正整数 $n$ に対し、$n$ 次の置換とは大雑把には $n$ 以下の正整数をシャッフルする関数のことです。より正確には以下のように定義されます：

定義（置換）

$n$ 以下の正整数全体の集合を $I_n$ と置く。$n$ 次の置換とは、 $I_n$ から $I_n$ への全単射な写像である。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$a$ を $n$ 次の置換とします。$a$ が互換であるとは、大雑把には $a$ がちょうど $2$ つの数を入れ替えるということです。より正確には、以下を満たす $n$ 以下の正整数 $i$ と $j$ が存在するということです：

1. $i \neq j$ である。
2. $a(i) = j$ である。
3. $a(j) = i$ である。
4. $n$ 以下の任意の正整数 $k$ に対し、$k \neq i$ かつ $k \neq j$ ならば、$a(k) = k$ である。

$a$ の符号は $\textrm{sgn}(a)$ と書かれる整数で、それは以下のように定義されます：

1. $a$ が偶数個の互換の合成で表せるならば、$\textrm{sgn}(a) = 1$ である。
2. $a$ が偶数個の互換の合成で表せないならば、$\textrm{sgn}(a) = -1$ である。

ただし $0$ は偶数であり、互換 $0$ 個の合成は恒等置換として定義されます。