#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include <bits/stdc++.h> using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair<int, int>; using pll = pair<ll, ll>; using pil = pair<int, ll>; using pli = pair<ll, int>; using vi = vector<int>; using vvi = vector<vi>; using vvvi = vector<vvi>; using vvvvi = vector<vvvi>; using vl = vector<ll>; using vvl = vector<vl>; using vvvl = vector<vvl>; using vvvvl = vector<vvvl>; using vb = vector<bool>; using vvb = vector<vb>; using vvvb = vector<vvb>; using vc = vector<char>; using vvc = vector<vc>; using vvvc = vector<vvc>; using vd = vector<double>; using vvd = vector<vd>; using vvvd = vector<vvd>; template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi DY = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 #define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定 // 汎用関数の定義 template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template <class T> inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } // 演算子オーバーロード template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; } template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; } #endif // 折りたたみ用 #if __has_include(<atcoder/all>) #include <atcoder/all> using namespace atcoder; #ifdef _MSC_VER #include "localACL.hpp" #endif //using mint = modint1000000007; using mint = modint998244353; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); namespace atcoder { inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } } using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>; #endif #ifdef _MSC_VER // 手元環境(Visual Studio) #include "local.hpp" #else // 提出用(gcc) inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define gcd __gcd #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_mat(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; } #endif mint TLE(int n, const vm& a) { mint res = 1; rep(i, n) repi(j, i + 1, n - 1) res *= a[i] - a[j]; return res; } //【形式的冪級数】 /* * MFPS() : O(1) * 零多項式 f = 0 で初期化する. * * MFPS(mint c0) : O(1) * 定数多項式 f = c0 で初期化する. * * MFPS(mint c0, int n) : O(n) * n 次未満の項をもつ定数多項式 f = c0 で初期化する. * * MFPS(vm c) : O(n) * f(z) = c[0] + c[1] z + ... + c[n - 1] z^(n-1) で初期化する. * * set_conv(vm(*CONV)(const vm&, const vm&)) : O(1) * 畳込み用の関数を CONV に設定する. * * c + f, f + c : O(1) f + g : O(n) * f - c : O(1) c - f, f - g, -f : O(n) * c * f, f * c : O(n) f * g : O(n log n) f * g_sp : O(n k)(k : g の項数) * f / c : O(n) f / g : O(n log n) f / g_sp : O(n k)(k : g の項数) * 形式的冪級数としての和,差,積,商の結果を返す. * g_sp はスパース多項式であり,{次数, 係数} の次数昇順の組の vector で表す. * 制約 : 商では g(0) != 0 * * MFPS f.inv(int d) : O(n log n) * 1 / f mod z^d を返す. * 制約 : f(0) != 0 * * MFPS f.quotient(MFPS g) : O(n log n) * MFPS f.reminder(MFPS g) : O(n log n) * pair<MFPS, MFPS> f.quotient_remainder(MFPS g) : O(n log n) * 多項式としての f を g で割った商,余り,商と余りの組を返す. * 制約 : g の最高次の係数は 0 でない * * int f.deg(), int f.size() : O(1) * 多項式 f の次数[項数]を返す. * * MFPS::monomial(int d, mint c = 1) : O(d) * 単項式 c z^d を返す. * * mint f.assign(mint c) : O(n) * 多項式 f の不定元 z に c を代入した値を返す. * * f.resize(int d) : O(1) * mod z^d をとる. * * f.resize() : O(n) * 不要な高次の項を削る. * * f >> d, f << d : O(n) * 係数列を d だけ右[左]シフトした多項式を返す. * (右シフトは z^d の乗算,左シフトは z^d で割った商と等価) */ struct MFPS { using SMFPS = vector<pair<int, mint>>; int n; // 係数の個数(次数 + 1) vm c; // 係数列 inline static vm(*CONV)(const vm&, const vm&) = convolution; // 畳込み用の関数 // コンストラクタ(0,定数,係数列で初期化) MFPS() : n(0) {} MFPS(mint c0) : n(1), c({ c0 }) {} MFPS(int c0) : n(1), c({ mint(c0) }) {} MFPS(mint c0, int d) : n(d), c(n) { c[0] = c0; } MFPS(int c0, int d) : n(d), c(n) { c[0] = c0; } MFPS(const vm& c_) : n(sz(c_)), c(c_) {} MFPS(const vi& c_) : n(sz(c_)), c(n) { rep(i, n) c[i] = c_[i]; } // 代入 MFPS(const MFPS& f) = default; MFPS& operator=(const MFPS& f) = default; MFPS& operator=(const mint& c0) { n = 1; c = { c0 }; return *this; } // 比較 bool operator==(const MFPS& g) const { return c == g.c; } bool operator!=(const MFPS& g) const { return c != g.c; } // アクセス inline mint const& operator[](int i) const { return c[i]; } inline mint& operator[](int i) { return c[i]; } // 次数 int deg() const { return n - 1; } int size() const { return n; } static void set_conv(vm(*CONV_)(const vm&, const vm&)) { // verify : https://atcoder.jp/contests/tdpc/tasks/tdpc_fibonacci CONV = CONV_; } // 加算 MFPS& operator+=(const MFPS& g) { if (n >= g.n) rep(i, g.n) c[i] += g.c[i]; else { rep(i, n) c[i] += g.c[i]; repi(i, n, g.n - 1) c.push_back(g.c[i]); n = g.n; } return *this; } MFPS operator+(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) += g; } // 定数加算 MFPS& operator+=(const mint& sc) { if (n == 0) { n = 1; c = { sc }; } else { c[0] += sc; } return *this; } MFPS operator+(const mint& sc) const { return MFPS(*this) += sc; } friend MFPS operator+(const mint& sc, const MFPS& f) { return f + sc; } MFPS& operator+=(const int& sc) { *this += mint(sc); return *this; } MFPS operator+(const int& sc) const { return MFPS(*this) += sc; } friend MFPS operator+(const int& sc, const MFPS& f) { return f + sc; } // 減算 MFPS& operator-=(const MFPS& g) { if (n >= g.n) rep(i, g.n) c[i] -= g.c[i]; else { rep(i, n) c[i] -= g.c[i]; repi(i, n, g.n - 1) c.push_back(-g.c[i]); n = g.n; } return *this; } MFPS operator-(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) -= g; } // 定数減算 MFPS& operator-=(const mint& sc) { *this += -sc; return *this; } MFPS operator-(const mint& sc) const { return MFPS(*this) -= sc; } friend MFPS operator-(const mint& sc, const MFPS& f) { return -(f - sc); } MFPS& operator-=(const int& sc) { *this += -sc; return *this; } MFPS operator-(const int& sc) const { return MFPS(*this) -= sc; } friend MFPS operator-(const int& sc, const MFPS& f) { return -(f - sc); } // 加法逆元 MFPS operator-() const { return MFPS(*this) *= -1; } // 定数倍 MFPS& operator*=(const mint& sc) { rep(i, n) c[i] *= sc; return *this; } MFPS operator*(const mint& sc) const { return MFPS(*this) *= sc; } friend MFPS operator*(const mint& sc, const MFPS& f) { return f * sc; } MFPS& operator*=(const int& sc) { *this *= mint(sc); return *this; } MFPS operator*(const int& sc) const { return MFPS(*this) *= sc; } friend MFPS operator*(const int& sc, const MFPS& f) { return f * sc; } // 右からの定数除算 MFPS& operator/=(const mint& sc) { *this *= sc.inv(); return *this; } MFPS operator/(const mint& sc) const { return MFPS(*this) /= sc; } MFPS& operator/=(const int& sc) { *this /= mint(sc); return *this; } MFPS operator/(const int& sc) const { return MFPS(*this) /= sc; } // 積 MFPS& operator*=(const MFPS& g) { c = CONV(c, g.c); n = sz(c); return *this; } MFPS operator*(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) *= g; } // 除算 MFPS inv(int d) const { // 参考:https://nyaannyaan.github.io/library/fps/formal-power-series.hpp // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/inv_of_formal_power_series //【方法】 // 1 / f mod z^d を求めることは, // f g = 1 (mod z^d) // なる g を求めることである. // この d の部分を 1, 2, 4, ..., 2^i と倍々にして求めていく. // // d = 1 のときについては // g = 1 / f[0] (mod z^1) // である. // // 次に, // g = h (mod z^k) // が求まっているとして // g mod z^(2 k) // を求める.最初の式を変形していくことで // g - h = 0 (mod z^k) // ⇒ (g - h)^2 = 0 (mod z^(2 k)) // ⇔ g^2 - 2 g h + h^2 = 0 (mod z^(2 k)) // ⇒ f g^2 - 2 f g h + f h^2 = 0 (mod z^(2 k)) // ⇔ g - 2 h + f h^2 = 0 (mod z^(2 k)) (f g = 1 (mod z^d) より) // ⇔ g = (2 - f h) h (mod z^(2 k)) // を得る. // // この手順を d ≦ 2^i となる i まで繰り返し,d 次以上の項を削除すればよい. Assert(!c.empty()); Assert(c[0] != 0); MFPS g(c[0].inv()); for (int k = 1; k < d; k *= 2) { int len = max(min(2 * k, d), 1); MFPS tmp(0, len); rep(i, min(len, n)) tmp[i] = -c[i]; // -f tmp *= g; // -f h tmp.resize(len); tmp[0] += 2; // 2 - f h g *= tmp; // (2 - f h) h g.resize(len); } return g; } MFPS& operator/=(const MFPS& g) { return *this *= g.inv(max(n, g.n)); } MFPS operator/(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) /= g; } // 余り付き除算 MFPS quotient(const MFPS& g) const { // 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/fps/formal-power-series.hpp // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/division_of_polynomials //【方法】 // f(x) = g(x) q(x) + r(x) となる q(x) を求める. // f の次数は n - 1, g の次数は m - 1 とする.(n >= m) // 従って q の次数は n - m,r の次数は m - 2 となる. // // f^R で f の係数列を逆順にした多項式を表す.すなわち // f^R(x) := f(1/x) x^(n-1) // である.他の多項式も同様とする. // // 最初の式で x → 1/x と置き換えると, // f(1/x) = g(1/x) q(1/x) + r(1/x) // ⇔ f(1/x) x^(n-1) = g(1/x) q(1/x) x^(n-1) + r(1/x) x^(n-1) // ⇔ f(1/x) x^(n-1) = g(1/x) x^(m-1) q(1/x) x^(n-m) + r(1/x) x^(m-2) x^(n-m+1) // ⇔ f^R(x) = g^R(x) q^R(x) + r^R(x) x^(n-m+1) // ⇒ f^R(x) = g^R(x) q^R(x) (mod x^(n-m+1)) // ⇒ q^R(x) = f^R(x) / g^R(x) (mod x^(n-m+1)) // を得る. // // これで q を mod x^(n-m+1) で正しく求めることができることになるが, // q の次数は n - m であったから,q 自身を正しく求めることができた. if (n < g.n) return MFPS(); return ((this->rev() / g.rev()).resize(n - g.n + 1)).rev(); } MFPS reminder(const MFPS& g) const { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/division_of_polynomials return (*this - this->quotient(g) * g).resize(g.n - 1); } pair<MFPS, MFPS> quotient_remainder(const MFPS& g) const { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/division_of_polynomials pair<MFPS, MFPS> res; res.first = this->quotient(g); res.second = (*this - res.first * g).resize(g.n - 1); return res; } // スパース積 MFPS& operator*=(const SMFPS& g) { // g の定数項だけ例外処理 auto it0 = g.begin(); mint g0 = 0; if (it0->first == 0) { g0 = it0->second; it0++; } // 後ろからインライン配る DP repir(i, n - 1, 0) { // 上位項に係数倍して配っていく. for (auto it = it0; it != g.end(); it++) { auto [j, gj] = *it; if (i + j >= n) break; c[i + j] += c[i] * gj; } // 定数項は最後に配るか消去しないといけない. c[i] *= g0; } return *this; } MFPS operator*(const SMFPS& g) const { return MFPS(*this) *= g; } // スパース商 MFPS& operator/=(const SMFPS& g) { // g の定数項だけ例外処理 auto it0 = g.begin(); Assert(it0->first == 0 && it0->second != 0); mint g0_inv = it0->second.inv(); it0++; // 前からインライン配る DP(後ろに累積効果あり) rep(i, n) { // 定数項は最初に配らないといけない. c[i] *= g0_inv; // 上位項に係数倍して配っていく. for (auto it = it0; it != g.end(); it++) { auto [j, gj] = *it; if (i + j >= n) break; c[i + j] -= c[i] * gj; } } return *this; } MFPS operator/(const SMFPS& g) const { return MFPS(*this) /= g; } // 係数反転 MFPS rev() const { MFPS h = *this; reverse(all(h.c)); return h; } // 単項式 static MFPS monomial(int d, mint coef = 1) { MFPS mono(0, d + 1); mono[d] = coef; return mono; } // 不要な高次項の除去 MFPS& resize() { // 最高次の係数が非 0 になるまで削る. while (n > 0 && c[n - 1] == 0) { c.pop_back(); n--; } return *this; } // x^d 以上の項を除去する. MFPS& resize(int d) { n = d; c.resize(d); return *this; } // 不定元への代入 mint assign(const mint& x) const { mint val = 0; repir(i, n - 1, 0) val = val * x + c[i]; return val; } // 係数のシフト MFPS& operator>>=(int d) { n += d; c.insert(c.begin(), d, 0); return *this; } MFPS& operator<<=(int d) { n -= d; if (n <= 0) { c.clear(); n = 0; } else c.erase(c.begin(), c.begin() + d); return *this; } MFPS operator>>(int d) const { return MFPS(*this) >>= d; } MFPS operator<<(int d) const { return MFPS(*this) <<= d; } #ifdef _MSC_VER friend ostream& operator<<(ostream& os, const MFPS& f) { if (f.n == 0) os << 0; else { rep(i, f.n) { os << f[i] << "z^" << i; if (i < f.n - 1) os << " + "; } } return os; } #endif }; //【微分】O(n) /* * f'(z) を返す. */ MFPS derivative(const MFPS& f) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/log_of_formal_power_series MFPS res; repi(i, 1, f.n - 1) res.c.push_back(f[i] * i); res.n = sz(res.c); return res; } //【一次式の積の展開(基本対称式)】O(n (log n)^2) /* * Πi∈[0..n) (z - x[i]) を返す. * * 戻り値の i 次の項の係数は,x[0..n) の符号付き n-i 次基本対称式になる. */ MFPS expand(const vm& x) { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc231/tasks/abc231_g int n = sz(x); vector<MFPS> f(n); rep(i, n) f[i] = MFPS(vm({ -x[i], 1 })); // 2 冪個ずつ掛けていく(分割統治法) for (int k = 1; k < n; k *= 2) { for (int i = 0; i + k < n; i += 2 * k) { f[i] *= f[i + k]; } } return f[0]; } //【多点評価】O(m (log m)^2 + n log n) /* * n 次多項式 f(z) について,f(x[0..m)) の値を並べたリストを返す. */ vm multipoint_evaluation(const MFPS& f, const vm& x) { // 参考 : https://37zigen.com/multipoint-evaluation/ // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/multipoint_evaluation // dump(f); dump(x); int m = sz(x); int m2 = 1 << (msb(m - 1) + 1); // sp : (x - x[i]) の連続する 2 冪個の積からなる完全二分木 vector<MFPS> sp(m2 * 2); repi(i, m2, m2 + m - 1) sp[i] = MFPS(vm({ -x[i - m2], 1 })); repi(i, m2 + m, 2 * m2 - 1) sp[i] = MFPS(1); repir(i, m2 - 1, 1) sp[i] = sp[2 * i] * sp[2 * i + 1]; // sr : f を sp[i] で割った余りからなる完全二分木 vector<MFPS> sr(m2 * 2); sr[1] = f.reminder(sp[1]); repi(i, 2, m2 + m - 1) sr[i] = sr[i / 2].reminder(sp[i]); // sr の葉は (x - x[i]) で割った余りなので,因数定理よりこれが f(x[i]) に等しい. vm y(m); rep(i, m) y[i] = sr[m2 + i][0]; return y; } //【二次拡大体】 /* * a + b √d ∈ F_p(√d) を表す. * * set_base(mint d) : O(1) * 体を F_p(√d) とする(p = mint::mod) * 制約:√d !∈ F_p * * QF() : O(1) * 0 で初期化する. * * QF(mint a) : O(1) * a で初期化する. * * QF(mint a, mint b) : O(1) * a + b √d で初期化する. * * x + y, x - y, x * y : O(1) * 和,差,積を返す.複合代入演算子も使用可. * * x / y : O(log p) * 商を返す.複合代入演算子も使用可. * * QF inv() : O(log p) * 逆元を返す. * * QF pow(ll n) : O(log n) * n 乗を返す. * * mint norm() : O(1) * a^2 - d b^2 を返す. */ struct QF { // a + b √d を表す. inline static mint d; mint a, b; // d を定める static void set_base(mint d_) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod d = d_; } // 初期化 QF() : a(0), b(0) {} QF(const mint& a) : a(a), b(0) {} QF(const mint& a, const mint& b) : a(a), b(b) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod } QF(const int& a) : a(a), b(0) {} QF(const int& a, const int& b) : a(a), b(b) {} QF(const ll& a) : a(a), b(0) {} QF(const ll& a, const ll& b) : a(a), b(b) {} // 代入 QF(const QF&) = default; QF& operator=(const QF&) = default; // 比較 bool operator==(const QF& y) const { return a == y.a && b == y.b; } bool operator!=(const QF& y) const { return !(*this == y); } // 和 QF& operator+=(const QF& y) { a += y.a; b += y.b; return *this; } QF operator+(const QF& y) const { QF x = *this; return x += y; } // 差 QF& operator-=(const QF& y) { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod a -= y.a; b -= y.b; return *this; } QF operator-(const QF& y) const { QF x = *this; return x -= y; } // 負元 QF operator-() const { QF x = *this; x.a *= -1; x.b *= -1; return x; } // 積 QF operator*(const QF& y) const { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod // (a1 + b1√d)(a2 + b2√d) = (a1 a2 + b1 b2 d) + (a1 b2 + a2 b1)√d return QF(a * y.a + b * y.b * d, a * y.b + b * y.a); } QF& operator*=(const QF& y) { *this = *this * y; return *this; } // 逆元 QF inv() const { // 1/(a + b√d) = (a - b√d) / (a^2 - b^2 d) mint dnm = (a * a - b * b * d).inv(); return QF(a * dnm, -b * dnm); } // 商 QF& operator/=(const QF& y) { return *this *= y.inv(); } QF operator/(const QF& y) const { return *this * y.inv(); } // 累乗 QF pow(ll n) const { // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod QF res(1), pow2 = *this; while (n > 0) { if (n & 1) res *= pow2; pow2 *= pow2; n /= 2; } return res; } // ノルム mint norm() const { return a * a - d * b * b; } #ifdef _MSC_VER friend ostream& operator<<(ostream& os, const QF& x) { os << x.a << "+" << x.b << "√" << x.d; return os; } #endif }; //【平方剰余】O(log p) /* * x^2 ≡ a (mod p) の解 x の 1 つを返す.(なければ -1) * * 制約:p = mint::mod() は素数 * * 利用:【二次拡大体】 */ int cipolla(const mint& a) { // 参考 : https://37zigen.com/cipolla-algorithm/ // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod //【方法】 // a ≡ 0 なら x ≡ 0 でよいから a ≠ 0 と仮定する. // p = 2 なら a^2 ≡ a (mod p) より x = a でよいから p は奇素数と仮定する. // // オイラーの規準より // a^((p-1)/2) ≡ 1 (mod p) ⇔ a が p を法とする平方剰余 // である.解が存在しない場合はこれで判定できるので,以下解が存在すると仮定する. // // p = 3 (mod 4) の場合は,単に x = a^((p+1)/4) を返せば良い.実際,オイラーの規準より // x^2 = a^((p+1)/2) = a * a^((p-1)/2) = a * 1 = a // となる. // // モニックな 2 次多項式 f(b; x) ∈ F_p[x] を // f(b; x) = (x-b)^2 - b^2 + a // と定める.f(b; x) の根は // x = b ± √(b^2 - a) // と表される.よって α = b^2 - a が平方非剰余であれば f(b; x) は F_p に根をもたず既約となる. // そのような b は十分多く存在するので,乱択とオイラーの規準による判定で素早く得ることができる. // // f(b; x) の 1 つの根 θ !∈ F_p を固定すると, // F_p(θ) ~= F_(p^2) におけるフロベニウス写像の性質より f(b; x) の全ての根は // θ, θ^p // と表される.f(b; x) についての根と係数の関係より,定数項について // θ θ^p ≡ [x^0] f(b; x) (mod p) // ⇔ θ^(1+p) ≡ a (mod p) // が成り立つ.p は奇素数より 1+p は偶数なので, // θ^((1+p)/2) ∈ F_p // が求める a の平方根である. // // F_p(θ) = F_p(√(b^2 - a)) なので,この上で θ^((1+p)/2) を計算すればいい. // a ≡ 0 (mod p) の場合の例外処理 : O(1) if (a == 0) return 0; auto p = mint::mod(); // p = 2 の場合の例外処理 : O(1) if (p == 2) return a.val(); // a が平方非剰余なら -1 を返す. : O(log p) if (a.pow((p - 1) / 2) == -1) return -1; // p = 3 (mod 4) の場合は簡単に解決する. : O(log p) if (p % 4 == 3) return a.pow((p + 1) / 4).val(); mt19937_64 mt((int)time(NULL)); uniform_int_distribution<ll> rnd(2, p - 1); // b^2 - a が平方非剰余となる適当な b を見つける. : 平均 O(log p) mint b; while (true) { b = rnd(mt); if ((b * b - a).pow((p - 1) / 2) == -1) break; } // 二次拡大体 F_p(√b^2-a) を作る. QF::set_base(b * b - a); // θ = b + √(b^2 - a) とする. QF th(b, 1); // θ^((1+p)/2) ∈ F_p を返す. : O(log p) return th.pow((1 + p) / 2).a.val(); } // 差積の 2 乗を計算して平方根をとる.確率 1/2 で正解する. mint WA(int n, const vm& a) { auto f = expand(a); f = derivative(f); auto val = multipoint_evaluation(f, a); mint res = 1; repe(x, val) res *= x; res *= mint(-1).pow((ll)n * (n - 1) / 2); res = cipolla(res); // この中で乱数を使っている return res; } // 三角形を長方形に分割し,各長方形は 1次式の積 → 多点評価 で計算する. // 1 回 5,913ms/6,000ms で AC できたが,もう一度提出したら TLE になった. mint TLE2(int n, const vm& a) { function<mint(int, int)> rf = [&](int l, int r) { dump(l, r); if (l + 2 > r) return mint(1); if (l + 2 == r) return a[l] - a[l + 1]; int m = (l + r) / 2; vm ar(a.begin() + m, a.begin() + r); auto f = expand(ar); // dump(f); vm al(a.begin() + l, a.begin() + m); auto muls = multipoint_evaluation(f, al); // dump(muls); mint res = 1; repe(mul, muls) res *= mul; res *= rf(l, m); res *= rf(m, r); return res; }; return rf(0, n); } // いろいろ高速化 #pragma GCC target("avx2") #pragma GCC optimize("O3") #pragma GCC optimize("unroll-loops") // 三角形を長方形に分割し,各長方形は 1次式の積 → 多点評価 で計算する. mint solve(int l, int r, const vm& a) { if (r - l <= 15) { mint res = 1; repi(i, l, r - 2) repi(j, i + 1, r - 1) res *= a[i] - a[j]; return res; } int m = (l + r) / 2; vm ar(a.begin() + m, a.begin() + r); auto f = expand(ar); vm al(a.begin() + l, a.begin() + m); auto muls = multipoint_evaluation(f, al); mint res = 1; repe(mul, muls) res *= mul; res *= solve(l, m, a); res *= solve(m, r, a); return res; } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); int n; cin >> n; vm a(n); cin >> a; dump(TLE(n, a)); dump("---"); if (n <= (int)1e5) { cout << solve(0, n, a) << endl; } else { cout << WA(n, a) << endl; } }