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No.1263 ご注文は数学ですか?

レベル : / 実行時間制限 : 1ケース 2.000秒 / メモリ制限 : 512 MB / 通常問題
タグ : / 解いたユーザー数 5
作問者 : PCTprobabilityPCTprobability / テスター : kozykozy
3 ProblemId : 5323 / 出題時の順位表
問題文最終更新日: 2020-10-17 00:28:44

問題文

多重ゼータ値については以下のページを参考にしてください。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E5%80%A4

ただし、多重ゼータ値の定義においてインデックスの要素は $1$ 以上の実数とします。

$a$ が $1$ より大きい実数、$n$ が $2$ 以上の整数の時 、$S_{n,a}$を
depth $1$ かつ indexが全て $a$ の倍数であるゼータ値から weightが $na$ になるように選んだものの積からなる数列
と定義し、 また$S_{n,a}$の$i$番目を$(S_{n,a})_i$と表すことにします。
ここで $S_{n,a}$ の長さは $p(n)$($n$ の分割数)となることが保証されます。

  • ex: $S_{4,2}=$ { $ζ(2)^4,ζ(4)ζ(2)^2,ζ(6)ζ(2),ζ(4)^2,ζ(8)$ }
ある $2$ 以上の正整数 $x$ が与えられます。以下の条件を満たす有理数列 $f$ それぞれに対し、全要素の積に $x!^{p(x)}$ ($p(x)$ は $x$ の分割数)をかけ、その総和を$1000000007$ で割った余りを出力してください。この値は整数になることが保証されます。
  • $1$ より大きい全ての実数 $y$ に対して \( \displaystyle \sum_{i=1}^{p(x)} (S_{x,y})_i×f_i \) $=ζ(y,y,...,y)(y$ が $x$ 個) (21:54 $S_{y,x}$ を $S_{x,y}$ に修正しました。)
  • \( \displaystyle \sum_{i=1}^{p(x)} f_i=0 \)
ここで $S_{y,x}$ の順番はどのようにしても答えが一意に定まることが保証されます。 同時に $f$ としてあり得る数列は存在し、かつ有限であることも証明できます。

入力

$x$

  • 入力は全て整数である。
  • $2 \le x \le 8$

出力

$f$ としてあり得るものの全要素の積に $x!^{p(x)}$ をかけたものの総和を $1000000007$ で割った余りを出力してください。

サンプル

サンプル1
入力
2
出力
1000000006

$S_{2,a}={ζ(a)^2,ζ(2a)}$ です。この時 $ζ(a,a)= \frac{ζ(a)^2}{2}- \frac{ζ(2a)}{2}$ が成り立ち、かつこれ以外に条件を満たす有理数列 $f$ が存在しないことが証明できます。 この時 $f=$ { $ \frac{1}{2} , -\frac{1}{2} $ }なので要素の積は $ -\frac{1}{4}$ です。これに $2!^{p(2)}=4$ をかけた $-1$ を $1000000007$ で割った余りの $1000000006$ を出力してください。

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