ウィルソンの定理(Wilson's theorem)は、素数$p$に対して$(p-1)! \equiv p-1 \pmod p$であると述べている。

非素数への一般化

$\delta(p^q)$を$p = 2$かつ$q \ge 3$のとき$1$、それ以外は$-1$、という関数とするとき、 $\displaystyle \prod_{1 \le x \lt p^q, \gcd(x,p) = 1} x \equiv \delta(p^q) \pmod {p^q}$ となる。 素数の累乗でない場合は中国人剰余定理をすればよい。

群への一般化

ある群に対して、その群の要素を全て足したものは$a + a = 0$となるような要素$a$の総和と等しくなる(ここでいう"足し算"は階乗の場合は掛け算となることに注意)。 これは、$a$と$-a$をペアにすることを考えれば、自分以外にペアの相手がいない要素のみが残るということである。