正整数 $n$ に対し、$n$ 次の置換とは大雑把には $n$ 以下の正整数をシャッフルする関数のことです。より正確には以下のように定義されます：

定義（置換）

$n$ 以下の正整数全体の集合を $I_n$ と置く。$n$ 次の置換とは、 $I_n$ から $I_n$ への全単射な写像である。

例えば $I_n$ の恒等写像は $n$ 次の置換であり、恒等置換と呼ばれます。

$n$ 次の置換 $a$ と $b$ が与えられた時、その写像としての合成 $a \circ b$ もまた $n$ 次の置換となり、それを $a$ と $b$ の合成置換と呼びます。つまり合成置換 $a \circ b$ は、$n$ 以下の各正整数 $i$ を $a(b(i))$ に送る写像として定まる $n$ 次の置換です。

$n$ 次の置換を表示するには様々な方法があり、例えば正整数 $i$ の行き先を $i$ が小さい順に列挙する記法を $1$ 行記法と呼びます。

$1$ 行記法は流儀によっては列挙した数値全体をカッコで囲んだり列挙した数値をコンマで区切ったりしますが、ここではカッコで囲まず空白で区切ることにします。

例えば $n = 5$ の時を考えましょう。$5$ 以下の各正整数 $i$ を $2i \equiv j \pmod{5}$を満たす $5$ 以下の一意な正整数 $j$ に送る写像 $a$ は $5$ 次の置換であり、

$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle a(1) &\displaystyle = &\displaystyle 2 \\ \displaystyle a(2) &\displaystyle = &\displaystyle 4 \\ \displaystyle a(3) &\displaystyle = &\displaystyle 1 \\ \displaystyle a(4) &\displaystyle = &\displaystyle 3 \\ \displaystyle a(5) &\displaystyle = &\displaystyle 5 \end{array} $

であるので $1$ 行記法では $a$ が

$\displaystyle 2 \ 4 \ 1 \ 3 \ 5 $

と表記されます。より一般に、$5$ 次の置換 $a$ は $1$ 行記法で

$\displaystyle a(1) \ a(2) \ a(3) \ a(4) \ a(5) $

と表記されることになります。