問題文

入力に整数 $N$ が与えられます。

極限

$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m!} \sum_{k = 0}^{m! - 1} \frac{e^{2 kN \pi i / (m!)}}{e^{4 k \pi i / (m!)} + e^{2 k \pi i / (m!)} + 10} $

を求めてください。ただし $e$ は自然対数の底で、$\pi$ は円周率で、$i$ は虚数単位です。

背景

この極限は $p$ 進解析で用いられるシュニレルマン積分という積分^{[1] p. 488, [2] p. 2522}を複素解析に翻訳したものですが、計算には $p$ 進解析の知識が不要です。

元々の $p$ 進解析における文脈では、素数 $p$ を固定し、複素数体 $\mathbb{C}$ の代わりに $p$ 進複素数体 $\mathbb{C}_p$ を考え、$e$ の冪乗の代わりに $\mathbb{C}_p$ における $1$ の冪根を考え、$m!$ の代わりに $m$ を考え、$m \to \infty$ の代わりに $m$ が $p$ と互いに素な正整数全体を渡らせて約数関係に関する有向極限というものを考えます。

有向極限の理解には位相の知識が必要なので詳しくは説明しませんが、これは素数 $p$ を固定し、複素数体 $\mathbb{C}$ の代わりに $p$ 進複素数体 $\mathbb{C}_p$ を考え、$e$ の冪乗の代わりに $\mathbb{C}_p$ における $1$ の冪根を考え、$m!$ の代わりに $m$ 以下の $p$ と互いに素な正整数の総乗を考えて $m \to \infty$ とした極限と等価です。

入力

$N$

制約

入力は以下の制約を満たします：

• $N$ は $-20 \leq N \leq 20$ を満たす整数

出力

答えは分母が $10$ 冪であるような分数表示で表せることが証明可能です。

つまり整数 $n$ と $10$ の冪乗で表せる整数 $d$ を用いて $n/d$ と表せるので、そのような $n,d$ の組を/区切りで $1$ 行に出力してください。

$n$/$d$

最後に改行してください。

この問題はスペシャルジャッジ問題です。正解となる組は一意ではありませんが、どれを出力しても構いません。

ただし出力は上述した形式に厳格に従ってください。例えば余計な空白がある場合のジャッジの挙動は保証されません。

またジャッジの都合上、出力は $100$ 文字以下にしてください。

サンプル

0

1/10

1

0/1

-20

-9939764889/1000000000000000000000

出典

1. Л. Г. Шнирельман (L. G. Schnirelmann), О функциях в нормированных алгебраически замкнутых телах (French official title: Sur les fonctions dans les corps normés et algébriquement fermés, English title referered to from [2]: On functions in normed, algebraically closed fields), Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk SSSR Seriya Matematicheskaya, 2:5-6, pp. 487--498 (1938). (French summary)
2. M. M. Vishik, Nonarchimedean Spectral Theory, Journal of Soviet Mathematics volume 30, pp. 2513--2555 (1985).