入力

1
2

出力

1

今回は $A = 1$、$B = 2$ です。

$\alpha = 1$ と定めた時に $\alpha$ が片側極限

$\displaystyle \lim_{x \to B + 0} A^x$

の定義を満たすことを示しましょう。

$\epsilon$ を正実数とします。正実数 $\delta$ を $100$ と定めます。この $\delta$ が条件

「任意の正実数 $x$ に対し、$0 < x - B < \delta$ ならば $|A^x - \alpha| < \epsilon$ である」

を満たすことを確認すれば良いです。

$x$ を正実数とし、$0 < x - B < \delta$ とします。この時、

$\displaystyle |A^x - \alpha| = |1^x - 1| = |1 - 1| = 0 < \epsilon$

となるので、$\delta$ が確かに条件を満たすことが確認できました。

以上より、$\alpha$ が確かに片側逆極限

$\displaystyle \lim_{x \to B + 0} A^x$

の定義を満たすことが確認できました。

入力

2
3

出力

8

今回は $A = 2$、$B = 3$ です。

$\alpha = 8$ と定めた時に $\alpha$ が片側極限

$\displaystyle \lim_{x \to B + 0} A^x$

の定義を満たすことを示しましょう。

$\epsilon$ を正実数とします。実数 $\delta$ を

$\displaystyle \delta = \log_2 \left( 1 + \frac{1}{8} \epsilon \right)$

と定めると、これは $1$ より大きい正実数に $\log_2$ を適用したものなので正となります。

この $\delta$ が条件

「任意の正実数 $x$ に対し、$0 < x - B < \delta$ ならば $|A^x - \alpha| < \epsilon$ である」

を満たすことを確認すれば良いです。

$x$ を正実数とし、$0 < x - B < \delta$ とします。この時、

$\displaystyle |A^x - \alpha| = |2^x - 8| = 8 \times |2^{x-B} - 1|$

となります。$0 < x - B < \delta$ より

$\displaystyle 2^0 < 2^{x-B} < 2^{\delta}$

すなわち

$\displaystyle 1 < 2^{x-B} < 1 + \frac{1}{8} \epsilon$

となります。従って各辺から $1$ を引くことで

$\displaystyle 0 < 2^{x-B} - 1 < \frac{1}{8} \epsilon$

を得ますが、絶対値の定義から特に

$\displaystyle |2^{x-B} - 1| < \frac{1}{8} \epsilon$

となります。このことと先程示した等式

$\displaystyle |A^x - \alpha| = 8 \times |2^{x-B} - 1|$

を合わせて

$\displaystyle |A^x - \alpha| < \epsilon$

となるので、$\delta$ が確かに条件を満たすことが確認できました。

以上より、$\alpha$ が確かに片側逆極限

$\displaystyle \lim_{x \to B + 0} A^x$

の定義を満たすことが確認できました。

入力

3
2

出力

9

今回は $A = 3$、$B = 2$ です。

$\alpha = 9$ と定めた時に $\alpha$ が片側極限

$\displaystyle \lim_{x \to B + 0} A^x$

の定義を満たすことを示しましょう。

$\epsilon$ を正実数とします。実数 $\delta$ を

$\displaystyle \delta = \log_3 \left( 1 + \frac{1}{9} \epsilon \right)$

と定めると、これは $1$ より大きい正実数に $\log_3$ を適用したものなので正となります。

この$\delta$ が条件

「任意の正実数 $x$ に対し、$0 < x - B < \delta$ ならば $|A^x - \alpha| < \epsilon$ である」

を満たすことを確認すれば良いです。

$x$ を正実数とし、$0 < x - B < \delta$ とします。この時、

$\displaystyle |A^x - \alpha| = |3^x - 9| = 9 \times |3^{x-B} - 1|$

となります。$0 < x - B < \delta$ より $\displaystyle 3^0 < 3^{x-B} < 3^{\delta}$

すなわち

$\displaystyle 1 < 3^{x-B} < 1 + \frac{1}{9} \epsilon$

となります。従って各辺から $1$ を引くことで

$\displaystyle 0 < 3^{x-B} - 1 < \frac{1}{9} \epsilon$

を得ますが、絶対値の定義から特に

$\displaystyle |3^{x-B} - 1| < \frac{1}{9} \epsilon$

となります。このことと先程示した等式

$\displaystyle |A^x - \alpha| = 9 \times |3^{x-B} - 1|$

を合わせて

$\displaystyle |A^x - \alpha| < \epsilon$

となるので、$\delta$ が確かに条件を満たすことが確認できました。

以上より、$\alpha$ が確かに片側逆極限

$\displaystyle \lim_{x \to B + 0} A^x$

の定義を満たすことが確認できました。