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No.2632 Center of Three Points in Lp Norm

レベル : / 実行時間制限 : 1ケース 2.000秒 / メモリ制限 : 512 MB / スペシャルジャッジ問題 （複数の解が存在する可能性があります）
タグ : / 解いたユーザー数 5
作問者 : 👑 tatyamtatyam / テスター : noya2noya2 tassei903tassei903
3 ProblemId : 10678 / 出題時の順位表 / 自分の提出
問題文最終更新日: 2024-02-16 21:32:49

問題文

$$ \gdef\norm#1{\|#1\|_p} $$

平面上に $3$ 点 $\bm a, \bm b, \bm c \in \R^2$ があります。 $3$ 点は同一直線上にないことが保証されます。

実数 $p\ (p > 1)$ が与えられます。平面上の点 $\bm o \in \R^2$ であって $\norm{\bm a - \bm o} = \norm{\bm b - \bm o} = \norm{\bm c - \bm o}$ を満たすものは一意に存在することが示せます。 これを求めてください。

$\norm{\cdot}$ とは？

$\bm v = (v_x, v_y) \in \R^2$ に対し、$\norm{\bm v} := \sqrt[p]{|v_x|^p + |v_y|^p}$ で定義される関数 $\norm{\cdot}$ を $\R^2$ 上の $L_p$ ノルム と呼びます。

入力

$\bm a = (a_x, a_y), \bm b = (b_x, b_y), \bm c = (c_x, c_y)$ としたとき、入力は以下の形式で与えられる。

$p$
$a_x$ $a_y$
$b_x$ $b_y$
$c_x$ $c_y$
  • $1 < p \le 10$
  • $p$ は小数第 $2$ 位までで表現可能である。
  • $p$ は小数第 $2$ 位まで与えられる。
  • $a_x, a_y, b_x, b_y, c_x, c_y$ は整数
  • $|a_x|, |a_y|, |b_x|, |b_y|, |c_x|, |c_y| \le 10^6$
  • $\bm a, \bm b, \bm c$ は同一直線上にない。すなわち、$(b_x - a_x)(c_y - a_y) \ne (b_y - a_y)(c_x - a_x)$ である。

出力

答えを $\bm o = (o_x, o_y)$ としたとき、以下の形式で出力せよ。

$o_x$ $o_y$
  • $|o_x|, |o_y| \le 10^6$ となるような入力しか与えられないことが保証される。
  • $o_x, o_y$ の両方について、想定回答との誤差が $10^{-6} \times \max\lbrace|a_x|, |a_y|, |b_x|, |b_y|, |c_x|, |c_y|, |o_x|, |o_y|\rbrace$ 以下であれば正解として扱われる。
  • 想定回答の真の値との誤差は $10^{-9} \times \max\lbrace|a_x|, |a_y|, |b_x|, |b_y|, |c_x|, |c_y|, |o_x|, |o_y|\rbrace$ 以下であることが保証される。

サンプル

サンプル1
入力
2.00
0 0
1 2
2 1
出力
0.8333333333333333 0.8333333333333333

$p = 2$ のときユークリッドノルムであるので、三角形 $abc$ の外心を求める問題といえます。 $3$ 点 $(0, 0), (1, 2), (2, 1)$ からなる三角形の外心は $(\frac56, \frac56)$ です。

サンプル2
入力
1.01
0 0
10 11
10 12
出力
-67404.742292524454 11.500000000000
サンプル3
入力
10.00
1000000 1000000
1000000 -1000000
-1000000 1000000
出力
0.000000000000 0.000000000000
サンプル4
入力
1.30
-470435 45348
-761809 816083
-981690 690686
出力
-773918.441905843330 323415.921812938722

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