#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vvvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vvvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620; double EPS = 1e-15; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 #define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; #ifdef _MSC_VER #include "localACL.hpp" #endif //using mint = modint1000000007; using mint = modint998244353; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); namespace atcoder { inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; using vvvvm = vector; #endif #ifdef _MSC_VER // 手元環境(Visual Studio) #include "local.hpp" #else // 提出用(gcc) inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_mat(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif //【行列】 /* * Matrix(int n, int m) : O(n m) * n×m 零行列で初期化する. * * Matrix(int n) : O(n^2) * n×n 単位行列で初期化する. * * Matrix(vvT a) : O(n m) * 二次元配列 a[0..n)[0..m) の要素で初期化する. * * bool empty() : O(1) * 行列が空かを返す. * * A + B : O(n m) * n×m 行列 A, B の和を返す.+= も使用可. * * A - B : O(n m) * n×m 行列 A, B の差を返す.-= も使用可. * * c * A / A * c : O(n m) * n×m 行列 A とスカラー c のスカラー積を返す.*= も使用可. * * A * x : O(n m) * n×m 行列 A と n 次元列ベクトル x の積を返す. * * x * A : O(n m) * m 次元行ベクトル x と n×m 行列 A の積を返す. * * A * B : O(n m l) * n×m 行列 A と m×l 行列 B の積を返す. * * Mat pow(ll d) : O(n^3 log d) * 自身を d 乗した行列を返す. */ template struct Matrix { int n, m; // 行列のサイズ(n 行 m 列) vector> v; // 行列の成分 // n×m 零行列で初期化する. Matrix(int n, int m) : n(n), m(m), v(n, vector(m)) {} // n×n 単位行列で初期化する. Matrix(int n) : n(n), m(n), v(n, vector(n)) { rep(i, n) v[i][i] = T(1); } // 二次元配列 a[0..n)[0..m) の要素で初期化する. Matrix(const vector>& a) : n(sz(a)), m(sz(a[0])), v(a) {} Matrix() : n(0), m(0) {} // 代入 Matrix(const Matrix&) = default; Matrix& operator=(const Matrix&) = default; // アクセス inline vector const& operator[](int i) const { return v[i]; } inline vector& operator[](int i) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/matrix_product // inline を付けて [] でアクセスするとなぜか v[] への直接アクセスより速くなった. return v[i]; } // 入力 friend istream& operator>>(istream& is, Matrix& a) { rep(i, a.n) rep(j, a.m) is >> a.v[i][j]; return is; } // 空か bool empty() const { return min(n, m) == 0; } // 比較 bool operator==(const Matrix& b) const { return n == b.n && m == b.m && v == b.v; } bool operator!=(const Matrix& b) const { return !(*this == b); } // 加算,減算,スカラー倍 Matrix& operator+=(const Matrix& b) { rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] += b[i][j]; return *this; } Matrix& operator-=(const Matrix& b) { rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] -= b[i][j]; return *this; } Matrix& operator*=(const T& c) { rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] *= c; return *this; } Matrix operator+(const Matrix& b) const { return Matrix(*this) += b; } Matrix operator-(const Matrix& b) const { return Matrix(*this) -= b; } Matrix operator*(const T& c) const { return Matrix(*this) *= c; } friend Matrix operator*(const T& c, const Matrix& a) { return a * c; } Matrix operator-() const { return Matrix(*this) *= T(-1); } // 行列ベクトル積 : O(m n) vector operator*(const vector& x) const { vector y(n); rep(i, n) rep(j, m) y[i] += v[i][j] * x[j]; return y; } // ベクトル行列積 : O(m n) friend vector operator*(const vector& x, const Matrix& a) { vector y(a.m); rep(i, a.n) rep(j, a.m) y[j] += x[i] * a[i][j]; return y; } // 積:O(n^3) Matrix operator*(const Matrix& b) const { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/matrix_product Matrix res(n, b.m); rep(i, res.n) rep(j, res.m) rep(k, m) res[i][j] += v[i][k] * b[k][j]; return res; } Matrix& operator*=(const Matrix& b) { *this = *this * b; return *this; } // 累乗:O(n^3 log d) Matrix pow(ll d) const { Matrix res(n), pow2 = *this; while (d > 0) { if (d & 1) res *= pow2; pow2 *= pow2; d /= 2; } return res; } #ifdef _MSC_VER friend ostream& operator<<(ostream& os, const Matrix& a) { rep(i, a.n) { os << "["; rep(j, a.m) os << a[i][j] << " ]"[j == a.m - 1]; if (i < a.n - 1) os << "\n"; } return os; } #endif }; //【線形方程式】O(n m min(n, m)) /* * 与えられた n×m 行列 A と n 次元ベクトル b に対し, * 線形方程式 A x = b の特殊解 x0(m 次元ベクトル)を返す(なければ空リスト) * また同次形 A x = 0 の解空間の基底(m 次元ベクトル)のリストを xs に格納する. */ template vector gauss_jordan_elimination(const Matrix& A, const vector& b, vector>* xs = nullptr) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/system_of_linear_equations int n = A.n, m = A.m; // v : 拡大係数行列 (A | b) vector> v(n, vector(m + 1)); rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] = A[i][j]; rep(i, n) v[i][m] = b[i]; // pivots[i] : 第 i 行のピボットが第何列にあるか vi pivots; // 注目位置を v[i][j] とする. int i = 0, j = 0; while (i < n && j <= m) { // 注目列の下方の行から非 0 成分を見つける. int i2 = i; while (i2 < n && v[i2][j] == 0) i2++; // 見つからなかったら注目位置を右に移す. if (i2 == n) { j++; continue; } // 見つかったら第 i 行とその行を入れ替える. if (i != i2) swap(v[i], v[i2]); // v[i][j] をピボットに選択する. pivots.push_back(j); // v[i][j] が 1 になるよう第 i 行全体を v[i][j] で割る. T vij_inv = T(1) / v[i][j]; repi(j2, j, m) v[i][j2] *= vij_inv; // 第 i 行以外の第 j 列の成分が全て 0 になるよう第 i 行を定数倍して減じる. rep(i2, n) { if (v[i2][j] == T(0) || i2 == i) continue; T mul = v[i2][j]; repi(j2, j, m) v[i2][j2] -= v[i][j2] * mul; } // 注目位置を右下に移す. i++; j++; } // 最後に見つかったピボットの位置が第 m 列ならば解なし. if (!pivots.empty() && pivots.back() == m) return vector(); // A x = b の特殊解 x0 の構成(任意定数は全て 0 にする) vector x0(m); int rnk = sz(pivots); rep(i, rnk) x0[pivots[i]] = v[i][m]; // 同次形 A x = 0 の一般解 {x} の基底の構成(任意定数を 1-hot にする) if (xs != nullptr) { xs->clear(); int i = 0; rep(j, m) { if (i < rnk && j == pivots[i]) { i++; continue; } vector x(m, T(0)); x[j] = 1; rep(i2, i) x[pivots[i2]] = -v[i2][j]; xs->emplace_back(move(x)); } } return x0; } //【階段行列】O(n^2 m) /* * 行基本変形で n×m 行列 mat を階段行列に変形する. * 最も右下のピボットの位置 (i, j) を返す.零行列なら (-1, -1) を返す. */ template pii reduced_row_echelon_form(Matrix& mat) { int n = mat.n, m = mat.m; auto& v = mat.v; // 直前に見つけたピボットの位置 int pi = -1, pj = -1; // 注目位置を (i, j)(i 行目かつ j 列目)とする. int i = 0, j = 0; while (i < n && j < m) { // 同じ列の下方の行から非 0 成分を見つける. int i2 = i; while (i2 < n && v[i2][j] == 0) i2++; // 見つからなかったら注目位置を右に移す. if (i2 == n) { j++; continue; } // 見つかったら第 i 行とその行を入れ替える. pi = i; pj = j; if (i != i2) swap(v[i], v[i2]); // v[i][j] が 1 になるよう行全体を v[i][j] で割る. T vij_inv = T(1) / v[i][j]; repi(j2, j, m - 1) v[i][j2] *= vij_inv; // v[i][j] より下方の行の成分が全て 0 になるよう i 行目を定数倍して減じる. repi(i2, i + 1, n - 1) { T mul = v[i2][j]; repi(j2, j, m - 1) v[i2][j2] -= v[i][j2] * mul; } // 注目位置を右下に移す. i++; j++; } return { pi, pj }; } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); int l, m, n; cin >> l >> m >> n; Matrix a(l, m), b(m, n); cin >> a >> b; vm zero(l, 0); vvm xs; // m 次元ベクトル auto x0 = gauss_jordan_elimination(a, zero, &xs); dump(x0); dumpel(xs); Matrix bT(n, m); rep(i, m) rep(j, n) bT[j][i] = b[i][j]; dump(bT); auto [pi, pj] = reduced_row_echelon_form(bT); dump(pi, pj); dump(bT); int h1 = sz(xs), h2 = pi + 1; dump(h1, h2); if (h1 != h2) EXIT("No"); repe(x, xs) { bT.v.push_back(x); bT.n++; } dump(bT); auto [pi2, pj2] = reduced_row_echelon_form(bT); dump(pi2, pj2); dump(bT); if (pi != pi2) EXIT("No"); Yes(1); }