No.3094 Character Table
問題文最終更新日: 2023-09-12 21:22:28
問題文
指標表の値を $1$ つ隠したものが与えられるので、隠された値を答えてください。
詳細な問題文
有限群 $G$ に既約指標がちょうど $N$ 個存在したとし、それらを $\chi_1,\ldots,\chi_N$ とします。このとき $G$ には共役類が $N$ 個存在します。$N$ 個の共役類から $1$ つずつ元を選び、それらを $g_1,\ldots,g_N$ とします。$A_{ij}=\chi_i(g_j)$ とするとき、$N$ 次正方行列 $A$ を指標表と呼びます。
いま、$N$ 次正方行列 $A$ が与えられます。この $A$ はちょうど $1$ つの組 $(i,j)$ に対して $A_{ij}$ が ?
となっており、これを適切な整数に置き換えるとある群の指標表となります。この整数を求めてください。
制約
- $N$ は $1$ 以上 $10$ 以下の整数
- ちょうど $1$ つの組 $(i,j)$ に対して $A_{ij}$ は
?
であり、それ以外の $(i,j)$ に対して $A_{ij}$ は整数 - 指標表としてあり得るもののみが与えられる
入力
$N$ $A_{11}$ $\ldots$ $A_{1N}$ $\vdots$ $A_{N1}$ $\ldots$ $A_{NN}$
出力
適切な整数を出力してください。
サンプル
サンプル1
入力
3 1 1 1 1 -1 1 ? 0 -1
出力
2
$3$ 次対称群の指標表です。
サンプル2
入力
5 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 2 0 ? 0 -2 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
出力
0
位数 $8$ の二面体群および四元数群の指標表です。
サンプル3
入力
1 ?
出力
1
単位群の指標表です。
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