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No.8094 Character Table

レベル : / 実行時間制限 : 1ケース 2.000秒 / メモリ制限 : 512 MB / 標準ジャッジ問題
タグ : / 解いたユーザー数 13
作問者 : 箱星箱星
0 ProblemId : 7781 / 出題時の順位表 / 自分の提出
問題文最終更新日: 2023-09-12 21:22:28

問題文

指標表の値を $1$ つ隠したものが与えられるので、隠された値を答えてください。

詳細な問題文

有限群 $G$ に既約指標がちょうど $N$ 個存在したとし、それらを $\chi_1,\ldots,\chi_N$ とします。このとき $G$ には共役類が $N$ 個存在します。$N$ 個の共役類から $1$ つずつ元を選び、それらを $g_1,\ldots,g_N$ とします。$A_{ij}=\chi_i(g_j)$ とするとき、$N$ 次正方行列 $A$ を指標表と呼びます。

いま、$N$ 次正方行列 $A$ が与えられます。この $A$ はちょうど $1$ つの組 $(i,j)$ に対して $A_{ij}$ が ? となっており、これを適切な整数に置き換えるとある群の指標表となります。この整数を求めてください。

制約

  • $N$ は $1$ 以上 $10$ 以下の整数
  • ちょうど $1$ つの組 $(i,j)$ に対して $A_{ij}$ は ? であり、それ以外の $(i,j)$ に対して $A_{ij}$ は整数
  • 指標表としてあり得るもののみが与えられる

入力

$N$
$A_{11}$ $\ldots$ $A_{1N}$
$\vdots$
$A_{N1}$ $\ldots$ $A_{NN}$

出力

適切な整数を出力してください。

サンプル

サンプル1
入力
3
1 1 1
1 -1 1
? 0 -1
出力
2

$3$ 次対称群の指標表です。

サンプル2
入力
5
1 1 1 1 1
1 -1 1 -1 1
2 0 ? 0 -2
1 1 -1 -1 1
1 -1 -1 1 1
出力
0

位数 $8$ の二面体群および四元数群の指標表です。

サンプル3
入力
1
?
出力
1

単位群の指標表です。

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