temp++ ){
    ASK_DETAILS(
		"関数の計算問題。" ,
		"降下／上昇列に関する問題。"
		);
    if( num == num_temp++ ){
      CERR( "ゼータ変換を検討しましょう。" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "順序関係の定める有向グラフの問題に帰着させましょう。" );
      return LibrarySearch( num = num_graph );
    }
  } else if( num == num_temp++ ){
    ASK_DETAILS(
		"反復合成の計算問題。" ,
		"反復合成による到達可能性問題。"
		);
    if( num == num_temp++ ){
      CERR( "定義域の要素数N、テストケース数T、反復回数の上限Kとします。" );
      CERR( "- O((N + T)log_2 K)が通りそうならばダブリング" );
      CERR( "  \\Mathematics\\Function\\Iteration\\Doubling" );
      CERR( "- O(TN)が通りそうならばループ検出" );
      CERR( "  \\Mathematics\\Function\\Iteration\\LoopDetection" );
      CERR( "- O(N)すら通らなさそうならば関数の規則性を見付けるための実験" );
      CERR( "を検討しましょう。" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "関数による遷移が定める有向グラフの問題に帰着させましょう。" );
      return LibrarySearch( num = num_graph );
    }
  } else if( num == num_temp++ ){
    ASK_DETAILS(
		"数や配列や文字列の構築。" ,
		"経路の構築。" ,
		"戦略の構築。"
		);
    if( num == num_temp++ ){
      CERR( "p進法を検討しましょう。" );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "可能な経路の定める無向グラフの問題に帰着させましょう。" );
      return LibrarySearch( num = num_graph );
    } else if( num == num_temp++ ){
      CERR( "ゲームの問題に帰着させましょう。" );
      return LibrarySearch( num = num_game );
    }
  }
  CERR( "" );
  CERR( "ライブラリー探索は以上です。終了します。" );
  CERR( "" );
  return -1;
}

TE <TY INT,INT val_limit,int LE_max = val_limit>CL PrimeEnumeration{PU:INT m_val[LE_max];int m_LE;CE PrimeEnumeration();};TE <TY INT,INT val_limit,int LE_max>CE PrimeEnumeration<INT,val_limit,LE_max>::PrimeEnumeration():m_val(),m_LE(0){bool is_comp[val_limit] ={};for(INT i = 2;i < val_limit;i++){if(is_comp[i] == false){INT j = i;WH((j += i) < val_limit){is_comp[j] = true;}m_val[m_LE++] = i;if(m_LE >= LE_max){break;}}}}TE <TY INT,INT val_limit,int LE_max>VO SetPrimeFactorisation(CO PrimeEnumeration<INT,val_limit,LE_max>& prime,CO INT& n,VE<INT>& P,VE<INT>& EX){INT n_copy = n;int i = 0;WH(i < prime.m_LE){CO INT& p = prime.m_val[i];if(p * p > n_copy){break;}if(n_copy % p == 0){P.push_back(p);EX.push_back(1);INT& EX_back = EX.back();n_copy /= p;WH(n_copy % p == 0){EX_back++;n_copy /= p;}}i++;}if(n_copy != 1){P.push_back(n_copy);EX.push_back(1);}RE;}
#define EULER_FUNCTION EX.clear();INT AN = n;CO INT SZ = P.SZ();for(INT i = 0;i < SZ;i++){AN -= AN / P[i];}RE AN;
TE <TY INT,INT val_limit,int LE_max>INT EulerFunction(CO PrimeEnumeration<INT,val_limit,LE_max>& prime,CO INT& n,VE<INT>& P,VE<INT>& EX){SetPrimeFactorisation(prime,n,P,EX);EULER_FUNCTION;}TE <TY INT,INT val_limit,int LE_max>IN INT EulerFunction(CO PrimeEnumeration<INT,val_limit,LE_max>& prime,CO INT& n){VE<INT> P{};VE<INT> EX{};RE EulerFunction(prime,n,P,EX);}TE <TY INT,INT val_limit,int LE_max,int SZ,TY INT2>VO MemoriseEulerFunction(CO PrimeEnumeration<INT,val_limit,LE_max>& prime,INT2(&memory)[SZ]){ST INT quotient[SZ];for(int n = 1;n < SZ;n++){memory[n] = quotient[n] = n;}for(int i = 0;i < prime.m_LE;i++){CO INT& p_i = prime.m_val[i];int n = 0;WH((n += p_i)< SZ){INT2& memory_n = memory[n];INT& quotient_n = quotient[n];memory_n -= memory_n / p_i;WH((quotient_n /= p_i)% p_i == 0){}}}for(int n = val_limit;n < SZ;n++){CO INT& quotient_n = quotient[n];if(quotient_n != 1){INT2& memory_n = memory[n];memory_n -= memory_n / quotient_n;}}RE;}


TE <int SZ_max> VO MemoriseEnumerateDivisor(LI<int>(&memory)[SZ_max])NE{for(int d = 1;d < SZ_max;d++){int n = 0;WH((n += d)< SZ_max){memory[n].push_back(d);}}RE;}
TE <TY INT,INT val_limit,int LE_max>int MoeviusFunction(CO PrimeEnumeration<INT,val_limit,LE_max>& prime,INT n)NE{int AN = 1;int i = 0;WH(i < prime.m_LE && n > 1){CRI p = prime.m_val[i++];if(n % p == 0){if((n /= p)% p == 0){RE 0;}AN *= -1;}}RE n == 1?AN:AN *= -1;}

#define DEFINITION_OF_GET_FOR_ZETA_TRANSFORM( MU )			\
  list<T> sub = Sub( t );						\
  sub.push_front( t );							\
  U answer = Zero();							\
									\
  while( ! sub.empty() ){						\
									\
    const T& t_sub = sub.front();					\
    answer = Sum( answer , Prod( m_val[e_inv( t_sub )] , MU( t_sub , t ) ) ); \
    sub.pop_front();							\
									\
  }									\
									\
  return answer;							\

#define DEFINITION_OF_INVERSE_IMAGE_SUM_FOR_ZETA_TRANSFORM( MU )	\
  const T t = f_inv_max( s );						\
  list<S> sub = r( s );							\
  U answer = Zero();							\
									\
  while( ! sub.empty() ){						\
									\
    const T& t_sub = f_inv_max( sub.front() );				\
    answer = Sum( answer , Prod( m_val[e_inv( t_sub )] , MU( t_sub , t ) ) ); \
    sub.pop_front();							\
									\
  }									\
									\
  return answer;							\

template <typename T , typename U , int size_max>
class ZetaTransformBody
{

private:
  int m_length;
  map<T,int> m_memory;
  vector<T> m_memory_inv;

protected:
  int m_size;
  // U m_val[size_max];
  vector<U> m_val;

public:
  // 仮想継承用にダミーのデフォルトコンストラクタを設定。
  inline ZetaTransformBody( const int& size = 0 );

  inline void Add( const T& t , const U& u );
  inline void AddAll( const U& u );
  inline ZetaTransformBody<T,U,size_max>& operator+=( const ZetaTransformBody<T,U,size_max>& a );
  inline void MultiplyAll( const U& u );
  inline ZetaTransformBody<T,U,size_max>& operator*=( const ZetaTransformBody<T,U,size_max>& a );

  // 子クラスの半順序のメビウス関数のデフォルトの再帰式を使うため、
  // 再帰深度が浅い場合にしか使えない。
  inline U Get( const T& t );
  // muは子クラスの半順序のメビウス関数。
  template <int mu(const T&,const T&)> inline U Get( const T& t );
  inline const U& InitialSegmentSum( const T& t );

  // f_inv_maxは定義域にr(s)を含む部分写像T->Sであり、要件
  // (1) Sは半順序集合である。
  // (2) r(s)は重複を持たない。（よって集合とみなす）
  // (3) sはr(s)の最大元である。
  // (4) 像f_inv_max(s)の要素を上界に持つTの要素全体Rへのfの制限f_Rは順序保存写像R->r(s)である。
  // (5) r(s)の任意の要素tに対しf_inv_max(t)が逆像f_R^{-1}(t)の最大元である。
  // を満たすfが存在する場合にのみ以下の２つをサポート。

  // f( t ) = sを満たすRの要素t全体を渡る総和取得。
  template <typename S , T f_inv_max(const S&) , list<S> r(const S&)> inline U InverseImageSum( const S& s );
  template <typename S , T f_inv_max(const S&) , list<S> r(const S&) , int mu(const T&,const T&)> inline U InverseImageSum( const S& s );
  // f( t ) <= sを満たすRの要素t全体を渡る総和取得。（結果的にrは使わないが要件上はrの存在が必要） 
  template <typename S , T f_inv_max(const S&)> inline const U& InitialSegmentInverseImageSum( const S& s );

  virtual T e( const int& i );
  virtual int e_inv( const T& t );
  
private:
  virtual const U& Zero() const = 0;
  virtual U Sum( const U& u0 , const U& u1 ) const = 0;
  virtual U Prod( const U& u0 , const U& u1 ) const = 0;
  virtual list<T> Sub( const T& t ) const = 0;
  virtual list<T> Sup( const T& t ) const = 0;
  virtual int Moevius( const T& t0 , const T& t1 ) = 0;

};

template <typename T , typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max>
class SemiRingForZetaTransform :
  virtual public ZetaTransformBody<T,U,size_max>
{
public:
  inline SemiRingForZetaTransform( const int& dummy );
  
private:
  inline const U& Zero() const;
  inline U Sum( const U& u0 , const U& u1 ) const;
  inline U Prod( const U& u0 , const U& u1 ) const;

};

template <typename T , list<T> E(const T&) , list<T> E_inv(const T&) , typename U , int size_max>
class PartiallyOrderedSetForZetaTransform :
  virtual public ZetaTransformBody<T,U,size_max>
{

private:
  map<int,map<int,int> > m_moevius;

  inline list<T> Sub( const T& t ) const;
  inline list<T> Sup( const T& t ) const;
  // デフォルトの再帰式であるため、再帰深度が浅い場合にしか使えない。
  inline int Moevius( const T& t0 , const T& t1 );
  
};

template <typename U , int size_max>
class EnumerationForZetaTransform :
  virtual public ZetaTransformBody<int,U,size_max>
{

private:
  inline int e( const int& i );
  inline int e_inv( const int& t );
  
};

// 入力の範囲内で要件
// (1) Eがint上の半順序<のグラフでE_invが(int,>)のグラフである。
// を満たす場合にのみ以下をサポート。

// 0による初期化O(size_max)
// ゼータ変換前の配列による初期化O(始切片のサイズの総和)

// 一点加算O(終切片[t,∞)のサイズ)
// 全体加算O(size)
// 各点加法O(size)
// 全体乗算O(size)
// (int,<)がjoin半束である場合の畳み込み乗法O(size)

// 一点取得O(始切片(-∞,t]のサイズ×メビウス関数の計算量)
// 始切片和取得O(1)

// 逆像和取得O(始切片(-∞,f_inv_max(r_max)]のサイズ×メビウス関数の計算量)
// 始切片逆像和取得O(1)
template <list<int> E(const int&) , list<int> E_inv(const int&) , int size_max>
class ZetaTransform :
  public PartiallyOrderedSetForZetaTransform<int,E,E_inv,ll,size_max> ,
  public EnumerationForZetaTransform<ll,size_max>
{

public:
  inline ZetaTransform( const int& size );
  // inline ZetaTransform( const int& size , const ll ( &a )[size_max] );
  inline ZetaTransform( const int& size , const vector<ll>&a );

private:
  inline const ll& Zero() const;
  inline ll Sum( const ll& u0 , const ll& u1 ) const;
  inline ll Prod( const ll& u0 , const ll& u1 ) const;

};

// 入力の範囲内で要件
// (1) 2^digit <= size_max
// (2) (U,a_U:U^2->U,z_U:1->U,m_U:U^2->U)が単位的環である。
// を満たす場合にのみ以下をサポート。

// z_U()による初期化O(size_max)
// ゼータ変換前の配列による初期化O(digit 2^digit)（可換加法モノイド性を使う）

// 一点加算O(2^digit)（可換加法モノイド性を使う）
// 全体加算O(2^digit)（可換加法モノイド性だけでも実装できるが単位的半環性を使う）
// 各点加法O(2^digit)（加法モノイド性を使う）
// 全体乗算O(2^digit)（半環性を使う）
// 畳み込み乗法O(2^digit)（半環性を使う）

// 一点取得O(2^digit)（単位的環性を使う。愚直と同じオーダー）
// 多点取得O(digit 2^digit)（単位的環性を使う）
// 始切片和取得O(1)（可換加法モノイド性を使う）
// 逆像和取得O(始切片(-∞,f_inv_max(r_max)]のサイズ)（単位的環性を使う）
// 始切片逆像和取得O(1)（可換加法モノイド性を使う）
template <typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max>
class FastZetaTransform :
  public SemiRingForZetaTransform<int,U,a_U,z_U,m_U,size_max> ,
  public EnumerationForZetaTransform<U,size_max>
{

private:
  int m_digit;
  
public:
  inline FastZetaTransform( const int& digit );
  inline FastZetaTransform( const int& digit , const U ( &a )[size_max] );

  inline FastZetaTransform<U,a_U,z_U,m_U,size_max>& operator+=( const FastZetaTransform<U,a_U,z_U,m_U,size_max>& a );
  inline FastZetaTransform<U,a_U,z_U,m_U,size_max>& operator*=( const FastZetaTransform<U,a_U,z_U,m_U,size_max>& a );

  inline void FastMoeviusTransform( U ( &a )[size_max] );

private:
  inline list<int> Sub( const int& t ) const;
  inline list<int> Sup( const int& t ) const;
  inline int Moevius( const int& t0 , const int& t1 );

};

// 入力の範囲内で要件
// (1) EがT上の半順序<のグラフでE_invが(T,>)のグラフである。
// (2) (U,a_U:U^2->U,z_U:1->U,m_U:U^2->U)が単位的環である。
// を満たす場合にのみ以下をサポート。

// z_U()による初期化O(size_max)

// 一点加算O(終切片[t,∞)のサイズ×log_2(size))（可換加法モノイド性を使う）
// 全体加算O(size)（可換加法モノイド性だけでも実装できるが単位的半環性を使う）
// 各点加法O(size)（加法モノイド性を使う）
// 全体乗算O(size)（半環性を使う）
// (T,<)がjoin半束である場合の畳み込み乗法O(size)（半環性を使う）

// 一点取得O(始切片(-∞,t]のサイズ×メビウス関数の計算量×log_2(size))（単位的環性を使う）
// 始切片和取得O(log_2(size))（可換加法モノイド性を使う）

// 逆像和取得O(始切片(-∞,f_inv_max(r_max)]のサイズ×メビウス関数の計算量×log_2(size))（単位的環性を使う）
// 始切片逆像和取得O(log_2(size))（可換加法モノイド性を使う）
template <typename T , list<T> E(const T&) , list<T> E_inv(const T&) , typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max>
class MemorisationZetaTransform :
  public SemiRingForZetaTransform<T,U,a_U,z_U,m_U,size_max> ,
  public PartiallyOrderedSetForZetaTransform<T,E,E_inv,U,size_max>
{

public:
  inline MemorisationZetaTransform( const int& size );

};

// 入力の範囲内で要件
// (1) EがT上の半順序<のグラフでE_invが(T,>)のグラフである。
// (2) (U,a_U:U^2->U,z_U:1->U,m_U:U^2->U)が単位的環である。
// (3) enum_T:int->Tとenum_T_inv:int->Tが互いに逆写像である。
// を満たす場合にのみ以下をサポート。

// z_U()による初期化O(size_max)

// 一点加算O(終切片[t,∞)のサイズ)（可換加法モノイド性を使う）
// 全体加算O(size)（可換加法モノイド性だけでも実装できるが単位的半環性を使う）
// 各点加法O(size)（加法モノイド性を使う）
// 全体乗算O(size)（半環性を使う）
// (T,<)がjoin半束である場合の畳み込み乗法O(size)（半環性を使う）

// 一点取得O(始切片(-∞,t]のサイズ×メビウス関数の計算量)（単位的環性を使う）
// 始切片和取得O(1)（可換加法モノイド性を使う）

// 逆像和取得O(始切片(-∞,f_inv_max(r_max)]のサイズ×メビウス関数の計算量)（単位的環性を使う）
// 始切片逆像和取得O(1)（可換加法モノイド性を使う）
template <typename T , list<T> E(const T&) , list<T> E_inv(const T&) , typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max , T enum_T(const int&) , int enum_T_inv(const T&)>
class EnumerationZetaTransform :
  public SemiRingForZetaTransform<T,U,a_U,z_U,m_U,size_max> ,
  public PartiallyOrderedSetForZetaTransform<T,E,E_inv,U,size_max>
{

public:
  inline EnumerationZetaTransform( const int& size );

private:
  inline T e( const int& i );
  inline int e_inv( const T& t );

};

// template <typename T , typename U , int size_max> inline ZetaTransformBody<T,U,size_max>::ZetaTransformBody( const int& size ) : m_length() , m_memory() , m_memory_inv() , m_size( size ) , m_val() {}
template <typename T , typename U , int size_max> inline ZetaTransformBody<T,U,size_max>::ZetaTransformBody( const int& size ) : m_length() , m_memory() , m_memory_inv() , m_size( size ) , m_val(size_max) {}
template <typename T , typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max> inline SemiRingForZetaTransform<T,U,a_U,z_U,m_U,size_max>::SemiRingForZetaTransform( const int& dummy ) :
  ZetaTransformBody<T,U,size_max>( dummy )
{

  using base = ZetaTransformBody<T,U,size_max>;
  const U& zero = z_U();

  if( base::m_val[0] != zero ){

    for( int i = 0 ; i < base::m_size ; i++ ){

      base::m_val[i] = zero;

    }

  }

}

template <list<int> E(const int&) , list<int> E_inv(const int&) , int size_max> inline ZetaTransform<E,E_inv,size_max>::ZetaTransform( const int& size ) :
  ZetaTransformBody<int,ll,size_max>( size ) ,
  PartiallyOrderedSetForZetaTransform<int,E,E_inv,ll,size_max>()
{}

// template <list<int> E(const int&) , list<int> E_inv(const int&) , int size_max> inline ZetaTransform<E,E_inv,size_max>::ZetaTransform( const int& size , const ll ( &a )[size_max] ) :
template <list<int> E(const int&) , list<int> E_inv(const int&) , int size_max> inline ZetaTransform<E,E_inv,size_max>::ZetaTransform( const int& size , const vector<ll>& a ) :
  ZetaTransformBody<int,ll,size_max>( size ) ,
  PartiallyOrderedSetForZetaTransform<int,E,E_inv,ll,size_max>() ,
  EnumerationForZetaTransform<ll,size_max>()
{

  using base = ZetaTransformBody<int,ll,size_max>;
  
  for( int i = 0 ; i < base::m_size ; i++ ){

    ll& m_val_i = base::m_val[i] = a[i];
    list<int> sub_i = E( i );

    while( ! sub_i.empty() ){

      m_val_i += a[sub_i.front()];
      sub_i.pop_front();

    }

  }

}

template <typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max> inline FastZetaTransform<U,a_U,z_U,m_U,size_max>::FastZetaTransform( const int& digit ) :
  ZetaTransformBody<int,U,size_max>( size ) ,
  SemiRingForZetaTransform<int,U,a_U,z_U,m_U,size_max>( size ) ,
  EnumerationForZetaTransform<U,size_max>() ,
  m_digit( digit )
{}

template <typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max> inline FastZetaTransform<U,a_U,z_U,m_U,size_max>::FastZetaTransform( const int& digit , const U ( &a )[size_max] ) :
  ZetaTransformBody<int,U,size_max>( 1 << digit ) ,
  SemiRingForZetaTransform<int,U,a_U,z_U,m_U,size_max>( size )
{

  using base = ZetaTransformBody<int,U,size_max>;
  
  for( int i = 0 ; i < base::m_size ; i++ ){

    base::m_val[i] = a[i];

  }

  int power = 1;

  for( int d = 0 ; d < m_digit ; d++ , power <<= 1 ){

    for( int i = 0 ; i < base::m_size ; i++ ){

      if( ( i & power ) != 0 ){

	U& m_val_i = base::m_val[i];
	m_val_i = a_U( m_val_i , base::m_val[i ^ power] );

      }
      
    }

  }
  
}

template <typename T , list<T> E(const T&) , list<T> E_inv(const T&) , typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max> inline MemorisationZetaTransform<T,E,E_inv,U,a_U,z_U,m_U,size_max>::MemorisationZetaTransform( const int& size ) :
  ZetaTransformBody<T,U,size_max>( size ) ,
  SemiRingForZetaTransform<T,U,a_U,z_U,m_U,size_max>( size ) ,
  PartiallyOrderedSetForZetaTransform<T,E,E_inv,U,size_max>()
{}

template <typename T , list<T> E(const T&) , list<T> E_inv(const T&) , typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max , T enum_T(const int&) , int enum_T_inv(const T&)> inline EnumerationZetaTransform<T,E,E_inv,U,a_U,z_U,m_U,size_max,enum_T,enum_T_inv>::EnumerationZetaTransform( const int& size ) :
  ZetaTransformBody<T,U,size_max>( size ) ,
  SemiRingForZetaTransform<T,U,a_U,z_U,m_U,size_max>( size ) ,
  PartiallyOrderedSetForZetaTransform<T,E,E_inv,U,size_max>()
{}

template <typename T , typename U , int size_max> inline void ZetaTransformBody<T,U,size_max>::Add( const T& t , const U& u )
{

  list<T> sup = Sup( t );
  sup.push_front( t );

  while( ! sup.empty() ){

    U& m_val_i = m_val[e_inv( sup.front() )];
    m_val_i = Sum( m_val_i , u );
    sup.pop_front();

  }

  return;

}

template <typename T , typename U , int size_max> inline void ZetaTransformBody<T,U,size_max>::AddAll( const U& u )
{

  for( int i = 0 ; i < m_size ; i++ ){

    U& m_val_i = m_val[i];
    m_val_i = Sum( m_val_i , Prod( Sub( e( i ) ).size() , u ) );

  }
  
  return;

}

template <typename T , typename U , int size_max> inline ZetaTransformBody<T,U,size_max>& ZetaTransformBody<T,U,size_max>::operator+=( const ZetaTransformBody<T,U,size_max>& a )
{

  for( int i = 0 ; i < m_size ; i++ ){

    U& m_val_i = m_val[i];
    m_val_i = Sum( m_val_i , a.m_val[i] );

  }
  
  return *this;

}

template <typename T , typename U , int size_max> inline void ZetaTransformBody<T,U,size_max>::MultiplyAll( const U& u )
{

  for( int i = 0 ; i < m_size ; i++ ){

    U& m_val_i = m_val[i];
    m_val_i = Prod( m_val_i , u );
    
  }
  
  return;

}

template <typename T , typename U , int size_max> inline ZetaTransformBody<T,U,size_max>& ZetaTransformBody<T,U,size_max>::operator*=( const ZetaTransformBody<T,U,size_max>& a )
{

  for( int i = 0 ; i < m_size ; i++ ){

    U& m_val_i = m_val[i];
    m_val_i = Prod( m_val_i , a.m_val[i] );

  }
  
  return *this;

}

template <typename T , typename U , int size_max> inline U ZetaTransformBody<T,U,size_max>::Get( const T& t ) { DEFINITION_OF_GET_FOR_ZETA_TRANSFORM( Moevius ); }
template <typename T , typename U , int size_max> template <int mu(const T&,const T&)> inline U ZetaTransformBody<T,U,size_max>::Get( const T& t ) { DEFINITION_OF_GET_FOR_ZETA_TRANSFORM( mu ); }

template <typename T , typename U , int size_max> inline const U& ZetaTransformBody<T,U,size_max>::InitialSegmentSum( const T& t ) { return m_val[e_inv( t )]; }

template <typename T , typename U , int size_max> template <typename S , T f_inv_max(const S&) , list<S> r(const S&)> inline U ZetaTransformBody<T,U,size_max>::InverseImageSum( const S& s ) { DEFINITION_OF_INVERSE_IMAGE_SUM_FOR_ZETA_TRANSFORM( Moevius ); }
template <typename T , typename U , int size_max> template <typename S , T f_inv_max(const S&) , list<S> r(const S&) , int mu(const T&,const T&)> inline U ZetaTransformBody<T,U,size_max>::InverseImageSum( const S& s ) { DEFINITION_OF_INVERSE_IMAGE_SUM_FOR_ZETA_TRANSFORM( mu ); }

template <typename T , typename U , int size_max> template <typename S , T f_inv_max(const S&)> inline const U& ZetaTransformBody<T,U,size_max>::InitialSegmentInverseImageSum( const S& s ) { return m_val[e_inv( f_inv_max( s ) )]; }


template <typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max> inline void FastZetaTransform<U,a_U,z_U,m_U,size_max>::FastMoeviusTransform( U ( &a )[size_max] )
{

  using base = ZetaTransformBody<int,U,size_max>;
  
  for( int i = 0 ; i < base::m_size ; i++ ){

    a[i] = base::m_val[i];

  }

  int power = 1;

  for( int d = 0 ; d < m_digit ; d++ , power <<= 1 ){

    for( int i = 0 ; i < base::m_size ; i++ ){

      if( ( i & power ) != 0 ){

	U& a_i = a[i];
	a_i = a_U( a_i , m_U( -1 , a[i ^ power] ) );

      }
      
    }

  }

}


template <typename T , typename U , int size_max>
T ZetaTransformBody<T,U,size_max>::e( const int& i )
{
  
  assert( i < m_length );
  return m_memory_inv[i];

}

template <typename U , int size_max> inline int EnumerationForZetaTransform<U,size_max>::e( const int& i ) { return i; }
template <typename T , list<T> E(const T&) , list<T> E_inv(const T&) , typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max , T enum_T(const int&) , int enum_T_inv(const T&)> inline T EnumerationZetaTransform<T,E,E_inv,U,a_U,z_U,m_U,size_max,enum_T,enum_T_inv>::e( const int& i ) { return enum_T( i ); }

template <typename T , typename U , int size_max>
int ZetaTransformBody<T,U,size_max>::e_inv( const T& t )
{

  if( m_memory.count( t ) == 0 ){

    assert( m_length < m_size );
    m_memory_inv.push_back( t );
    return m_memory[t] = m_length++;

  }
  
  return m_memory[t];

}

template <typename U , int size_max> inline int EnumerationForZetaTransform<U,size_max>::e_inv( const int& t ) { return t; }
template <typename T , list<T> E(const T&) , list<T> E_inv(const T&) , typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max , T enum_T(const int&) , int enum_T_inv(const T&)> inline int EnumerationZetaTransform<T,E,E_inv,U,a_U,z_U,m_U,size_max,enum_T,enum_T_inv>::e_inv( const T& t ) { return enum_T_inv( t ); }


template <typename T , typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max> inline const U& SemiRingForZetaTransform<T,U,a_U,z_U,m_U,size_max>::Zero() const { return z_U(); }
template <list<int> E(const int&) , list<int> E_inv(const int&) , int size_max> inline const ll& ZetaTransform<E,E_inv,size_max>::Zero() const { static const ll zero = 0; return zero; }

template <typename T , typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max> inline U SemiRingForZetaTransform<T,U,a_U,z_U,m_U,size_max>::Sum( const U& u0 , const U& u1 ) const { return a_U( u0 , u1 ); }
template <list<int> E(const int&) , list<int> E_inv(const int&) , int size_max> inline ll ZetaTransform<E,E_inv,size_max>::Sum( const ll& u0 , const ll& u1 ) const { return u0 + u1; }

template <typename T , typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max> inline U SemiRingForZetaTransform<T,U,a_U,z_U,m_U,size_max>::Prod( const U& u0 , const U& u1 ) const { return m_U( u0 , u1 ); }
template <list<int> E(const int&) , list<int> E_inv(const int&) , int size_max> inline ll ZetaTransform<E,E_inv,size_max>::Prod( const ll& u0 , const ll& u1 ) const { return u0 * u1; }


template <typename T , list<T> E(const T&) , list<T> E_inv(const T&) , typename U , int size_max> inline list<T> PartiallyOrderedSetForZetaTransform<T,E,E_inv,U,size_max>::Sub( const T& t ) const { return E( t ); }
template <typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max> inline list<int> FastZetaTransform<U,a_U,z_U,m_U,size_max>::Sub( const int& t ) const
{

  list<int> sub{};
  sub.push_back( t );
  int sub_size = 1;
  int power = 1;
  
  for( int d = 0 ; d < m_digit ; d++ , power <<= 1 ){

    if( ( t & power ) != 0 ){

      auto itr = sub.begin();

      for( int i = 0 ; i < sub_size ; i++ , itr++ ){

	sub.push_back( *itr ^ power );

      }

      sub_size <<= 1;

    }

  }
  
  return sub;

}


template <typename T , list<T> E(const T&) , list<T> E_inv(const T&) , typename U , int size_max> inline list<T> PartiallyOrderedSetForZetaTransform<T,E,E_inv,U,size_max>::Sup( const T& t ) const { return E_inv( t ); }

template <typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max> inline list<int> FastZetaTransform<U,a_U,z_U,m_U,size_max>::Sup( const int& t ) const
{

  list<int> sup{};
  sup.push_back( t );
  int sup_size = 1;
  int power = 1;
  
  for( int d = 0 ; d < m_digit ; d++ , power <<= 1 ){

    if( ( t & power ) == 0 ){

      auto itr = sup.begin();

      for( int i = 0 ; i < sup_size ; i++ , itr++ ){

	sup.push_back( *itr | power );

      }

      sup_size <<= 1;

    }

  }
  
  return sup;

}


template <typename T , list<T> E(const T&) , list<T> E_inv(const T&) , typename U , int size_max> inline int PartiallyOrderedSetForZetaTransform<T,E,E_inv,U,size_max>::Moevius( const T& t0 , const T& t1 )
{

  using base = ZetaTransformBody<T,U,size_max>;
  const int i = base::e_inv( t0 );
  const int j = base::e_inv( t1 );
  map<int,int>& moevius_t0 = m_moevius[i];
  bool found = moevius_t0.count( j ) == 1;
  int& answer = moevius_t0[j];

  if( ! found ){

    if( i == j ){

      answer = 1;

    } else {

      list<T> sub = E( t1 );

      while( ! sub.empty() ){

	cerr << "メビウス関数のデフォルトの再帰式が呼ばれています。" << endl;
	cerr << "このエラー出力回数が多い場合、再帰深度が深過ぎる可能性があります。" << endl;
	answer -= Moevius( t0 , sub.front() );
	sub.pop_front();

      }

    }

  }

  return answer;

}

template <typename U , U a_U(const U&,const U&) , const U& z_U() , U m_U(const U&,const U&) , int size_max> int FastZetaTransform<U,a_U,z_U,m_U,size_max>::Moevius( const int& t0 , const int& t1 )
{

  int t = t1 ^ t0;
  int count = 0;
  
  while( t != 0 ){

    t -= t & -t;
    count++;

  }
  
  return ( count & 1 ) == 0 ? 1 : -1;

}

template <typename INT , INT val_limit , int length_max> int TwoAryMoeviusFunction( const PrimeEnumeration<INT,val_limit,length_max>& prime , const int& t0 , const int& t1 )
{

  // constexpr int size_max = val_limit * val_limit;
  constexpr int size_max = val_limit;
  static int memory[size_max];
  static bool uninitialised = true;

  if( uninitialised ){

    vector<int> rest( size_max );
    
    for( int n = 0 ; n < size_max ; n++ ){

      memory[n] = 1;
      rest[n] = n;
      
    }

    for( int i = 0 ; i < prime.m_LE ; i++ ){

      const INT& p_i = prime.m_val[i];
      int n = 0;

      while( ( n += p_i ) < size_max ){
	
	int& rest_n = rest[n] /= p_i;
	memory[n] *= ( rest_n % p_i == 0 ? 0 : -1 );

      }
      
    }

    for( int n = val_limit ; n < size_max ; n++ ){

      if( rest[n] != 1 ){

	memory[n] *= -1;

      }
      
    }

    uninitialised = false;

  }

  assert( t1 % t0 == 0 );
  return memory[ t1 / t0 ];

}

inline PrimeEnumeration<int,300000,300000> prime{};
inline CEXPR( int , bound_N , 300000 ); // 0が5個
list<int> divisor[bound_N+1] = {};
inline list<int> E(const int& i ) { return divisor[i]; }
inline list<int> E_inv(const int&) { return list<int>(); } // 使わない
inline int mu( const int& n , const int& m ) { return TwoAryMoeviusFunction( prime , n , m ); }

ll f( const int& N , const ll& N2 , const ll& m )
{
  // ll A[bound_N + 1];
  // vector<ll> A( bound_N + 1 );
  // FOREQ( i , 1 , N ){
  //   A[i] = m * i / N2;
  // }
  // ZetaTransform<E,E_inv,bound_N + 1> zt{ N + 1 , A };
  START_WATCH( "construct zt" );
  vector<ll> zt( bound_N + 1 );
  FOREQ( i , 1 , N ){
    zt[i] = m * i / N2;
  }
  FOR( i , 0 , prime.m_LE ){
    const int& p_i = prime.m_val[i];
    FOREQINV( n , N / p_i , 0 ){
      zt[n * p_i] -= zt[n];
    }
  }
  STOP_WATCH();
  START_WATCH( "compute answer" );
  ll answer = 0;
  FOREQ( i , 1 , N ){
    // answer += f.Get<mu>( i );
    answer += zt[i];
  }
  STOP_WATCH();
  return answer;
}

int main()
{
  UNTIE;
  LIBRARY_SEARCH;

  CEXPR( int , bound_T , 15000 );
  CIN_ASSERT( T , 1 , bound_T );
  static ll euler_sum[bound_N + 1];
  MemoriseEulerFunction( prime , euler_sum );
  FOREQ( i , 2 , bound_N ){
    euler_sum[i] += euler_sum[i-1];
  }
  MemoriseEnumerateDivisor( divisor );
  FOREQ( i , 1 , bound_N ){
    divisor[i].pop_back();
  }
  REPEAT( T ){
    CIN_ASSERT( N , 1 , bound_N );
    ll N2 = ll( N ) * N;
    CIN_ASSERT( K , 1 , N2 );
    ll& M = euler_sum[N];
    if( K == M ){
      COUT( "1/1" );
      continue;
    }
    if( K >= M * 2 ){
      COUT( -1 );
      continue;
    }
    bool over = K > M;
    if( over ){
      K = M * 2 - K;
    }
    BS1( m , 0 , N2 - 1 , f( N , N2 , m ) , K );
    FOREQ( q , 1 , N ){
      int p = q * m / N2;
      if( p > q * ( m - 1 ) / N2 ){
	if( over ){
	  swap( p , q );
	}
	COUT( p << "/" << q );
	break;
      }
    }
  }
  
  // CEXPR( int , bound_N , 1000000000 ); // 0が9個
  // CEXPR( ll , bound_N , 1000000000000000000 ); // 0が18個

  // CEXPR( int , bound_M , 100000 ); // 0が5個
  // // CEXPR( int , bound_M , 1000000000 ); // 0が9個
  // // CEXPR( ll , bound_M , 1000000000000000000 ); // 0が18個
  // CIN_ASSERT( M , 0 , bound_M );
  
  // CEXPR( ll , P , 998244353 );
  // CEXPR( ll , P , 1000000007 );

  // CEXPR( int , bound_Q , 100000 );
  // CIN_ASSERT( Q , 1 , bound_Q );
  // REPEAT( Q ){
  //   COUT( N );
  // }

  // RETURN( N );
  QUIT;
}