No.5023 Airlines Optimization
タグ : / 解いたユーザー数 31
作問者 :
e869120
/ テスター :
重要: AI の使用について
本コンテストにおける AI の使用については、AtCoder Heuristic Contest 生成AI利用ルール - 20250616版 に従います。
問題文
ある国は中心座標 $(0, 0)$、半径 $R$ の円からなります。 その中に $N$ 個の都市があり、 $i$ 番目 $(1 \leq i \leq N)$ の都市の座標は $(x_i, y_i)$、人口は $w_i$ 人です。
本国の航空は、現在「スクエア航空会社」のみが席巻しています。 スクエア航空会社は、毎日 $M$ 本の便を運航しており、 $i$ 便目 $(1 \leq i \leq M)$ は都市 $a_i$ を時刻 $s_i$ に出発し、都市 $b_i$ に時刻 $t_i$ に到着するものです。 ここで、所要時間 $t_i - s_i$ は次式を満たすことが保証されます。
- 都市 $i$ から都市 $j$ へのユークリッド距離を $d$ とする。
- このとき、所要時間は $60 \cdot d/800 + 40$ を $5$ 分単位で切り上げた値。
なお、所要時間は保安検査から手荷物受取までを含めた時間であるため、乗り継ぎ時間は無視して構いません。 すなわち、時刻 $t$ に到着する便の後は、時刻 $t$ またはそれ以降に出発する便への乗り継ぎが可能になります。
現在、本国に新たな航空会社「サークル航空会社」が立ち上がりました。 サークル航空会社は、$K$ 機の飛行機を所持しており、それを上手く使うことで、航空業界におけるシェア率を高めることを狙っています。 ここでシェア率は、どの程度の割合の移動で、スクエア航空会社よりサークル航空会社の方が便利になるかを表した数値であり、厳密には以下の手順に従って計算されます。
- 最初、$v_{sq} = 0, v_{ci} = 0$ とする。
- ユークリッド距離が $0.25R$ 以上であるすべての出発地 $i$ $(1 \leq i \leq N)$ と目的地 $j$ $(1 \leq j \leq N)$ の組および $21$ 通りの目標到着時刻 $t$($11$ 時、$11$ 時 $30$ 分、$12$ 時、$12$ 時 $30$ 分、…、$21$ 時)について、以下の 3. を行う。
- 時刻 $t$ またはそれ以前に目的地に到着するために必要な、 スクエア航空会社のみを使った場合の出発時刻を $s_{sq}$、サークル航空会社のみを使った場合の出発時刻を $s_{ci}$ とする。 当日中の出発で目的地に到着できない場合は、値を $-\infty$ とする。 もしサークル航空会社の方が便利、すなわち $s_{sq} < s_{ci}$ であれば $v_{ci}$ に $w_i \cdot w_j$ を加算し、 そうでなければ $v_{sq}$ に $w_i \cdot w_j$ を加算する。
- シェア率を $S = v_{ci} / (v_{sq} + v_{ci})$ とする。
しかし、フライトスケジュールの最適化は、多数の飛行機を扱う必要がある以上、人間にはきわめて難しく、コストがかかります。 それでは、一日のフライトスケジュールを計画するプログラムを作成してください。 なお、サークル航空会社についても、各航空便の出発時刻・到着時刻はスクエア航空会社と同じ条件を満たす必要があります。 また、飛行機についても旅客と同様、乗り継ぎ時間を無視して構いません。 具体的には、ある便の到着時刻が時刻 $t$ であった場合、その飛行機の次の出発時刻を時刻 $t$ またはそれ以降に設定することができます。
得点
あるテストケースについて、達成されたシェア率を $S$ とするとき、そのテストケースの得点は $\lfloor 10^6 \times S \rfloor$ 点となります。 合計で $100$ 個のテストケースがあり、各テストケースの得点の合計が提出の得点となります。ただし、$1$ つ以上のテストケースで不正な出力や実行時間超過があった場合、提出全体の判定が WA や TLE となります。
各参加者の得点は、問題の「スコア順」タブから閲覧することができます。
入力
$N$ $R$ $x_1$ $y_1$ $w_1$ $x_2$ $y_2$ $w_2$ $\vdots$ $x_N$ $y_N$ $w_N$ $M$ $a_1$ $s_1$ $b_1$ $t_1$ $a_2$ $s_2$ $b_2$ $t_2$ $\vdots$ $a_M$ $s_M$ $b_M$ $t_M$ $K$
入力は以下の制約を満たします。入力される値はすべて整数です。
- $N = 47$
- $R = 1000$
- 点 $(x_i, y_i)$ は中心 $(0, 0)$、半径 $R$ の円の内部または外周に含まれる
- $10^5 \leq w_i \leq 10^7$
- $M = 400$
- $1 \leq a_i, b_i \leq N$ $(1 \leq i \leq M)$
- $a_i \neq b_i$ $(1 \leq i \leq M)$
- $s_i$ $(1 \leq i \leq M)$ は
06:00、06:05、…、21:00のいずれか - $t_i$ $(1 \leq i \leq M)$ は
06:00、06:05、…、21:00のいずれか - $K = 25$
出力
$i$ 機目 $(1 \leq i \leq K)$ の飛行機 における一日の便数を $c_i$ とし、 そのうち $j$ 番目 $(1 \leq j \leq c_i)$ の便が都市 $a_{i, j}$ を時刻 $s_{i, j}$ に出発し、都市 $b_{i, j}$ に時刻 $t_{i, j}$ に到着するものであるとします。 そのとき、以下の形式で出力してください。
$c_1$
$a_{1, 1}$ $s_{1, 1}$ $b_{1, 1}$ $t_{1, 1}$
$a_{1, 2}$ $s_{1, 2}$ $b_{1, 2}$ $t_{1, 2}$
$\vdots$
$a_{1, c_1}$ $s_{1, c_1}$ $b_{1, c_1}$ $t_{1, c_1}$
$\vdots$
$c_K$
$a_{K, 1}$ $s_{K, 1}$ $b_{K, 1}$ $t_{K, 1}$
$a_{K, 2}$ $s_{K, 2}$ $b_{K, 2}$ $t_{K, 2}$
$\vdots$
$a_{K, c_K}$ $s_{K, c_K}$ $b_{K, c_K}$ $t_{K, c_K}$
ここで、各 $1 \leq j \leq c_i-1$ について、$b_{i, j} = a_{i, j+1}$ および $t_{i, j} \leq s_{i, j+1}$ を満たす必要があります。
また、飛行機の運行時間は $6$ 時から $21$ 時までの間の $5$ 分間隔である必要があり、
すなわち $s_{i, j}, t_{i, j}$ は 06:00、06:05、…、21:00 のいずれかである必要があります。
さらに、所要時間 $t_{i, j} - s_{i, j}$ は問題文中の式を満たす必要があります。
入力生成方法
入力は以下の形式で生成されます。
- まず、以下の形式で入力を生成する。ただし、$\mathrm{rand}(L, U)$ を $L$ 以上 $U$ 以下の実数に対する一様乱数とする。
- 各 $1 \leq i \leq N$ に対し、都市の座標 $(x_i, y_i)$ を中心 $(0, 0)$、半径 $R$ の円の内部または外周に含まれる整数座標の点の中から一様な確率でランダムに選ぶ。
- 各 $1 \leq i \leq N$ に対し、人口 $w_i$ を $10^7/\mathrm{rand}(1, 100)$ にしたがって生成する。
- その後、都市を人口順にソートし、人口の多い順に番号を $1, 2, \dots, N$ とする。
- 各 $1 \leq i \leq M$ に対し、以下の処理を行い、スクエア航空会社の航空便を決める。
- 出発地 $a_i, b_i$ を人口に比例した割合でランダムに選ぶ。
- 到着時刻 $t_i$ を
06:00、06:05、…、21:00の中から一様な確率でランダムに選ぶ。 - 出発時刻 $s_i$ を前述の所要時間の式に従って計算する。
- $a_i = b_i$ または出発時刻が $6$ 時よりも速い場合、その $i$ については最初から決めなおす。
- ユークリッド距離が $0.25R$ 以上となるような $2$ 都市が存在する場合、入力を決定する。そうでない場合、入力生成を最初からやり直す。
サンプル
サンプル1
入力
47 1000 274 875 2760050 190 47 2418201 -66 587 2180004 662 340 1039131 341 -808 701453 -906 409 612258 294 460 548989 231 -275 511340 395 838 496245 315 -438 435423 -645 329 432459 732 324 351850 189 -288 351062 28 -231 337951 0 682 323768 -243 -87 321669 -358 659 317021 190 272 305727 119 120 304582 46 -756 294495 -89 -166 276106 819 514 262457 -26 -341 253737 53 491 239882 11 -714 234130 -763 525 221001 312 -937 216586 -840 -153 205850 -675 696 176459 -358 838 170064 -142 -204 153090 -199 -404 143346 965 -104 135884 -733 409 132039 392 -716 121333 -560 -679 119126 32 -857 117517 318 372 112676 -383 -814 110764 -188 418 109147 338 132 109066 -361 236 108804 -78 707 108726 -869 -439 108342 -423 -660 101506 -982 -134 100857 -419 -10 100183 400 4 07:35 19 09:00 26 10:20 1 12:25 1 13:50 2 15:35 14 08:10 3 09:55 2 06:20 1 08:05 47 07:10 3 08:45 3 11:55 5 14:25 19 14:55 31 16:10 22 11:55 42 14:10 3 13:45 23 15:35 4 06:20 2 07:45 6 09:05 2 11:15 34 07:30 6 08:25 10 17:50 12 19:40 1 11:20 11 13:25 21 16:35 15 18:20 2 11:10 17 12:55 2 14:35 11 16:25 37 08:15 31 09:50 21 11:45 7 13:25 13 10:35 1 12:45 1 09:30 6 11:50 18 12:40 10 14:15 5 14:00 22 16:30 1 10:35 14 12:40 23 17:25 2 18:40 3 10:05 20 12:30 40 11:10 6 12:45 3 17:40 5 20:10 28 08:20 1 10:55 20 14:25 41 16:20 2 09:45 7 11:00 2 15:15 3 16:40 14 09:00 2 10:05 11 14:40 3 16:10 27 16:30 2 18:25 9 11:40 28 14:20 8 15:30 1 17:40 23 07:20 3 09:10 1 08:45 21 10:50 1 16:40 36 19:35 16 08:05 5 09:55 8 07:20 18 08:45 5 14:55 9 17:40 12 10:35 3 12:20 3 14:30 9 15:50 3 10:50 1 12:05 9 12:35 14 14:40 14 11:00 10 12:10 4 07:25 24 08:55 1 17:25 21 19:30 7 18:20 29 20:15 1 10:55 2 12:40 8 16:50 11 18:50 21 18:00 11 19:40 5 09:15 11 11:50 16 15:05 3 16:40 26 18:05 6 19:00 10 06:05 11 08:20 27 12:45 3 15:25 1 15:40 16 17:45 1 07:40 3 08:55 11 06:45 22 09:20 8 11:50 2 12:55 2 18:25 1 20:10 5 14:45 3 17:15 9 09:25 17 11:05 28 11:35 29 13:20 27 13:05 2 15:00 9 06:00 1 06:50 2 08:35 25 10:15 1 12:00 2 13:45 2 15:10 3 16:35 3 15:30 6 17:15 7 12:30 1 13:45 16 11:50 10 13:20 3 12:50 2 14:15 1 11:15 36 14:10 1 11:25 21 13:30 2 15:25 1 17:10 23 11:50 24 13:35 3 15:20 27 18:00 2 15:10 1 16:55 20 08:15 3 10:40 2 11:05 14 12:10 23 11:10 13 12:10 15 16:15 25 18:40 10 12:45 1 15:05 2 12:55 3 14:20 10 06:05 28 08:15 4 11:35 11 13:55 21 18:05 37 19:40 17 15:00 1 16:35 14 19:45 2 20:50 3 08:35 25 10:55 3 06:25 8 08:15 19 13:00 12 14:30 2 09:35 1 11:20 13 16:35 1 18:45 12 15:20 5 17:30 24 11:20 12 12:55 37 19:15 35 20:25 2 12:10 37 14:00 1 13:15 4 14:45 7 10:50 10 12:40 17 06:00 8 08:05 36 14:30 3 16:55 2 13:00 29 15:05 1 18:00 31 20:10 1 08:00 16 10:05 30 16:05 24 17:30 2 12:35 21 13:45 18 15:50 1 17:20 1 13:50 40 15:20 1 07:40 18 09:10 7 09:40 11 11:35 18 09:55 1 11:25 1 13:35 32 16:00 2 17:15 1 19:00 9 07:45 4 09:10 19 09:05 4 10:30 7 17:25 25 19:40 9 07:25 5 10:10 4 10:55 1 12:25 15 12:45 1 13:55 34 12:25 8 14:35 22 06:00 32 08:25 21 11:55 2 13:05 4 11:55 18 13:15 19 12:40 3 14:00 2 14:30 21 15:40 3 16:30 45 18:50 1 19:05 3 20:20 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