#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vvvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vvvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620; double EPS = 1e-15; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 #define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定 // 汎用関数の定義 template inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; #ifdef _MSC_VER #include "localACL.hpp" #endif //using mint = modint1000000007; //using mint = modint998244353; using mint = modint; // mint::set_mod(m); namespace atcoder { inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; using vvvvm = vector; #endif #ifdef _MSC_VER // 手元環境(Visual Studio) #include "local.hpp" #else // 提出用(gcc) inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } inline int msb(__int128 n) { return (n >> 64) != 0 ? (127 - __builtin_clzll((ll)(n >> 64))) : n != 0 ? (63 - __builtin_clzll((ll)(n))) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_mat(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif //【有限体 F_p 上の計算(64 bit)】 /* * 有限体 F_p 上ので様々な計算を行う. * mll::set_mod(ll p) はあらゆる場所で使う法を書き換えてしまうので注意. * * 制約 : p は素数,コンパイラが gcc */ struct mll { __int128 v; inline static __int128 MOD; // コンストラクタ mll() noexcept : v(0) {} mll(const mll& a) = default; mll(const int& a) noexcept : v(a% MOD) { if (v < 0) v += MOD; } mll(const ll& a) noexcept : v(a% MOD) { if (v < 0) v += MOD; } // 代入 mll& operator=(const mll& a) = default; mll& operator=(const int& a) { v = a % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; } mll& operator=(const ll& a) { v = a % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; } // 入出力 friend istream& operator>>(istream& is, mll& x) { ll tmp; is >> tmp; x.v = tmp % MOD; if (x.v < 0) x.v += MOD; return is; } friend ostream& operator<<(ostream& os, const mll& x) { os << (ll)x.v; return os; } // 比較 bool operator==(const mll& b) const { return v == b.v; } bool operator==(const int& b) const { return (b - v) % MOD == 0; } bool operator==(const ll& b) const { return (b - v) % MOD == 0; } friend bool operator==(const int& a, const mll& b) { return b == a; } friend bool operator==(const ll& a, const mll& b) { return b == a; } bool operator!=(const mll& b) const { return v != b.v; } bool operator!=(int b) const { return !(*this == b); } bool operator!=(ll b) const { return !(*this == b); } friend bool operator!=(int a, const mll& b) { return b != a; } friend bool operator!=(ll a, const mll& b) { return b != a; } // 単項演算 mll operator-() const { mll a; if (v > 0) a.v = MOD - v; return a; } mll& operator++() { v++; if (v == MOD) v = 0; return *this; } mll operator++(int) { mll tmp = *this; ++(*this); return tmp; } mll& operator--() { v--; if (v == -1) v = MOD - 1; return *this; } mll operator--(int) { mll tmp = *this; --(*this); return tmp; } // 二項演算 mll& operator+=(const mll& b) { v += b.v; if (v >= MOD) v -= MOD; return *this; } mll& operator-=(const mll& b) { v -= b.v; if (v < 0) v += MOD; return *this; } mll& operator*=(const mll& b) { v = (v * b.v) % MOD; return *this; } mll& operator/=(const mll& b) { *this *= b.inv(); return *this; } mll operator+(const mll& b) const { mll a = *this; return a += b; } mll operator-(const mll& b) const { mll a = *this; return a -= b; } mll operator*(const mll& b) const { mll a = *this; return a *= b; } mll operator/(const mll& b) const { mll a = *this; return a /= b; } // int との演算 mll& operator+=(const int& b) { v = (v + b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; } mll& operator-=(const int& b) { v = (v - b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; } mll& operator*=(const int& b) { v = (v * b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; } mll& operator/=(const int& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; } mll operator+(const int& b) const { mll a = *this; return a += b; } mll operator-(const int& b) const { mll a = *this; return a -= b; } mll operator*(const int& b) const { mll a = *this; return a *= b; } mll operator/(const int& b) const { mll a = *this; return a /= b; } friend mll operator+(const int& a, const mll& b) { return b + a; } friend mll operator-(const int& a, const mll& b) { return -(b - a); } friend mll operator*(const int& a, const mll& b) { return b * a; } friend mll operator/(const int& a, const mll& b) { return b.inv() * a; } // ll との演算 mll& operator+=(const ll& b) { v = (v + b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; } mll& operator-=(const ll& b) { v = (v - b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; } mll& operator*=(const ll& b) { v = (v * b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; } mll& operator/=(const ll& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; } mll operator+(const ll& b) const { mll a = *this; return a += b; } mll operator-(const ll& b) const { mll a = *this; return a -= b; } mll operator*(const ll& b) const { mll a = *this; return a *= b; } mll operator/(const ll& b) const { mll a = *this; return a /= b; } friend mll operator+(const ll& a, const mll& b) { return b + a; } friend mll operator-(const ll& a, const mll& b) { return -(b - a); } friend mll operator*(const ll& a, const mll& b) { return b * a; } friend mll operator/(const ll& a, const mll& b) { return b.inv() * a; } // 累乗 mll pow(ll d) const { mll res(1), pow2 = *this; while (d > 0) { if (d & 1) res *= pow2; pow2 *= pow2; d >>= 1; } return res; } // 逆元 mll inv() const { Assert(v != 0); return pow(MOD - 2); } // 法の設定,確認 static void set_mod(ll MOD_) { Assert(MOD_ > 0); MOD = MOD_; } static ll mod() { return (ll)MOD; } // 値の確認 ll val() const { return (ll)v; } }; //【素数判定】O((log n)^3) /* * n が素数かを返す. * * 利用:【有限体 F_p 上の計算(64 bit)】 */ bool miller_rabin(ll n) { // 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/prime/fast-factorize.hpp.html // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/primality_test //【方法】 // p を奇素数とすると,任意の a∈[1..p) についてフェルマーの小定理より // a^(p-1) ≡ 1 (mod p) // となる.これの平方根を考えていくと, // p-1 = 2^s d (d : 奇数) // と表せば, // a^d ≡ 1 (mod p) or ∃r=[0..s), a^(2^r d) ≡ -1 (mod p) // と書き直せる. // // この対偶を用いて判定することをランダムに選んだ a で繰り返す. // n < 2^64 に範囲を限定するなら擬素数を生じない a を固定的に選べる. const vl as = { 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022 }; if (n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 13 || n == 19 || n == 73 || n == 193 || n == 407521 || n == 299210837) return true; if (n == 1 || n % 2 == 0) return false; mll::set_mod(n); int s = 0; ll d = n - 1; while (d % 2 == 0) { s++; d /= 2; } repe(a, as) { mll powa = mll(a).pow(d); if (powa == 1 || powa == -1) goto LOOP_END; rep(r, s - 1) { powa *= powa; if (powa == 1) return false; if (powa == -1) goto LOOP_END; } return false; LOOP_END:; } return true; } //【約数検出】O(n^(1/4)) /* * n の真の約数を何か 1 つ返す(なければ n を返す) * * 利用:【有限体 F_p 上の計算(64 bit)】 */ template T pollard_rho(T n) { // 参考 : https://qiita.com/Kiri8128/items/eca965fe86ea5f4cbb98 // verify : https://algo-method.com/tasks/553 //【方法】 // 適当な定数 c をとり関数 f : Z/nZ → Z/nZ を // f(x) = x^2 + c // と定める. // // 適当な初期値 x[0] = y[0] (= 2) から始め,Z/nZ 上の数列を漸化式 // x[i+1] = f(x[i]), y[i+1] = f(f(y[i])) // で定める.フロイドの循環検出法より,もし // gcd(x[i] - y[i], n) = g ∈ [2..n-1] // であれば,これは f が Z/gZ(g は n の真の約数)で巡回したことを意味する. // // 実際には, // x は r = (2 冪) 個ずつ進める(定数 1/2 倍) // gcd の計算を m = n^(1/8) 程度個まとめて行う(gcd の log を落とす) // ことにより高速化を図る. if (!(n & 1)) return 2; int m = 1 << (msb(n) / 8); mll::set_mod(n); // n は合成数だが割り算は使わないので問題ない const int c_max = 99; // c を最大どこまで試すか repi(c, 1, c_max) { auto f = [&](mll x) { return x * x + c; }; mll x, y = 2, y_bak; T g = 1; int r = 1; // g = 1 である間は巡回未検出 while (g == 1) { // x, y を r = 2^i だけ一気に進める. x = y; rep(hoge, r) y = f(y); // 次の r = 2^i 個をまとめて見る. for (int k = 0; k < r; k += m) { // 一気に掛けすぎて g = n となってしまった場合の復元用 y_bak = y; // m 個ごとにまとめて見る. mll mul = 1; rep(i, min(m, r - k)) { y = f(y); // 複数個掛けておき,後でまとめて gcd を計算する. //(フロイドの循環検出法とは違い x を固定しているが, // 巡回は検出できるので問題ない.) mul *= x - y; } g = (T)gcd(mul.val(), (ll)n); // g != 1 なら巡回を検出できたので次の処理へ if (g != 1) goto LOOP_END; } r *= 2; } LOOP_END:; // 一気に掛けすぎて g = n となってしまった(であろう)場合 if (g == n) { // 復元用に残しておいた x, y_bak から再スタート g = 1; while (g == 1) { y_bak = f(y_bak); g = (T)gcd((x - y_bak).val(), (ll)n); } } // g < n なら g が n の真の約数なのでそれを返す. if (g < n) return g; // 本当に g = n ならたまたま真の約数が全て同時検出されてしまったので, // 関数 f における定数項 c の値を別のものに取り替えて再挑戦. } // 複数個の c を試してなお失敗したなら諦める. return n; } //【素因数分解】O(n^(1/4)) /* * n を素因数分解した結果を pps に格納し pps を返す. * pps[p] = d : n に素因数 p が d 個含まれていることを表す. * * 利用:【素数判定】,【約数検出】 */ template map factor_integer(T n) { // verify : https://algo-method.com/tasks/553 map pps; if (n == 1) return map(); // 検出した約数を記録しておくキュー queue divs; divs.push(n); while (!divs.empty()) { T d = divs.front(); divs.pop(); // 約数が素数なら素因数発見 if (miller_rabin(d)) { pps[d]++; } // 約数が合成数なら新たな約数を 2 つ発見する else { T d1 = pollard_rho(d); T d2 = d / d1; divs.push(d1); divs.push(d2); } } return pps; } //【離散対数問題】O(√m log m) /* * a x^d ≡ b (mod m) の最小解 d ≧ 0 を返す(なければ INF) * ここで m = mint::mod() である.また 0^0 = 1 とする. * *(baby-step giant-step) */ int log_mint(mint a, mint x, mint b) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/discrete_logarithm_mod //【方法】 // まず i∈[0..√m) について素朴に a x^i を計算し,b に一致するかを見る:O(√m) // 同時に i∈[0..√m) について b x^i を計算した集合 S を得ておく. // もし a x^i = b なる i があれば d=i でよく,なければ d >= √m であることが確定する. // // 次に a x^√m の値を計算し,b x^i がそれと等しくなる i∈[0..√m) を探す:O(1) // もし // a x^√m = b x^i (mod m) // なる i が見つかれば,これは // a x^(√m - i) = b (mod m) // であるための必要条件なので,d = √m - i が解の候補となる. // 解かどうかは実際に計算してみればわかる:O(log m) // 解が見つからなければ d >= 2√m であることが確定する. // // この調子で a x^2√m, a x^3√m, ... の値を計算し,b x^i がそれと等しくなる i を探す. // x^(φ(m) + 1) = x なので,同様のステップは √m 回行えば十分である:O(√m) if (x == 0) { if (a == b) return 0; if (b == 0) return 1; return INF; } int sqrt_m = (int)(ceil(sqrt(mint::mod())) + 1); // logx[v] : v = b x^j となる √m 未満の j の昇順リスト //(解の候補にすぎないので,最大の j を保持するだけではいけない.) unordered_map logx; mint x_pow = 1; rep(j, sqrt_m) { if (a * x_pow == b) return j; logx[(b * x_pow).val()].emplace_back(j); x_pow *= x; } // a に x_pow = x^√m を掛けながら解の候補を探していく. mint ax = a; repi(i, 1, sqrt_m) { ax *= x_pow; if (logx.count(ax.val())) { repir(t, sz(logx[ax.val()]) - 1, 0) { // a x^(i √m) = b x^j なる (i, j) が見つかった. int j = logx[ax.val()][t]; // 解の候補を得て,実際に計算してみて一致するかを見る. int d = i * sqrt_m - j; if (a * x.pow(d) == b) return d; } } } return INF; } //【累乗根】 /* * x^k ≡ a (mod p) の解 x の 1 つを返す.(なければ -1 * * 制約 : p = mint::mod() は素数 * * 利用:【素因数分解】,【離散対数問題】 */ int power_root(int k, const mint& a) { if (a == 0) return 0; int p = mint::mod(); if (p == 2) return a.val(); int g = gcd(k, p - 1); if (a.pow((p - 1) / g) != 1) return -1; auto pps = factor_integer(g); int k2 = (int)inv_mod(k / g, (p - 1) / g); mt19937_64 mt((int)time(NULL)); uniform_int_distribution rnd(2, p - 1); mint c = a.pow(k2); // q^e | gcd(k, p-1) for (auto [q, e] : pps) { // p-1 = s q^t int s = p - 1, t = 0; while (s % q == 0) { s /= q; t++; } mint v; while (true) { v = rnd(mt); if (v.pow((p - 1) / q) != 1) break; } int qe = (int)pow(q, e); int u = qe - (int)inv_mod(s, qe); mint z = c.pow(((ll)s * u + 1) / qe); mint c_inv = c.inv(); repir(i, t - 1 - e, 0) { mint z2 = v.pow(s * pow(q, t - 1 - e - i)); int L = log_mint((c_inv * z.pow(qe)).pow(pow(q, i)), z2.pow(pow(q, e + i)), 1); z *= z2.pow(L); // while ((c_inv * z.pow(qe)).pow(pow(q, i)) != 1) z *= z2; // まだ遅い } c = z; } return c.val(); } int main() { input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); int t; cin >> t; rep(hoge, t) { int k, y, p; // cin >> k >> y >> p; cin >> p >> k >> y; mint::set_mod(p); int res = power_root(k, y); cout << res << endl; } }