問題一覧 > 教育的問題

No.2971 無理積分

レベル : / 実行時間制限 : 1ケース 1.000秒 / メモリ制限 : 512 MB / スペシャルジャッジ問題 （複数の解が存在する可能性があります）
タグ : / 解いたユーザー数 54
作問者 : 👑 p-adic / テスター : hiro1729
0 ProblemId : 10067 / 出題時の順位表 / 自分の提出
問題文最終更新日: 2024-08-10 07:42:35

注意

この問題の実行時間制限は1000[ms]です。

問題文

入力に非負整数 NN が与えられます。

∫01x3+N3 dx\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x^3 + N^3} \ dx

を求めてください。

入力

入力は以下の形式で標準入力から 11 行で与えられます：

  • 11 行目に NN が与えられます。
NN

制約

入力は以下の制約を満たします：

  • NN は 0≤N≤1030 \leq N \leq 10^3 を満たす整数である。

出力

∫01x3+N3 dx\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x^3 + N^3} \ dx

の値を小数表示で 11 行で出力してください。

最後に改行してください。

　

なお、この問題はスペシャルジャッジを用いた小数誤差許容問題です。厳密な答えの小数点以下 66 桁精度近似値からの絶対誤差が 10−310^{-3} 以下であれば正解となります。

ただしここで実数 xx の小数点以下 66 桁精度近似値とは、小数点以下高々 66 桁の有限小数表示を持ち xx を超えない最大の実数を表します。

出力は上述した形式に厳格に従ってください。例えば余計な空白がある場合のジャッジの挙動は保証されません。

また、ジャッジ側の都合で出力は 100100 文字以下にしてください。

サンプル

サンプル1
入力
0
出力
0.4

被積分関数 x3+N3=x32\sqrt{x^3 + N^3} = x^{\frac{3}{2}} は原始関数 25x52\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} を持ちます。従って

∫01x3+N3 dx=[25x52]01=25×152−25×052=25=0.4\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x^3 + N^3} \ dx = \left[ \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \right]_0^1 = \frac{2}{5} \times 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \times 0^{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} = 0.4

となります。この他にも 

0.401

や 

0.399

と出力すると相対誤差は 2.5×10−3>10−32.5 \times 10^{-3} > 10^{-3} ですが絶対誤差が 10−310^{-3} となり正解となります。一方で 

0.4011

や 

0.3989

と出力すると絶対誤差が 10−3+10−4>10−310^{-3} + 10^{-4} > 10^{-3} となり不正解となります。

サンプル2
入力
1
出力
1.111447

求める積分値の小数点以下 66 桁精度近似値は 1.1114471.111447 です。この他にも 

1.110447

や 

1.112447

と出力しても絶対誤差が 10−310^{-3} となり正解となりますが、 

1.1104469999999

や 

1.1124470000001

と出力すると相対誤差は 10−310^{-3} 以下ですが絶対誤差が 10−3+10−10>10−310^{-3} + 10^{-10} > 10^{-3} となり不正解となります。

サンプル3
入力
2
出力
2.871864

求める積分値の小数点以下 66 桁精度近似値は 2.8718642.871864 です。

提出するには、Twitter 、GitHub、 Googleもしくは右上の雲マークをクリックしてアカウントを作成してください。