No.2181 LRM Question 2
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作問者 :
MasKoaTS
/ テスター :
37zigen
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potato167
問題文
正整数 $L, R, M$ が与えられます。次の値を $M$ で割った余りを求めてください。
$\displaystyle \sum_{n=L}^{R} \left( \left( \prod_{i=1}^{n} \dfrac{ 1 }{ i^{2} } \right) \sum_{i=1}^{n-1} \left( \prod_{j=1}^{i} (n - j + 1)^{2} \prod_{j=i+1}^{n} j^{2} \right) \right)$
なお、本問の制約下において、上式の値は必ず非負整数となることが保証されます。
$\sum, \prod$ の定義（クリックで展開）
長さ $n$ の数列 $a = ( a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} )$ に対して、$\displaystyle \sum_{i=l}^{r} a_{i}$ 及び $\displaystyle \prod_{i=l}^{r} a_{i}$ は次のように定義されます。
$\displaystyle \sum_{i=l}^{r} a_{i} = a_{l} + a_{l+1} + \cdots + a_{r}$
$\displaystyle \prod_{i=l}^{r} a_{i} = a_{l} \times a_{l+1} \times \cdots \times a_{r}$
ただし、$n,l,r$ はいずれも $1 \leq l \leq r \leq n$ を満たす整数とします。
制約
$2 \leq L \leq R \leq 10^{18}$
$R - L \leq 10^{5}$
$1 \leq M \leq 10^{6}$
入力はすべて整数
入力
入力は次の形式で与えられます。
$L$ $R$ $M$
$1$ 行目には $L, R, M$ がこの順に半角スペース区切りで与えられる
出力
答えを $1$ 行に出力してください。
サンプル
サンプル1
入力
2 5 8
出力
4
$\displaystyle f(L,R) = \sum_{n=L}^{R} \left( \left( \prod_{i=1}^{n} \dfrac{ 1 }{ i^{2} } \right) \sum_{i=1}^{n-1} \left( \prod_{j=1}^{i} (n - j + 1)^{2} \prod_{j=i+1}^{n} j^{2} \right) \right)$ として、 $$ \begin{aligned} &g_{1}(n) = \prod_{i=1}^{n} \dfrac{ 1 }{ i^{2} }, \\ &g_{2}(n) = \sum_{i=1}^{n-1} \left( \prod_{j=1}^{i} (n - j + 1)^{2} \prod_{j=i+1}^{n} j^{2} \right), \\ &h_{1}(i) = \prod_{j=1}^{i} (n - j + 1)^{2}, \\ &h_{2}(i) = \prod_{j=i+1}^{n} j^{2} \end{aligned} $$ とすると、 $$ g_{2}(n) = \sum_{i=1}^{n-1} ( h_{1}(i) \times h_{2}(i) ) $$ であり、 $$ f(L,R) = \sum_{n=L}^{R} ( g_{1}(n) \times g_{2}(n) ) $$ です。
このとき、$f(2,5) = 340$ であり、これを $8$ で割った余りは $4$ となります。
サンプル2
入力
2 2 2
出力
0
$f(2,2) = 4$ であり、これは $2$ で割り切れます。
サンプル3
入力
999999999999900000 1000000000000000000 1000000
出力
599998
$f(L,R)$ の値は非常に大きくなる可能性があります。
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