#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vvvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vvvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620; double EPS = 1e-15; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 #define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; #ifdef _MSC_VER #include "localACL.hpp" #endif //using mint = modint1000000007; //using mint = modint998244353; using mint = modint; // mint::set_mod(mod); //using mint = static_modint<924844033>; namespace atcoder { inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; using vvvvm = vector; #endif #ifdef _MSC_VER // 手元環境(Visual Studio) #include "local.hpp" #else // 提出用(gcc) inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_mat(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif //【正方行列(固定サイズ)】 /* * Fixed_matrix() : O(n^2) * T の要素を成分にもつ n×n 零行列で初期化する. * * Fixed_matrix(bool identity = true) : O(n^2) * T の要素を成分にもつ n×n 単位行列で初期化する. * * Fixed_matrix(vvT a) : O(n^2) * 二次元配列 a[0..n)[0..n) の要素で初期化する. * * A + B : O(n^2) * n×n 行列 A, B の和を返す.+= も使用可. * * A - B : O(n^2) * n×n 行列 A, B の差を返す.-= も使用可. * * c * A / A * c : O(n^2) * n×n 行列 A とスカラー c のスカラー積を返す.*= も使用可. * * A * x : O(n^2) * n×n 行列 A と n 次元列ベクトル array x の積を返す. * * x * A : O(n^2) * n 次元行ベクトル array x と n×n 行列 A の積を返す. * * A * B : O(n^3) * n×n 行列 A と n×n 行列 B の積を返す. * * Mat pow(ll d) : O(n^3 log d) * 自身を d 乗した行列を返す. */ template struct Fixed_matrix { array, n> v; // 行列の成分 // n×n 零行列で初期化する.identity = true なら n×n 単位行列で初期化する. Fixed_matrix(bool identity = false) { rep(i, n) v[i].fill(T(0)); if (identity) rep(i, n) v[i][i] = T(1); } // 二次元配列 a[0..n)[0..n) の要素で初期化する. Fixed_matrix(const vector>& a) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/1000 Assert(sz(a) == n && sz(a[0]) == n); rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] = a[i][j]; } // 代入 Fixed_matrix(const Fixed_matrix&) = default; Fixed_matrix& operator=(const Fixed_matrix&) = default; // アクセス inline array const& operator[](int i) const { return v[i]; } inline array& operator[](int i) { return v[i]; } // 入力 friend istream& operator>>(istream& is, Fixed_matrix& a) { rep(i, n) rep(j, n) is >> a[i][j]; return is; } // 比較 bool operator==(const Fixed_matrix& b) const { return v == b.v; } bool operator!=(const Fixed_matrix& b) const { return !(*this == b); } // 加算,減算,スカラー倍 Fixed_matrix& operator+=(const Fixed_matrix& b) { rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] += b[i][j]; return *this; } Fixed_matrix& operator-=(const Fixed_matrix& b) { rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] -= b[i][j]; return *this; } Fixed_matrix& operator*=(const T& c) { rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] *= c; return *this; } Fixed_matrix operator+(const Fixed_matrix& b) const { return Fixed_matrix(*this) += b; } Fixed_matrix operator-(const Fixed_matrix& b) const { return Fixed_matrix(*this) -= b; } Fixed_matrix operator*(const T& c) const { return Fixed_matrix(*this) *= c; } friend Fixed_matrix operator*(const T& c, const Fixed_matrix& a) { return a * c; } Fixed_matrix operator-() const { return Fixed_matrix(*this) *= T(-1); } // 行列ベクトル積 : O(n^2) array operator*(const array& x) const { array y{ 0 }; rep(i, n) rep(j, n) y[i] += v[i][j] * x[j]; return y; } // ベクトル行列積 : O(n^2) friend array operator*(const array& x, const Fixed_matrix& a) { array y{ 0 }; rep(i, n) rep(j, n) y[j] += x[i] * a[i][j]; return y; } // 積:O(n^3) Fixed_matrix operator*(const Fixed_matrix& b) const { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/1000 Fixed_matrix res; rep(i, n) rep(j, n) rep(k, n) res[i][j] += v[i][k] * b[k][j]; return res; } Fixed_matrix& operator*=(const Fixed_matrix& b) { *this = *this * b; return *this; } // 累乗:O(n^3 log d) Fixed_matrix pow(ll d) const { Fixed_matrix res(true), pow2(*this); while (d > 0) { if (d & 1) res *= pow2; pow2 *= pow2; d /= 2; } return res; } #ifdef _MSC_VER friend ostream& operator<<(ostream& os, const Fixed_matrix& a) { rep(i, n) { os << "["; rep(j, n) os << a[i][j] << " ]"[j == n - 1]; if (i < n - 1) os << "\n"; } return os; } #endif }; //【離散対数問題(M-集合)】O(√N) /* * f^n s = t を満たす N 未満の最小の非負整数 n を返す(存在しなければ INFL) * f[s,t] は M-集合 (S, F, act, comp, id) の F[S,S] の元とする. * HASH はハッシュ関数 size_t operator()(const S& p) の定義された関数オブジェクトとする. */ template ll discrete_logarithm(const F& f, const S& s, const S& t, ll N) { // 参考 : https://maspypy.com/%e3%83%a2%e3%83%8e%e3%82%a4%e3%83%89%e4%bd%9c%e7%94%a8%e3%81%ab%e9%96%a2%e3%81%99%e3%82%8b%e9%9b%a2%e6%95%a3%e5%af%be%e6%95%b0%e5%95%8f%e9%a1%8c // verify : https://atcoder.jp/contests/utpc2014/tasks/utpc2014_k int m = (int)(sqrt(N) + 1e-12) + 1; // T : {f^i t | i∈[1..m]} unordered_set T; S f_t(t); repi(i, 1, m) { // f_t : f^i t f_t = act(f, f_t); if (T.count(f_t)) break; T.insert(f_t); } // fm : f^m F fm(id()), pow2 = f; int m_tmp(m); while (m_tmp > 0) { if ((m_tmp & 1) != 0) fm = comp(fm, pow2); pow2 = comp(pow2, pow2); m_tmp /= 2; } S fm_s_bak(s); int fail_cnt = 0; repi(k, 1, m) { // fm_s : f^(m k) s, fm_s_bak : f^(m (k-1)) s S fm_s = act(fm, fm_s_bak); // f^(m k) s ∈ T となったなら,∃i∈[0..m), f^(m (k-1) + i) s = t となることが期待される. if (T.count(fm_s)) { S f_s(fm_s_bak); // f^(m (k-1) + i) s = t となっているかを全て調べる. rep(i, m) { // f_s : f^(m (k-1) + i) s if (f_s == t) return (ll)m * (k - 1) + i; f_s = act(f, f_s); } // t → f t なる有向辺をもった functional graph S を考える. // 先の手続きに失敗したとしても,いま初めて t を含むループに s から合流してきた可能性が残されている. // だがもしもう一度失敗したならば,t がループに含まれていないことを意味するので非存在が確定する. if (++fail_cnt == 2) return INFL; } fm_s_bak = fm_s; } return INFL; } //【行列乗算 左作用付き 行列 集合】 constexpr int NB14 = 2; using TB14 = mint; using SB14 = Fixed_matrix; using FB14 = SB14; SB14 actB14(FB14 f, SB14 x) { return f * x; } FB14 compB14(FB14 f, FB14 g) { return f * g; } FB14 idB14() { return Fixed_matrix(1); } #define MatrixLMul_Matrix_mset SB14, FB14, actB14, compB14, idB14 //【ハッシュ(unordered 用)】 /* * unordered_set[map] の第二[三] 引数に Hash を渡して使う. */ struct Hash { // 参考 : https://qiita.com/ganyariya/items/df35d253726269bda436 // verify : https://yukicoder.me/problems/no/1648 // pair の場合の例 size_t operator()(const SB14& p) const { auto hash1 = hash{}(p[0][0].val()); auto hash2 = hash{}(p[0][1].val()); auto hash3 = hash{}(p[1][0].val()); auto hash4 = hash{}(p[1][1].val()); size_t seed = 0; seed ^= hash1 + 0x9e3779b9 + (seed << 6) + (seed >> 2); seed ^= hash2 + 0x9e3779b9 + (seed << 6) + (seed >> 2); seed ^= hash3 + 0x9e3779b9 + (seed << 6) + (seed >> 2); seed ^= hash4 + 0x9e3779b9 + (seed << 6) + (seed >> 2); return seed; } }; void WA() { int p; cin >> p; mint::set_mod(p); SB14 a, b; cin >> a >> b; if (a == SB14(0)) { if (b == SB14(0)) EXIT(1); EXIT(-1); } // n ≦ p^2 なのでこれでは足りていない ll n = discrete_logarithm(a, a, b, (ll)1e12); if (n == INFL) n = -1; else n++; cout << n << endl; } //【離散対数問題(法が素数)】O(√p) /* * a^x ≡ b (mod p) の最小解 x >= 0 を返す.(なければ INF) * * 制約 : p = mint::mod() は素数 * *(baby-step giant-step) */ int log_mint(mint a, mint b) { // 参考:https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/baby-step-giant-step.html // verify : https://yukicoder.me/problems/no/981 //【方法】 // m = ceil(√p),r = a^(-m) とおく. // // まず x∈[0..m) について a^x を計算した集合 S を得る.(計算量 O(m)) // S の中に b に一致するものがあればそれでよい. // なかった場合は x >= m であることが確定する. // // 次に解くべき方程式 // a^x = b // の両辺に r = a^(-m) を掛けて // a^(x-m) = b r // とする. // もし S の中に b r に一致するものがあれば,そこから x-m が分かり, // その結果に m を加えたものが求める x の値である. // なかった場合は x >= 2 m であることが確定する. // // この調子で S の中に b, b r, b r^2, ... があるかどうかを調べていく. // a^(mod - 1) = 1 なので,同様のステップは高々 m 回で終了する. // 各回の S へのアクセスが O(1) で行えるなら,全体計算量は O(m) である. int m = (int)(ceil(sqrt(mint::mod())) + 1); // a = 0 の場合の例外処理 if (a == 0) { if (b == 0) return 1; // 0^0 = 1 とする. else return -1; } // loga[a^i] = i を計算しておく. unordered_map loga; mint a_pow = a.pow(m), a_inv = a.inv(); repir(i, m - 1, 0) { a_pow *= a_inv; loga[a_pow.val()] = i; } // r = a^(-m) mint r = a_inv.pow(m); // 方程式の両辺に r = a^(-m) を掛けながら解を探していく. rep(i, m) { if (loga.count(b.val())) { return m * i + loga[b.val()]; } b *= r; } // 見つからなかったら INF を返す. return INF; } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); int p; cin >> p; mint::set_mod(p); SB14 a, b; cin >> a >> b; if (a == SB14(0)) { if (b == SB14(0)) EXIT(1); EXIT(-1); } mint det_a = a[0][0] * a[1][1] - a[0][1] * a[1][0]; mint det_b = b[0][0] * b[1][1] - b[0][1] * b[1][0]; dump(det_a, det_b); if (det_a == 0) { ll n = discrete_logarithm(a, a, b, (ll)1e12); if (n == INFL) EXIT(-1); EXIT(n + 1); } int n0 = log_mint(det_a, det_b); if (n0 == INF) EXIT(-1); int nc = log_mint(det_a, det_a.inv()) + 1; if (n0 == 0) n0 += nc; dump(n0, nc); SB14 S = a.pow(n0); SB14 F = a.pow(nc); dump(S); dump(F); ll k = discrete_logarithm(F, S, b, (ll)1e12); if (k == INFL) EXIT(-1); dump(k); ll n = n0 + k * nc; cout << n << endl; }