#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vvvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vvvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620; double EPS = 1e-15; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 #define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; #ifdef _MSC_VER #include "localACL.hpp" #endif //using mint = modint1000000007; using mint = modint998244353; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); namespace atcoder { inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; using vvvvm = vector; #endif #ifdef _MSC_VER // 手元環境(Visual Studio) #include "local.hpp" #else // 提出用(gcc) inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_mat(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif //【階乗など(法が大きな素数)】 /* * Factorial_mint(int N) : O(n) * N まで計算可能として初期化する. * * mint fact(int n) : O(1) * n! を返す. * * mint fact_inv(int n) : O(1) * 1/n! を返す(n が負なら 0 を返す) * * mint inv(int n) : O(1) * 1/n を返す. * * mint perm(int n, int r) : O(1) * 順列の数 nPr を返す. * * mint bin(int n, int r) : O(1) * 二項係数 nCr を返す. * * mint mul(vi rs) : O(|rs|) * 多項係数 nC[rs] を返す.(n = Σrs) */ class Factorial_mint { int n_max; // 階乗と階乗の逆数の値を保持するテーブル vm fac, fac_inv; public: // n! までの階乗とその逆数を前計算しておく.O(n) Factorial_mint(int n) : n_max(n), fac(n + 1), fac_inv(n + 1) { // verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b fac[0] = 1; repi(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i; fac_inv[n] = fac[n].inv(); repir(i, n - 1, 0) fac_inv[i] = fac_inv[i + 1] * (i + 1); } Factorial_mint() : n_max(0) {} // ダミー // n! を返す. mint fact(int n) const { // verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b Assert(0 <= n && n <= n_max); return fac[n]; } // 1/n! を返す(n が負なら 0 を返す) mint fact_inv(int n) const { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc289/tasks/abc289_h Assert(n <= n_max); if (n < 0) return 0; return fac_inv[n]; } // 1/n を返す. mint inv(int n) const { // verify : https://atcoder.jp/contests/exawizards2019/tasks/exawizards2019_d Assert(0 < n && n <= n_max); return fac[n - 1] * fac_inv[n]; } // 順列の数 nPr を返す. mint perm(int n, int r) const { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc172/tasks/abc172_e Assert(n <= n_max); if (r < 0 || n - r < 0) return 0; return fac[n] * fac_inv[n - r]; } // 二項係数 nCr を返す. mint bin(int n, int r) const { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc034/tasks/abc034_c Assert(n <= n_max); if (r < 0 || n - r < 0) return 0; return fac[n] * fac_inv[r] * fac_inv[n - r]; } // 多項係数 nC[rs] を返す. mint mul(const vi& rs) const { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2141 if (*min_element(all(rs)) < 0) return 0; int n = accumulate(all(rs), 0); Assert(n <= n_max); mint res = fac[n]; repe(r, rs) res *= fac_inv[r]; return res; } }; //【下位メビウス変換(大きさ依存, mod 998244353)】O(N log N) /* * [0..N) 上の集合関数 f(S) が S の大きさ |S| のみに依存する関数を用いて * f(S) = f[|S|] * と書けるとする.このとき f(S) の下位集合からの累積和 * g(S) = ΣT⊂S f(T) (S : [0..N) の部分集合) * もまた * g(S) = g[|S|] * と書ける.与えられた g[0..N] に対応する f[0..N] を返す. * * 具体的には * f[n] = Σk∈[0..n] (-1)^(n-k) bin(n,k) g[k] * で表される. * * 制約:fm は N! まで計算可能 */ vm set_submobius_size(vm g, const Factorial_mint& fm) { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc217/tasks/abc217_g //【方法】 // メビウス変換の式を変形すると, // f[n] = n! Σk∈[0..n] ((-1)^(n-k) / (n-k)!) (g[k] / k!) // となるので,畳込みで高速に計算できる. int N = sz(g) - 1; repi(n, 0, N) g[n] *= fm.fact_inv(n); vm coef(N + 1); repi(n, 0, N) coef[n] = (n % 2 ? -1 : 1) * fm.fact_inv(n); // coef と g を畳み込んで下側を取得する. vm f = convolution(coef, g); f.resize(N + 1); repi(n, 0, N) f[n] *= fm.fact(n); return f; } mint solve(int n, int m, int k, string s) { while (sz(s) <= m) s += 'a' - 1; Factorial_mint fm((int)1e6); vb used(26); mint res = 0; rep(i, m) { dump("---", i, "---"); // s[i] より小さい文字を使う場合 mint c0, c1; rep(t, s[i] - 'a') { if (used[t]) c1++; else c0++; } dump(c0, c1); int pc = 0; rep(t, 26) pc += used[t]; dump(pc); if (pc >= k && s[i] != 'a' - 1) { res++; } dump(res); { vm g(26); rep(t, 26) { if (t + pc == 0) g[t] = 1; else if (t + pc == 1) g[t] = m - i; else g[t] = (mint(t + pc).pow(m - i) - 1) * fm.inv(t + pc - 1); } dump(g); auto f = set_submobius_size(g, fm); dump(f); vm f_acc(27); repir(t, 25, 0) f_acc[t] = f_acc[t + 1] + f[t] * fm.bin(26 - pc, t); dump(f_acc); res += c1 * f_acc[max(k - pc, 0)]; } dump(res); { vm g(26); rep(t, 26) { if (t + pc == 0) g[t] = m - i; else g[t] = (mint(t + pc + 1).pow(m - i) - 1) * fm.inv(t + pc); } dump(g); auto f = set_submobius_size(g, fm); dump(f); vm f_acc(27); repir(t, 25, 0) f_acc[t] = f_acc[t + 1] + f[t] * fm.bin(26 - pc - 1, t); dump(f_acc); res += c0 * f_acc[max(k - pc - 1, 0)]; } dump(res); // 以降は s[i] と同じ文字を使う場合を考えればいい. if (s[i] != 'a' - 1) used[s[i] - 'a'] = 1; else break; } return res; } //【任意文字列の列挙】O(n |cs|^n) /* * 文字集合 cs の要素からなる長さ n の文字列全てを格納したリストを返す. */ vector enumerate_all_strings(int n, const string& cs) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/3015 vector strs; string s; // l : 長さ function rf = [&](int l) { // 長さが n の場合は記録 if (l == n) { strs.push_back(s); return; } // c : s[l] repe(c, cs) { s.push_back(c); rf(l + 1); s.pop_back(); } }; rf(0); return strs; } mint naive(int n, int m, int k, string s) { string al; rep(i, 26) al += 'a' + i; mint res; repi(mm, 1, m) { auto strs = enumerate_all_strings(mm, al); repe(str, strs) { if (str >= s) continue; auto tmp(str); uniq(tmp); if (sz(tmp) >= k) res++; } } return res; } void bug_find() { #ifdef _MSC_VER // 合わない入力例を見つける. mt19937_64 mt; mt.seed((int)time(NULL)); uniform_int_distribution rnd(0LL, 1LL << 62); mute_dump = true; rep(hoge, 100) { int m = rnd(mt) % 3 + 1; int n = rnd(mt) % m + 1; int k = rnd(mt) % 3 + 1; string s; rep(i, n) s += 'a' + rnd(mt) % 5; // dump(m, n, k); dump(s); auto res_naive = naive(n, m, k, s); auto res_solve = solve(n, m, k, s); if (res_naive != res_solve) { cout << "----------error!----------" << endl; cout << "input:" << endl; cout << n << " " << m << " "<< k << endl; cout << s << endl; cout << "results:" << endl; cout << res_naive << endl; cout << res_solve << endl; cout << "--------------------------" << endl; } } mute_dump = false; exit(0); #endif } /* ----------error!---------- input: 2 2 1 aa results: 1 0 -------------------------- */ int main() { input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); bug_find(); int n, m, k; string s; cin >> n >> m >> k >> s; dump(naive(n, m, k, s)); dump("----"); cout << solve(n, m, k, s) << endl; }