問題文

ある生物の各個体は，生まれると同時に個体値として $1,\dots ,N$ のいずれかの整数値が与えられます． また，生まれてからちょうど $1$ 日後に $0$ 個以上の個体を生み，それと同時に自身は消滅します．

生まれる個体の個体値と，$1$ 個体が生む個体数は，以下のように他の個体とは独立に確率的に定まります:

• 生まれる個体の個体値が $i(=1,\dots ,N)$ である確率は $p_i$，
• 個体値 $i$ の $1$ 個体が生む個体数が $k(=0,1,\dots )$ である確率は $(1-q_i)q_i^k$．

今，個体値 $1,\dots ,N$ の個体が $A_1,\dots ,A_N$ 個ずつ生まれました．他に個体は存在しません． ${10}^{{10}^{100}}$ 日後に生物が絶滅している，つまり個体数が $0$ になっている確率 $P$ を求めて下さい．

$P$ は非常に小さい可能性があるため，自然対数 $\log P$ の値を出力してください． この問題の制約の下，$P>0$ となることが示せます．

入力

入力は以下の形式で与えられる:

$N$
$p_1{p}_2\cdots p_N$
$q_1{q}_2\cdots q_N$
$A_1{A}_2\cdots A_N$

• $N,A_1,\dots ,A_N$ は整数
• $p_1,\dots ,p_N,q_1,\dots ,q_N$ は小数点以下 $6$ 桁の小数（$6$ 桁になるよう $0$ 埋めされる）
• $1\le N\le {10}^5$
• $0<p_i\le 1(1\le i\le N)$
• $\sum _{i=1}^N{p}_i=1$
• $0.6\le q_i\le 0.9(1\le i\le N)$
• $0\le A_i\le {10}^4(1\le i\le N)$

補足: 少々不自然に見える $q_i$ に関する制約は，double 型を使えば数値誤差をさほど気にしなくても正解となるようにするためのものです．

出力

${10}^{{10}^{100}}$ 日後に生物が絶滅している確率 $P$ に対し，自然対数 $\log P$ の値を出力せよ． 最後に改行を出力すること．

なお，想定解答との絶対誤差または相対誤差が ${10}^{-5}$ 以下であれば正解となる．

サンプル

1
1.000000
0.600000
1

-0.4054651081

2
0.900000 0.100000
0.900000 0.900000
0 0

0

6
0.332343 0.068862 0.076451 0.120693 0.263170 0.138481
0.839426 0.728493 0.810372 0.839476 0.827081 0.890719
7481 5029 9181 6723 8291 9836

-75700.00551