問題文

注: この問題の出力には非Ascii文字が含まれます。
含まれる非Ascii文字は次の通りです: ∧∨¬⊥⊤

$N$個の原子式$P_1,P_2,\cdots ,P_N$について、次のような真理表を考える。

$\begin{array}{ccccc}{P}_1& P_2& \cdots & P_N& A\\ Q_{1,1}& Q_{1,2}& \cdots & Q_{1,N}& R_1\\ Q_{2,1}& Q_{2,2}& \cdots & Q_{2,N}& R_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ Q_{2^N,1}& Q_{2^N,2}& \cdots & Q_{2^N,N}& R_{2^N}\end{array}$

$Q_{i,j}$は$1$または$0$であり、1なら真、0なら偽を表す。
また、$R_i$は$1$または$0$であり、同様に真偽を表す。
このとき、この真理表で表される真理関数に対して妥当な論理式$A$を出力しなさい。

入力

$N$
$Q_{1,1}{Q}_{1,2}\cdots Q_{1,N}{R}_1$
$Q_{2,1}{Q}_{2,2}\cdots Q_{2,N}{R}_2$
$⋮$
$Q_{2^n,1}{Q}_{2^n,2}\cdots Q_{2^n,N}{R}_{2^N}$

$1\le N\le 12$
$Q_{i,j},R_i(1\le i\le 2^N,1\le j\le N)$はそれぞれ$0$か$1$

出力

入力された真理関数に対して妥当な論理式$A$を出力しなさい。なお、出力の形式は次に従うこと。

• "A=" から始める。
• $P_i$が真の場合、$P_i$、偽の場合は$\mathrm{\neg }{P}_i$と出力しなさい。
• すべてのiについて$P_i$は出力上で"P_i"と表される。（iが何桁であろうが、例えばi=12のときP_12と表されます）
• $R_i$が真の場合、真理表のi行目に基づいて、論理式Aに"($Q_1$∧$Q_2$∧$\cdots$∧$Q_N$)"の形式で論理式を含めなさい。
• ただし、$P_i$が真のとき$Q_i$ は "P_i"、そうでないとき$Q_i$ は "¬P_i"を示す。
• ここで含めた論理式を$X_1,X_2,\cdots ,X_N$とすると、論理式$A$は"A=$X_1$∨$X_2$∨$\cdots$∨$X_N$"の形で表す必要があります。
• $i>j$のとき、$X_j$は$X_i$よりも先に論理式Aに表すこと。
• $i>j$のとき、$Q_j$は$Q_i$よりも先に論理式$X_k$に表すこと。
• すべての$i$について$R_i$が真の場合、論理式Aは"A=⊤"と表される。(Tではない。⊤はトップと読む。)
• すべての$i$について$R_i$が偽の場合、論理式Aは"A=⊥"と表される。(⊥は矛盾式を表す。ボトムと読む。)

サンプル

2
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

A=(P_1∧¬P_2)∨(¬P_1∧P_2)

1
0 0
1 0

A=⊥

2
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1

A=⊤

4
1 1 1 1 0
1 1 1 0 1
1 1 0 1 0
1 1 0 0 1
1 0 1 1 0
1 0 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 1 1 0
0 1 1 0 1
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

A=(P_1∧P_2∧P_3∧¬P_4)∨(P_1∧P_2∧¬P_3∧¬P_4)∨(P_1∧¬P_2∧P_3∧¬P_4)∨(P_1∧¬P_2∧¬P_3∧¬P_4)∨(¬P_1∧P_2∧P_3∧¬P_4)∨(¬P_1∧P_2∧¬P_3∧¬P_4)∨(¬P_1∧¬P_2∧P_3∧¬P_4)∨(¬P_1∧¬P_2∧¬P_3∧¬P_4)

2
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 0

A=(P_1∧P_2)∨(P_1∧¬P_2)