#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // ライブラリの読み込み #include using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; using ull = unsigned long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair; using pll = pair; using pil = pair; using pli = pair; using vi = vector; using vvi = vector; using vvvi = vector; using vvvvi = vector; using vl = vector; using vvl = vector; using vvvl = vector; using vvvvl = vector; using vb = vector; using vvb = vector; using vvvb = vector; using vc = vector; using vvc = vector; using vvvc = vector; using vd = vector; using vvd = vector; using vvvd = vector; template using priority_queue_rev = priority_queue, greater>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = acos(-1); int DX[4] = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) int DY[4] = { 0, 1, 0, -1 }; int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003094073385LL; // (int)INFL = INF, (int)(-INFL) = -INF; // 入出力高速化 struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp; // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x)) #define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x)) #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0, set##_ub = 1 << int(d); set < set##_ub; ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repis(i, set) for(int i = lsb(set), bset##i = set; i < 32; bset##i -= 1 << i, i = lsb(bset##i)) // set の全要素(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去 #define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了 #define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定 // 汎用関数の定義 template inline ll powi(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) template inline T getb(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); } template inline T smod(T n, T m) { n %= m; if (n < 0) n += m; return n; } // 非負mod // 演算子オーバーロード template inline istream& operator>>(istream& is, pair& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template inline istream& operator>>(istream& is, vector& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template inline vector& operator--(vector& v) { repea(x, v) --x; return v; } template inline vector& operator++(vector& v) { repea(x, v) ++x; return v; } #endif // 折りたたみ用 #if __has_include() #include using namespace atcoder; #ifdef _MSC_VER #include "localACL.hpp" #endif //using mint = modint1000000007; using mint = modint998244353; //using mint = static_modint<1234567891>; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); namespace atcoder { inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } } using vm = vector; using vvm = vector; using vvvm = vector; using vvvvm = vector; using pim = pair; #endif #ifdef _MSC_VER // 手元環境(Visual Studio) #include "local.hpp" #else // 提出用(gcc) inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); } inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); } inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : 32; } inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : 64; } template inline int lsb(const bitset& b) { return b._Find_first(); } inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; } inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; } #define dump(...) #define dumpel(v) #define dump_list(v) #define dump_mat(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #define Assert(b) { if (!(b)) { vc MLE(1<<30); EXIT(MLE.back()); } } // RE の代わりに MLE を出す #endif //【グラフの入力】O(n + m) /* * (始点, 終点) の組からなる入力を受け取り,n 頂点 m 辺のグラフを構築して返す. * * n : グラフの頂点の数 * m : グラフの辺の数(省略すれば n-1) * directed : 有向グラフか(省略すれば false) * zero_indexed : 入力が 0-indexed か(省略すれば false) */ Graph read_Graph(int n, int m = -1, bool directed = false, bool zero_indexed = false) { // verify : https://atcoder.jp/contests/tessoku-book/tasks/tessoku_book_bi Graph g(n); if (m == -1) m = n - 1; rep(j, m) { int a, b; cin >> a >> b; if (!zero_indexed) { --a; --b; } g[a].push_back(b); if (!directed && a != b) g[b].push_back(a); } return g; } //【局面のニム値】O(?)(遅いので実験用) /* * 初期局面 p から遷移可能な局面とそのニム値の組のリストを返す. * nxt(p, nps) を呼ぶと,p から遷移可能な局面のリストを nps に格納するものとする. */ template map calc_nimber(const T& p, function&)>& nxt) { map nim; // これをグローバル変数にすれば再利用可能 function calc_nimber = [&](const T& p) { if (nim.count(p)) return nim[p]; vector nps; nxt(p, nps); vi next_nimbers; repe(np, nps) { next_nimbers.push_back(calc_nimber(np)); } uniq(next_nimbers); int i = 0; while (i < sz(next_nimbers) && next_nimbers[i] == i) i++; nim[p] = i; return nim[p]; }; calc_nimber(p); return nim; /* nxt の定義の雛形 using T = vi; function&)> nxt = [&](const T& p, vector& nps) { }; */ } //【木の親】O(n) /* * 各 s∈[0..n) について,r を根とする木 g の頂点 s の親を格納したリストを返す(なければ -1) */ vi parent_of_tree(const Graph& g, int r) { int n = sz(g); vi p(n); function dfs = [&](int s) { repe(t, g[s]) { if (t == p[s]) continue; p[t] = s; dfs(t); } }; p[r] = -1; dfs(r); return p; } int get_nimber_naive(int n, Graph g) { auto par = parent_of_tree(g, 0); dump(par); using T = vi; function&)> nxt = [&](const T& p, vector& nps) { rep(s, n) { if (p[s] == 1) continue; auto np(p); int t = s; while (t != -1) { np[t] = 1; t = par[t]; } nps.push_back(np); } }; vi ini(n, 0); auto gs = calc_nimber(ini, nxt); return gs[ini]; } //【貰う木 DP】O(n) /* * 与えられた r を根とする根付き木 g に対し,各頂点 s∈[0..n) について, * 部分木 s に関する問題の答えを格納したリストを返す. * * T leaf(int s) : * 葉 s のみからなる部分木についての答えを返す. * * T add_edge(T x, int p, int s) : * 部分木 s についての暫定の答えが x のとき, * 辺 p'→s を追加した部分木 p' についての答えを返す(記号 ' は仮の頂点を表す) * * void merge(T& x, T y, int s) : * 仮の根 s' を共有する部分木 2 つに対する答えがそれぞれ x, y のとき, * x 側に y 側をマージして部分木 s' についての答えを x に上書きする. * * void add_vertex(T& x, int s) : * 仮の根 s' をもつ部分木 s' に対する答えが x のとき, * 根 s を追加した部分木 s についての答えを x に上書きする. */ template vector tree_getDP(const Graph& g, int r) { // verify : https://atcoder.jp/contests/tdpc/tasks/tdpc_eel int n = sz(g); vector dp(n); // 部分木 s についての答えを計算する.(p : s の親) function dfs = [&](int s, int p) { // is_leaf : s が葉か bool is_leaf = true; repe(t, g[s]) { if (t == p) continue; // 部分木 t についての答えを計算する. dfs(t, s); // 部分木 t に対して辺 s'→t を追加した場合の部分木 s' についての答えを得る. T sub = add_edge(dp[t], s, t); // それを部分木 s' の暫定の答えとマージして答えを更新していく. if (is_leaf) dp[s] = move(sub); else merge(dp[s], sub, s); is_leaf = false; } // s が葉の場合は専用の答えを代入しておく. if (is_leaf) dp[s] = leaf(s); // そうでない場合は根 s を追加する. else add_vertex(dp[s], s); }; dfs(r, -1); return dp; /* 雛形 struct T { int v; }; T leaf(int s) { return T{ 1 }; } T add_edge(const T& x, int p, int s) { return x; } void merge(T& x, const T& y, int s) { x.v += y.v; } void add_vertex(T& x, int s) { x.v += 1; } vector solve_by_tree_getDP(const Graph& g, int r) { return tree_getDP(g, r); } */ }; //【XOR 区間の分割】O(log max(r, c)) /* * 集合 {x∈[0..∞) | l ≦ (x XOR c) < r} を O(log max(r, c)) 個の半開区間に分割し,そのリストを返す. */ template vector> XOR_interval_division(T l, T r, T c) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2505 chmax(l, T(0)); if (l >= r) return vector>(); int n = max(msb(r), msb(c)); vector> lrs; T val_l = 0, val_r = 0; bool eq = true; repir(i, n, 0) { T lb = getb(l, i), rb = getb(r, i), cb = getb(c, i); if (eq) { if (lb != rb) eq = false; } else { if (!lb) { T val_l2 = val_l + ((1 ^ cb) << i); lrs.emplace_back(val_l2, val_l2 + (T(1) << i)); } if (rb) { T val_r2 = val_r + ((0 ^ cb) << i); lrs.emplace_back(val_r2, val_r2 + (T(1) << i)); } } val_l += (lb ^ cb) << i; val_r += (rb ^ cb) << i; } lrs.emplace_back(val_l, val_l + 1); return lrs; } struct T { int g; int p; #ifdef _MSC_VER friend ostream& operator<<(ostream& os, const T& x) { os << '(' << x.g << ',' << x.p << ')'; return os; } #endif }; T leaf(int s) { return T{ 1, 0 }; } T add_edge(const T& x, int p, int s) { return T{ x.g + 1, x.g }; } void merge(T& x, const T& y, int s) { dump("x:", x, "y:", y); vi imos((x.p ^ y.p) + 2); imos[x.p ^ y.p]++; imos[(x.p ^ y.p) + 1]--; auto lrs1 = XOR_interval_division(0, x.g, y.p); for (auto [l, r] : lrs1) { if (sz(imos) <= r) imos.resize(r + 1); imos[l]++; imos[r]--; } auto lrs2 = XOR_interval_division(0, y.g, x.p); for (auto [l, r] : lrs2) { if (sz(imos) <= r) imos.resize(r + 1); imos[l]++; imos[r]--; } dump("imos:", imos); rep(i, sz(imos) - 1) { if (imos[i] == 0) { x.g = i; break; } imos[i + 1] += imos[i]; } x.p ^= y.p; } void add_vertex(T& x, int s) { ; } vector solve_by_tree_getDP(const Graph& g, int r) { return tree_getDP(g, r); } //【木のランダム生成】O(?) /* * n 頂点のランダムな木を返す. */ Graph create_random_tree(int n) { Graph g(n); static mt19937_64 mt; static bool first_call = true; if (first_call) { mt = mt19937_64((int)time(NULL)); first_call = false; } uniform_int_distribution rnd(0, n - 1); dsu d(n); while (d.size(0) < n) { int u = rnd(mt), v = rnd(mt); if (d.same(u, v)) continue; g[u].emplace_back(v); g[v].emplace_back(u); d.merge(u, v); } return g; } //【グラフの出力】O(n + m) /* * グラフを【グラフの入力】で受け取る入力と同じ形式で出力する. * * directed : 有向グラフか(省略すれば false) * zero_indexed : 入力が 0-indexed か(省略すれば false) */ void write_Graph(const Graph& g, bool directed = false, bool zero_indexed = false) { // verify : https://www.codechef.com/problems/B_BRANCH int n = sz(g); // m : 辺の数 int m = 0; rep(s, n) m += sz(g[s]); if (!directed) m /= 2; cout << n << " " << m << endl; rep(s, n) repe(t, g[s]) { if (!directed && s > t) continue; int u = s + (!zero_indexed), v = t + (!zero_indexed); cout << u << " " << v << " " << endl; } } //【区間の集合】 /* * Interval_set(T L = -INFL, T R = INFL) : O(1) * 定義域を [L..R) とし空で初期化する. * * int size() : O(1) * 区間の数を返す. * * pTT get(T x) : O(log n) * x が含まれる区間 [l..r) を返す(なければ {-1, -1} を返す) * * pTT get_right(T x) : O(log n) * x < l なる最左区間 [l..r) を返す(なければ {R+1, R+1} を返す) * * pTT get_left(T x) : O(log n) * r ≦ x なる最右区間 [l..r) を返す(なければ {L-1, L-1} を返す) * * insert(T l, T r) : ならし O(log n) * 区間 [l..r) を追加する.区間は自動的に結合される. * * erase(T l, T r) : ならし O(log n) * 区間 [l..r) を削除する.空の区間は自動的に削除される. * * vector get_all_intervals() : O(n) * 全ての区間 [l..r) からなるリストを返す. */ template class Interval_set { // L, R : 定義域が [L..R) であることを表す. T L, R; // l_to_r[l] : l を左端にもつ半開区間 [l..r) の右端 r map l_to_r; public: // 定義域を [L..R) とし空で初期化する. Interval_set(T L = -(T)INFL, T R = (T)INFL) : L(L), R(R) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2292 l_to_r[L - 1] = L - 1; l_to_r[R + 1] = R + 1; // 番兵 } // 区間の数を返す. int size() const { return sz(l_to_r); } // x が含まれる区間 [l..r) を返す(なければ {-1, -1} を返す) pair get(T x) const { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2292 Assert(L <= x && x < R); auto it = prev(l_to_r.upper_bound(x)); return it->second <= x ? make_pair(T(-1), T(-1)) : pair(*it); } // x < l なる最左区間 [l..r) を返す(なければ {R+1, R+1} を返す) pair get_right(T x) const { // verify : https://atcoder.jp/contests/code-festival-2015-qualb/tasks/codefestival_2015_qualB_d Assert(L <= x && x < R); auto it = l_to_r.upper_bound(x); return *it; } // r ≦ x なる最右区間 [l..r) を返す(なければ {L-1, L-1} を返す) pair get_left(T x) const { Assert(L <= x && x < R); auto it = prev(l_to_r.lower_bound(x)); return it->second <= x ? *it : *prev(it); } // 区間 [l..r) を追加する. void insert(T l, T r) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2292 chmax(l, L); chmin(r, R); if (l >= r) return; auto it = l_to_r.lower_bound(l); // [l..r) の左側と繋がる区間がある場合 auto pit = prev(it); if (l <= pit->second) { //if (l < pit->second) { // 隣り合う区間を結合したくない場合はこっち l = pit->first; it = pit; } while (true) { if (r < it->first) break; //if (r <= it->first) break; // 隣り合う区間を結合したくない場合はこっち // [l..r) の右側と繋がる区間がある場合 if (r <= it->second) { r = it->second; l_to_r.erase(it); break; } it = l_to_r.erase(it); } l_to_r[l] = r; } // 区間 [l..r) を削除する. void erase(T l, T r) { // verify : https://yukicoder.me/problems/no/2292 chmax(l, L); chmin(r, R); if (l >= r) return; auto it = l_to_r.lower_bound(l); // [l..r) の左側で削られる区間がある場合 auto pit = prev(it); if (l < pit->second) { // [l..r) を真に含む区間がある場合 if (r < pit->second) l_to_r[r] = pit->second; pit->second = l; } while (true) { if (r <= it->first) break; // [l..r) の右側で削られる区間がある場合 if (r < it->second) { T nr = it->second; l_to_r.erase(it); l_to_r[r] = nr; break; } it = l_to_r.erase(it); } } // 全ての区間 [l..r) からなるリストを返す. vector> get_all_intervals() const { // verify : https://atcoder.jp/contests/abc254/tasks/abc254_g vector> res; res.reserve(sz(l_to_r) - 2); repe(lr, l_to_r) { if (lr.first == L - 1 || lr.first == R + 1) continue; res.push_back(lr); } return res; } #ifdef _MSC_VER friend ostream& operator<<(ostream& os, const Interval_set& IS) { repe(p, IS.l_to_r) { if (p.first == IS.L - 1 || p.first == IS.R + 1) continue; os << "[" << p.first << "," << p.second << ") "; } return os; } #endif }; struct T2 { Interval_set s; int r; #ifdef _MSC_VER friend ostream& operator<<(ostream& os, const T2& x) { os << '(' << x.s << ',' << x.r << ')'; return os; } #endif }; T2 leaf2(int s) { T2 x; x.s.insert(0, 1); x.r = 0; return x; } T2 add_edge2(const T2& x, int p, int s) { auto [l, r] = x.s.get(0); T2 z(x); z.s.insert(r, r + 1); z.r = r; return z; } void merge2(T2& x, const T2& y, int s) { dump("x:", x, "y:", y); T2 z; auto tmp = x.s.get_all_intervals(); for (auto& [l, r] : tmp) { for (auto& [l2, r2] : XOR_interval_division(l, r, y.r)) { z.s.insert(l2, r2); } } auto tmp2 = y.s.get_all_intervals(); for (auto& [l, r] : tmp2) { for (auto& [l2, r2] : XOR_interval_division(l, r, x.r)) { z.s.insert(l2, r2); } } z.r = x.r ^ y.r; x = move(z); } void add_vertex2(T2& x, int s) { ; } vector solve_by_tree_getDP2(const Graph& g, int r) { return tree_getDP(g, r); } void bug_find() { #ifdef _MSC_VER // 合わない入力例を見つける. mute_dump = true; mt19937_64 mt; mt.seed((int)time(NULL)); uniform_int_distribution rnd(0LL, 1LL << 60); rep(hoge, 1000) { int n = rnd(mt) % 10 + 2; auto g = create_random_tree(n); auto res_naive = get_nimber_naive(n, g); auto dp = solve_by_tree_getDP2(g, 0); auto [l, r] = dp[0].s.get(0); auto res_solve = r; if (res_naive != res_solve) { cout << "----------error!----------" << endl; cout << "input:" << endl; write_Graph(g, 0, 1); cout << "results:" << endl; cout << res_naive << endl; cout << res_solve << endl; cout << "--------------------------" << endl; } } mute_dump = false; exit(0); #endif } int main() { // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); // bug_find(); int n; cin >> n; auto g = read_Graph(n); dump(get_nimber_naive(n, g)); dump("-----"); auto dp = solve_by_tree_getDP2(g, 0); dump(dp); int x = dp[0].s.get(0).second; vi res; function dfs = [&](int s, int p) { auto tmp = dp[s].s.get(0).second; x ^= tmp; x ^= dp[s].r; dump("s:", s, "x:", x); if (x == 0) { res.push_back(s); } repe(t, g[s]) { if (t == p) continue; dfs(t, s); } x ^= tmp; x ^= dp[s].r; }; dfs(0, -1); cout << "Alice" << endl; cout << sz(res) << endl; int K = sz(res); rep(k, K) cout << res[k] + 1 << " \n"[k == K - 1]; }