use std::io::Read; fn get_word() -> String { let stdin = std::io::stdin(); let mut stdin=stdin.lock(); let mut u8b: [u8; 1] = [0]; loop { let mut buf: Vec = Vec::with_capacity(16); loop { let res = stdin.read(&mut u8b); if res.unwrap_or(0) == 0 || u8b[0] <= b' ' { break; } else { buf.push(u8b[0]); } } if buf.len() >= 1 { let ret = String::from_utf8(buf).unwrap(); return ret; } } } fn get() -> T { get_word().parse().ok().unwrap() } /// Verified by https://atcoder.jp/contests/abc198/submissions/21774342 mod mod_int { use std::ops::*; pub trait Mod: Copy { fn m() -> i64; } #[derive(Copy, Clone, Hash, PartialEq, Eq, PartialOrd, Ord)] pub struct ModInt { pub x: i64, phantom: ::std::marker::PhantomData } impl ModInt { // x >= 0 pub fn new(x: i64) -> Self { ModInt::new_internal(x % M::m()) } fn new_internal(x: i64) -> Self { ModInt { x: x, phantom: ::std::marker::PhantomData } } pub fn pow(self, mut e: i64) -> Self { debug_assert!(e >= 0); let mut sum = ModInt::new_internal(1); let mut cur = self; while e > 0 { if e % 2 != 0 { sum *= cur; } cur *= cur; e /= 2; } sum } #[allow(dead_code)] pub fn inv(self) -> Self { self.pow(M::m() - 2) } } impl Default for ModInt { fn default() -> Self { Self::new_internal(0) } } impl>> Add for ModInt { type Output = Self; fn add(self, other: T) -> Self { let other = other.into(); let mut sum = self.x + other.x; if sum >= M::m() { sum -= M::m(); } ModInt::new_internal(sum) } } impl>> Sub for ModInt { type Output = Self; fn sub(self, other: T) -> Self { let other = other.into(); let mut sum = self.x - other.x; if sum < 0 { sum += M::m(); } ModInt::new_internal(sum) } } impl>> Mul for ModInt { type Output = Self; fn mul(self, other: T) -> Self { ModInt::new(self.x * other.into().x % M::m()) } } impl>> AddAssign for ModInt { fn add_assign(&mut self, other: T) { *self = *self + other; } } impl>> SubAssign for ModInt { fn sub_assign(&mut self, other: T) { *self = *self - other; } } impl>> MulAssign for ModInt { fn mul_assign(&mut self, other: T) { *self = *self * other; } } impl Neg for ModInt { type Output = Self; fn neg(self) -> Self { ModInt::new(0) - self } } impl ::std::fmt::Display for ModInt { fn fmt(&self, f: &mut ::std::fmt::Formatter) -> ::std::fmt::Result { self.x.fmt(f) } } impl ::std::fmt::Debug for ModInt { fn fmt(&self, f: &mut ::std::fmt::Formatter) -> ::std::fmt::Result { let (mut a, mut b, _) = red(self.x, M::m()); if b < 0 { a = -a; b = -b; } write!(f, "{}/{}", a, b) } } impl From for ModInt { fn from(x: i64) -> Self { Self::new(x) } } // Finds the simplest fraction x/y congruent to r mod p. // The return value (x, y, z) satisfies x = y * r + z * p. fn red(r: i64, p: i64) -> (i64, i64, i64) { if r.abs() <= 10000 { return (r, 1, 0); } let mut nxt_r = p % r; let mut q = p / r; if 2 * nxt_r >= r { nxt_r -= r; q += 1; } if 2 * nxt_r <= -r { nxt_r += r; q -= 1; } let (x, z, y) = red(nxt_r, r); (x, y - q * z, z) } } // mod mod_int macro_rules! define_mod { ($struct_name: ident, $modulo: expr) => { #[derive(Copy, Clone, PartialEq, Eq, PartialOrd, Ord, Hash)] pub struct $struct_name {} impl mod_int::Mod for $struct_name { fn m() -> i64 { $modulo } } } } const MOD: i64 = 998_244_353; define_mod!(P, MOD); type MInt = mod_int::ModInt

; fn gcd(mut a: i64, mut b: i64) -> i64 { while b != 0 { let r = a % b; a = b; b = r; } a } // https://yukicoder.me/problems/no/2487 (3.5) // 包除原理を使う。f(S) := (0 <= A_i <= M-1, ただし x in S のとき A_x = 0 が確定としたときの値) とする。 // m = min U\S としたとき、その m に対する f(S)(-1)^{|S|} の和は (-1)^m(M-1)^{N-1-m}M/x_m である。 // ただし x_i は x_0 = M, x_{i+1} = x_i/gcd(x_i, K) で定まる数列である。 // ほとんどの x_m の値は等しく、x_m の値がすべて等しいと仮定すれば // \sum_{0 <= m <= N-1} (-1)^m(M-1)^{N-1-m}M は (M-2)^{N-1}M として簡単に計算できる。 // よってこれを利用し、x_m の値が定常状態と違うもの全てに対して (-1)^m(M-1)^{N-1-m}M/x_m を計算すれば良い。 // なお、S = U のときは min U\S は存在しないので、これも数えなければならない。f(U) = 1 である。 // -> (-1)^m(M-1)^{N-1-m} の和は (M-2)^{N-1} ではない。(二項係数がかかっていないので) // (M-1)^{N-1}(1 - (-1/(M-1))^N)/(1 + 1/(M-1)) = ((M-1)^N - (-1)^N) / M // -> 実装由来のコーナーケースとして |x| > n の場合に n 番目以降を見ないのをやり忘れていた。直して AC。 fn main() { let n: i64 = get(); let m: i64 = get(); let k: i64 = get(); let mut x = vec![m]; let mut c = m; loop { let oldc = c; c = c / gcd(c, k); if oldc == c { break; } x.push(c); } let mut tot = (MInt::new(m - 1).pow(n) - MInt::new(MOD - 1).pow(n)) * MInt::new(c).inv(); for i in 0..std::cmp::min(x.len() as i64, n) { let mut num = MInt::new(m - 1).pow(n - 1 - i) * m; if i % 2 != 0 { num = -num; } tot += num * MInt::new(x[i as usize]).inv(); tot -= num * MInt::new(c).inv(); } if n % 2 != 0 { tot -= 1; } else { tot += 1; } println!("{}", tot); }