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No.8094 Character Table

レベル : / 実行時間制限 : 1ケース 2.000秒 / メモリ制限 : 512 MB / 標準ジャッジ問題
タグ : / 解いたユーザー数 13
作問者 : 箱星箱星
0 ProblemId : 7781 / 出題時の順位表 / 自分の提出
問題文最終更新日: 2023-09-12 21:22:28

問題文

指標表の値を 11 つ隠したものが与えられるので、隠された値を答えてください。

詳細な問題文

有限群 GG に既約指標がちょうど NN 個存在したとし、それらを χ1,,χN\chi_1,\ldots,\chi_N とします。このとき GG には共役類が NN 個存在します。NN 個の共役類から 11 つずつ元を選び、それらを g1,,gNg_1,\ldots,g_N とします。Aij=χi(gj)A_{ij}=\chi_i(g_j) とするとき、NN 次正方行列 AA を指標表と呼びます。

いま、NN 次正方行列 AA が与えられます。この AA はちょうど 11 つの組 (i,j)(i,j) に対して AijA_{ij}? となっており、これを適切な整数に置き換えるとある群の指標表となります。この整数を求めてください。

制約

  • NN11 以上 1010 以下の整数
  • ちょうど 11 つの組 (i,j)(i,j) に対して AijA_{ij}? であり、それ以外の (i,j)(i,j) に対して AijA_{ij} は整数
  • 指標表としてあり得るもののみが与えられる

入力

NN
A11A_{11} \ldots A1NA_{1N}
\vdots
AN1A_{N1} \ldots ANNA_{NN}

出力

適切な整数を出力してください。

サンプル

サンプル1
入力
3
1 1 1
1 -1 1
? 0 -1
出力
2

33 次対称群の指標表です。

サンプル2
入力
5
1 1 1 1 1
1 -1 1 -1 1
2 0 ? 0 -2
1 1 -1 -1 1
1 -1 -1 1 1
出力
0

位数 88 の二面体群および四元数群の指標表です。

サンプル3
入力
1
?
出力
1

単位群の指標表です。

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