#897050 (C++17) No.1815 K色問題

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結果

問題	No.1815 K色問題
ユーザー	ecottea
提出日時	2023-08-01 05:04:19
言語	C++17 (gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果	AC
実行時間	554 ms / 2,000 ms
コード長	15,113 bytes
コンパイル時間	4,752 ms
コンパイル使用メモリ	280,032 KB
実行使用メモリ	6,548 KB
最終ジャッジ日時	2024-03-13 11:34:05
合計ジャッジ時間	7,110 ms
ジャッジサーバーID （参考情報）	judge12 / judge15
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入力	結果	実行時間実行使用メモリ
testcase_00	AC	2 ms 6,548 KB
testcase_01	AC	2 ms 6,548 KB
testcase_02	AC	2 ms 6,548 KB
testcase_03	AC	2 ms 6,548 KB
testcase_04	AC	2 ms 6,548 KB
testcase_05	AC	2 ms 6,548 KB
testcase_06	AC	66 ms 6,548 KB
testcase_07	AC	16 ms 6,548 KB
testcase_08	AC	361 ms 6,548 KB
testcase_09	AC	12 ms 6,548 KB
testcase_10	AC	17 ms 6,548 KB
testcase_11	AC	101 ms 6,548 KB
testcase_12	AC	2 ms 6,548 KB
testcase_13	AC	2 ms 6,548 KB
testcase_14	AC	493 ms 6,548 KB
testcase_15	AC	554 ms 6,548 KB
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ソースコード

raw source code
#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;	using vvvvi = vector<vvvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;	using vvvvl = vector<vvvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620;
double EPS = 1e-15;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
#define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

#ifdef _MSC_VER
#include "localACL.hpp"
#endif

using mint = modint1000000007;
//using mint = modint998244353;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);

namespace atcoder {
	inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
	inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
}
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>;
#endif


#ifdef _MSC_VER // 手元環境（Visual Studio）
#include "local.hpp"
#else // 提出用（gcc）
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_mat(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif


//【任意数列の列挙（要素ごと上限指定）】O(Πub[0..n))
/*
* 数列 a[0..n) で，∀i, a[i] ∈ [0..ub[i]) を満たすもの全てを格納したリストを返す．
*/
vvi enumerate_all_sequences(const vi& ub) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/arc104/tasks/arc104_e

	int n = sz(ub);
	vvi seqs;

	vi seq; // 作成途中の列
	int i = 0; // 列の長さ

	function<void()> rf = [&]() {
		// 完成していれば記録する．
		if (i == n) {
			seqs.push_back(seq);
			return;
		}

		rep(x, ub[i]) {
			seq.push_back(x); i++;
			rf();
			seq.pop_back(); i--;
		}
	};
	rf();

	return seqs;
}


mint naive(int n, ll m, int K) {
	vi ub(n * m, K);
	auto seqs = enumerate_all_sequences(ub);

	map<bool, mint> a1_to_cnt;
	vm cnt(K + 1);

	repe(a, seqs) {
		bool ok = true;
		rep(i, n) rep(j, m - 1) if (a[i * m + j] == a[i * m + (j + 1)]) ok = false;
		rep(i, n - 1) rep(j, m) if (a[i * m + j] == a[(i + 1) * m + j]) ok = false;
//		dump(a, ok);

		auto b(a);
		uniq(b);

		if (ok) {
			cnt[sz(b)]++;
//			a1_to_cnt[a[1] == a[5]]++;
		}
	}
//	dump(cnt);
//	dumpel(a1_to_cnt);

	return cnt[K];
}


//【正方行列（固定サイズ）】
/*
* Fixed_matrix<T, n>() : O(n^2)
*	T の要素を成分にもつ n×n 零行列で初期化する．
*
* Fixed_matrix<T, n>(bool identity = true) : O(n^2)
*	T の要素を成分にもつ n×n 単位行列で初期化する．
*
* Fixed_matrix<T, n>(vvT a) : O(n^2)
*	二次元配列 a[0..n)[0..n) の要素で初期化する．
*
* A + B : O(n^2)
*	n×n 行列 A, B の和を返す．+= も使用可．
*
* A - B : O(n^2)
*	n×n 行列 A, B の差を返す．-= も使用可．
*
* c * A ／ A * c : O(n^2)
*	n×n 行列 A とスカラー c のスカラー積を返す．*= も使用可．
*
* A * x : O(n^2)
*	n×n 行列 A と n 次元列ベクトル array<T, n> x の積を返す．
*
* x * A : O(n^2)
*	n 次元行ベクトル array<T, n> x と n×n 行列 A の積を返す．
*
* A * B : O(n^3)
*	n×n 行列 A と n×n 行列 B の積を返す．
*
* Mat pow(ll d) : O(n^3 log d)
*	自身を d 乗した行列を返す．
*/
template <class T, int n>
struct Fixed_matrix {
	array<array<T, n>, n> v; // 行列の成分

	// n×n 零行列で初期化する．identity = true なら n×n 単位行列で初期化する．
	Fixed_matrix(bool identity = false) {
		rep(i, n) v[i].fill(T(0));
		if (identity) rep(i, n) v[i][i] = T(1);
	}

	// 二次元配列 a[0..n)[0..n) の要素で初期化する．
	Fixed_matrix(const vector<vector<T>>& a) {
		// verify : https://yukicoder.me/problems/no/1000

		Assert(sz(a) == n && sz(a[0]) == n);
		rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] = a[i][j];
	}

	// 代入
	Fixed_matrix(const Fixed_matrix&) = default;
	Fixed_matrix& operator=(const Fixed_matrix&) = default;

	// アクセス
	inline array<T, n> const& operator[](int i) const { return v[i]; }
	inline array<T, n>& operator[](int i) { return v[i]; }

	// 入力
	friend istream& operator>>(istream& is, Fixed_matrix& a) {
		rep(i, n) rep(j, n) is >> a[i][j];
		return is;
	}

	// 比較
	bool operator==(const Fixed_matrix& b) const { return v == b.v; }
	bool operator!=(const Fixed_matrix& b) const { return !(*this == b); }

	// 加算，減算，スカラー倍
	Fixed_matrix& operator+=(const Fixed_matrix& b) {
		rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] += b[i][j];
		return *this;
	}
	Fixed_matrix& operator-=(const Fixed_matrix& b) {
		rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] -= b[i][j];
		return *this;
	}
	Fixed_matrix& operator*=(const T& c) {
		rep(i, n) rep(j, n) v[i][j] *= c;
		return *this;
	}
	Fixed_matrix operator+(const Fixed_matrix& b) const { return Fixed_matrix(*this) += b; }
	Fixed_matrix operator-(const Fixed_matrix& b) const { return Fixed_matrix(*this) -= b; }
	Fixed_matrix operator*(const T& c) const { return Fixed_matrix(*this) *= c; }
	friend Fixed_matrix operator*(const T& c, const Fixed_matrix& a) { return a * c; }
	Fixed_matrix operator-() const { return Fixed_matrix(*this) *= T(-1); }

	// 行列ベクトル積 : O(n^2)
	array<T, n> operator*(const array<T, n>& x) const {
		array<T, n> y{ 0 };
		rep(i, n) rep(j, n)	y[i] += v[i][j] * x[j];
		return y;
	}

	// ベクトル行列積 : O(n^2)
	friend array<T, n> operator*(const array<T, n>& x, const Fixed_matrix& a) {
		array<T, n> y{ 0 };
		rep(i, n) rep(j, n) y[j] += x[i] * a[i][j];
		return y;
	}

	// 積：O(n^3)
	Fixed_matrix operator*(const Fixed_matrix& b) const {
		// verify : https://yukicoder.me/problems/no/1000

		Fixed_matrix res;
		rep(i, n) rep(j, n) rep(k, n) res[i][j] += v[i][k] * b[k][j];
		return res;
	}
	Fixed_matrix& operator*=(const Fixed_matrix& b) { *this = *this * b; return *this; }

	// 累乗：O(n^3 log d)
	Fixed_matrix pow(ll d) const {
		Fixed_matrix res(true), pow2(*this);
		while (d > 0) {
			if (d & 1) res *= pow2;
			pow2 *= pow2;
			d /= 2;
		}
		return res;
	}

#ifdef _MSC_VER
	friend ostream& operator<<(ostream& os, const Fixed_matrix& a) {
		rep(i, n) {
			os << "[";
			rep(j, n) os << a[i][j] << " ]"[j == n - 1];
			if (i < n - 1) os << "\n";
		}
		return os;
	}
#endif
};


//【階乗など（法が大きな素数）】
/*
* Factorial_mint(int N) : O(n)
*	N まで計算可能として初期化する．
*
* mint fact(int n) : O(1)
*	n! を返す．
*
* mint fact_inv(int n) : O(1)
*	1/n! を返す（n が負なら 0 を返す）
*
* mint inv(int n) : O(1)
*	1/n を返す．
*
* mint perm(int n, int r) : O(1)
*	順列の数 nPr を返す．
*
* mint bin(int n, int r) : O(1)
*	二項係数 nCr を返す．
*
* mint mul(vi rs) : O(|rs|)
*	多項係数 nC[rs] を返す．（n = Σrs）
*/
class Factorial_mint {
	int n_max;

	// 階乗と階乗の逆数の値を保持するテーブル
	vm fac, fac_inv;

public:
	// n! までの階乗とその逆数を前計算しておく．O(n)
	Factorial_mint(int n) : n_max(n), fac(n + 1), fac_inv(n + 1) {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b

		fac[0] = 1;
		repi(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i;

		fac_inv[n] = fac[n].inv();
		repir(i, n - 1, 0) fac_inv[i] = fac_inv[i + 1] * (i + 1);
	}
	Factorial_mint() : n_max(0) {} // ダミー

	// n! を返す．
	mint fact(int n) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b

		Assert(0 <= n && n <= n_max);
		return fac[n];
	}

	// 1/n! を返す（n が負なら 0 を返す）
	mint fact_inv(int n) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/abc289/tasks/abc289_h

		Assert(n <= n_max);
		if (n < 0) return 0;
		return fac_inv[n];
	}

	// 1/n を返す．
	mint inv(int n) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/exawizards2019/tasks/exawizards2019_d

		Assert(0 < n && n <= n_max);
		return fac[n - 1] * fac_inv[n];
	}

	// 順列の数 nPr を返す．
	mint perm(int n, int r) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/abc172/tasks/abc172_e

		Assert(n <= n_max);

		if (r < 0 || n - r < 0) return 0;
		return fac[n] * fac_inv[n - r];
	}

	// 二項係数 nCr を返す．
	mint bin(int n, int r) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/abc034/tasks/abc034_c

		Assert(n <= n_max);
		if (r < 0 || n - r < 0) return 0;
		return fac[n] * fac_inv[r] * fac_inv[n - r];
	}

	// 多項係数 nC[rs] を返す．
	mint mul(const vi& rs) const {
		// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2141

		if (*min_element(all(rs)) < 0) return 0;
		int n = accumulate(all(rs), 0);
		Assert(n <= n_max);

		mint res = fac[n];
		repe(r, rs) res *= fac_inv[r];

		return res;
	}
};


//【下位メビウス変換（大きさ依存，最大元）】O(N)
/*
* [0..N) 上の集合関数 f(S) の下位集合からの累積和
*		g(S) = ΣT⊂S f(T) （S : [0..N) の部分集合）
* が S の大きさ |S| のみに依存する関数 g[|S|] を用いて
*		g(S) = g[|S|]
* と書けるとする．与えられた g[0..N] に対応する f([0..N)) を返す．
*
* 具体的には
*		f([0..N)) = Σk⊂[0..N] (-1)^(N-k) bin(N,k) g[k]
* で表される．
*
* 制約：fm は N! まで計算可能
*/
mint set_submobius_size_top(const vm& g, const Factorial_mint& fm) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/abc172/tasks/abc172_e

	int N = sz(g) - 1;

	mint f0;
	repi(k, 0, N) f0 += ((N - k) % 2 ? -1 : 1) * fm.bin(N, k) * g[k];

	return f0;
}


int main() {
	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

	int n; ll m; int K;
	cin >> n >> m >> K;
	dump(n, m, K); dump("-----");

	dump(naive(n, m, K)); dump("----");

	vm cnt(K + 1);

	if (n == 1) {
		repi(k, 0, K) {
			mint mat = 0;
			mat += mint(k - 1);

			mat = mat.pow(m - 1);

			mint vec = mint(k);

			vec = mat * vec;

			cnt[k] = vec;
		}
	}
	else if (n == 2) {
		repi(k, 0, K) {
			mint mat = 0;
			mat += mint(k - 2) * (k - 2);
			mat += mint(1) * (k - 1);

			mat = mat.pow(m - 1);

			mint vec = mint(k) * (k - 1);

			vec = mat * vec;

			cnt[k] = vec;
		}
	}
	else if (n == 3) {
		repi(k, 0, K) {
//			dump("---", k, "---");
			Fixed_matrix<mint, 2> mat;

			mat[0][0] += mint(k - 3) * (k - 4) * (k - 3);
			mat[0][0] += mint(k - 3) * (1) * (k - 3);
			mat[0][0] += mint(k - 3) * (1) * (k - 2);
			mat[0][0] += mint(1) * (k - 3) * (k - 3);
			mat[0][0] += mint(1) * (1) * (k - 3);
			mat[0][0] += mint(1) * (1) * (k - 2);
			mat[0][0] += mint(1) * (k - 3) * (k - 2);
			mat[0][0] += mint(1) * (1) * (k - 2);

			mat[1][0] += mint(k - 3) * (k - 4);
			mat[1][0] += mint(k - 3) * (1);
			mat[1][0] += mint(k - 3) * (1);
			mat[1][0] += mint(1) * (k - 3);
			mat[1][0] += mint(1) * (1);
			mat[1][0] += mint(1) * (1);

			mat[0][1] += mint(k - 2) * (k - 3) * (k - 3);
			mat[0][1] += mint(k - 2) * (1) * (k - 2);
			mat[0][1] += mint(1) * (k - 2) * (k - 3);
			mat[0][1] += mint(1) * (1) * (k - 2);

			mat[1][1] += mint(k - 2) * (k - 3);
			mat[1][1] += mint(k - 2) * (1);
			mat[1][1] += mint(1) * (k - 2);
			mat[1][1] += mint(1) * (1);
//			dump(mat);

			mat = mat.pow(m - 1);
//			dump(mat);

			array<mint, 2> vec;
			vec[0] = mint(k) * (k - 1) * (k - 2);
			vec[1] = mint(k) * (k - 1);
//			dump(vec);

			vec = mat * vec;
//			dump(vec);

			cnt[k] = vec[0] + vec[1];
		}
	}

	Factorial_mint fm(K);

//	dump(cnt);
	auto res = set_submobius_size_top(cnt, fm);

	cout << res << endl;
}