#1006994 (C++17) No.1781 LCM

提出ソース
結果

問題	No.1781 LCM
ユーザー	ecottea
提出日時	2024-09-03 17:06:09
言語	C++17 (gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果	AC
実行時間	4,550 ms / 5,000 ms
コード長	15,435 bytes
コンパイル時間	4,820 ms
コンパイル使用メモリ	270,184 KB
実行使用メモリ	11,232 KB
最終ジャッジ日時	2024-09-03 17:06:44
合計ジャッジ時間	34,846 ms
ジャッジサーバーID （参考情報）	judge1 / judge3
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入力	結果	実行時間実行使用メモリ
testcase_00	AC	2 ms 6,816 KB
testcase_01	AC	3 ms 6,940 KB
testcase_02	AC	4 ms 6,944 KB
testcase_03	AC	3 ms 6,944 KB
testcase_04	AC	3 ms 6,944 KB
testcase_05	AC	3 ms 6,944 KB
testcase_06	AC	3 ms 6,940 KB
testcase_07	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_08	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_09	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_10	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_11	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_12	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_13	AC	3 ms 6,940 KB
testcase_14	AC	3 ms 6,944 KB
testcase_15	AC	2 ms 6,948 KB
testcase_16	AC	3 ms 6,940 KB
testcase_17	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_18	AC	3 ms 6,940 KB
testcase_19	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_20	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_21	AC	4,534 ms 11,216 KB
testcase_22	AC	4,550 ms 11,152 KB
testcase_23	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_24	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_25	AC	4,512 ms 11,232 KB
testcase_26	AC	4,535 ms 11,228 KB
testcase_27	AC	4,442 ms 11,064 KB
testcase_28	AC	3,824 ms 10,408 KB
testcase_29	AC	953 ms 6,940 KB
testcase_30	AC	1,016 ms 6,944 KB
testcase_31	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_32	AC	2 ms 6,940 KB
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ソースコード

raw source code
#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; using ull = unsigned long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9e18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2e9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;	using vvvvi = vector<vvvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;	using vvvvl = vector<vvvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
int DX[4] = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
int DY[4] = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003094073385LL; // (int)INFL = INF, (int)(-INFL) = -INF;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0, set##_ub = 1 << int(d); set < set##_ub; ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repis(i, set) for(int i = lsb(set), bset##i = set; i < 32; bset##i -= 1 << i, i = lsb(bset##i)) // set の全要素（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
#define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll powi(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T getb(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }
template <class T> inline T smod(T n, T m) { n %= m; if (n < 0) n += m; return n; } // 非負mod

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

#ifdef _MSC_VER
#include "localACL.hpp"
#endif

//using mint = modint1000000007;
using mint = modint998244353;
//using mint = static_modint<(ll)1e9>;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);

namespace atcoder {
	inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
	inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
}
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>; using pim = pair<int, mint>;
#endif


#ifdef _MSC_VER // 手元環境（Visual Studio）
#include "local.hpp"
#else // 提出用（gcc）
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : 32; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : 64; }
template <size_t N> inline int lsb(const bitset<N>& b) { return b._Find_first(); }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_mat(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) { vc MLE(1<<30); EXIT(MLE.back()); } } // RE の代わりに MLE を出す
#endif


//【添字整数商 vector】
/*
* v[0], v[1], v[2], ..., v[nl], v[N/nh], ..., v[N/2], v[N/1] にのみアクセスできる疎な vector
*
* Floor_vector<T>(ll N) : O(1)
*	nl = √N とし，v[N/d] にアクセスできるよう初期化する．
*
* Floor_vector<T>(ll N, int nl) : O(1)
*	v[N/d] にアクセスできるよう初期化する．
*	制約：nl ≧ √N
*
* T [ll i] : O(1)
*	v[i] にアクセスする．
*
* T get_l(int i) : O(1)
*	v[i] を返す．
*
* set_l(int i, T x) : O(1)
*	v[i] = x とする．
*
* T get_h(ll d) : O(1)
*	v[N/d] を返す．
*
* set_h(ll d, T x) : O(1)
*	v[N/d] = x とする．
*/
template <class T>
class Floor_vector {
	// v : v[0], v[1], v[2], ..., v[nl], v[N/nh], ..., v[N/2], v[N/1] を並べたリスト
	vector<T> v;
	int nlh;

public:
	ll N;
	int nl, nh;

	// nl = √N とし，v[N/d] にアクセスできるよう初期化する．
	Floor_vector(ll N) : N(N) {
		nl = (int)(sqrt(N) + 1e-9);
		nh = (int)(N / (nl + 1));
		nlh = 1 + nl + nh;
		v.resize(nlh);
	}

	// v[N/d] にアクセスできるよう初期化する．
	Floor_vector(ll N, int nl) : N(N), nl(nl) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_totient_function

		nh = (int)(N / (nl + 1));
		nlh = 1 + nl + nh;
		v.resize(nlh);
	}

	// 比較
	bool operator==(const Floor_vector& b) const {
		return N == b.N && nl == b.nl && v == b.v;
	}
	bool operator!=(const Floor_vector& b) const { return !(*this == b); }

	// v[i] にアクセスする．
	inline T const& operator[](ll i) const {
		return i <= nl ? v[i] : v[nlh - N / i];
	}
	inline T& operator[](ll i) {
		return i <= nl ? v[i] : v[nlh - N / i];
	}

	// v[i] を返す．
	T get_l(int i) const {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_totient_function

		return v[i];
	}

	// v[i] = x とする．
	void set_l(int i, T x) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_totient_function

		v[i] = x;
	}

	// v[N/d] を返す．
	T get_h(ll d) const {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_totient_function

		return N / d <= nl ? v[N / d] : v[nlh - d];
	}

	// v[N/d] = x とする．
	void set_h(ll d, T x) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_totient_function

		(N / d <= nl ? v[N / d] : v[nlh - d]) = x;
	}

#ifdef _MSC_VER
	friend ostream& operator<<(ostream& os, const Floor_vector& a) {
		repi(i, 0, a.nl) os << a.v[i] << " ";
		os << "|";
		repir(i, a.nh, 1) os << " " << a.v[a.nlh - i];
		return os;
	}
#endif
};


//【素数計数関数（一括）】O(N^(3/4))
/*
* i 以下の素数の個数を π(i) とし，π[N/d] のリストを返す．
*
*（Lucy DP）
*/
Floor_vector<ll> prime_pi_all(ll N) {
	// 参考 : https://rsk0315.hatenablog.com/entry/2021/05/18/015511
	// verify : https://atcoder.jp/contests/jsc2024-final/tasks/jsc2024_final_b

	//【方法】
	// j 番目（1-indexed）の素数を p[j](≦ √N) と表し，dp_j[i] を
	//		dp_j[i]
	//		= ([2..i] 内の "素数または p[j] 以下の素因数をもたない合成数" の個数)
	//		= (エラトステネスの篩において，[2..i] 内の p[j] 以下の素数で篩い終えた後残っている数の個数)
	// とおく．dp_j[i] の求め方を考える．
	// 
	// p[j]^2 > i のときは，[2..i] 内には p[j] で新たに篩われる数は無いので
	//		dp_j[i] = dp_(j-1)[i]
	// である．
	// 
	// p[j]^2 ≦ i のときは，[2..i] 内の p[j] で新たに篩われる数は
	//		(i) p[j-1] 以下の素因数を持たない（まだ篩われていない）
	//		(ii) 2 p[j] 以上の p[j] の倍数（次に篩われる）
	// という条件を共に満たす数である．
	// 
	// [2..i] に条件 (i), (ii) を課す代わりに，全体を p[j] で割って，
	//		[2..i/p[j]] 内の p[j-1] 以下の素因数を持たない数
	// を数えても個数は変わらない．そのような数は，[2..i/p[j]] 内の
	//		(iii) p[j-1] 以下の素数で篩い終えた後残っている
	//		(iv) p[j-1] 以下の素数ではない
	// という条件を共に満たす数であり，!(iv) ⇒ (iii) に注意するとその個数は
	//		dp_(j-1)[i/p[j]] - dp_(j-1)[p[j-1]]
	// と表される．
	//
	// 以上をまとめると，DP の初期化は
	//		dp_0[i] = i - 1
	// で行い，遷移式は
	//		dp_j[i] = dp_(j-1)[i] （p[j]^2 > i のとき）
	//		dp_j[i] = dp_(j-1)[i] - (dp_(j-1)[i/p[j]] - dp_(j-1)[p[j-1]]) （p[j]^2 ≦ i のとき）
	// を用いれば良い．

	//【備考】
	// 途中で DP テーブルを参照すれば，K-rough number の数え上げにも対応できる．

	int nl = (int)(sqrt(N) + 1e-9);

	// dp_j[i] : [2..i] 内の p[j] 以下の素数で篩い終えた後残っている数の個数
	Floor_vector<ll> dp(N, nl);
	int nh = dp.nh;

	repi(i, 1, nl) dp.set_l(i, i - 1);
	repi(d, 1, nh) dp.set_h(d, N / d - 1);

	// is_prime[i] : i が素数か
	vb is_prime(nl + 1, true);
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;

	repi(p, 2, nl) {
		// p が素数でなければ次の p へ
		if (!is_prime[p]) continue;

		// p^2 以上の p の倍数は素数でないと確定する．
		for (ll j = (ll)p * p; j <= nl; j += p) is_prime[j] = false;

		// cnt_p1 : p-1 以下の素数の個数
		ll cnt_p1 = dp.get_l(p - 1);

		repi(d, 1, nh) {
			// p^2 > N/d なら更新不要
			if (p > (N / d) / p) break;

			dp[N / d] -= dp.get_h(d * p) - cnt_p1;
		}

		repir(i, nl, 1) {
			// p^2 > i なら更新不要
			if (p > i / p) break;

			dp[i] -= dp.get_l(i / p) - cnt_p1;
		}
	}

	return dp;
}


//【素数の列挙】O(n log(log n))
/*
* n 以下の素数を昇順に列挙したリストを返す．
*/
vi eratosthenes(int n) {
	// 参考 : https://qiita.com/peria/items/a4ff4ddb3336f7b81d50
	// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/enumerate_primes

	if (n <= 1) return vi();

	vi ps;
	ps.reserve((int)(n / log(n + 1) * 1.1));
	ps.push_back(2); // 素数 2 だけ例外処理する．

	int hn = (n - 1) / 2;
	int sqrt_hn = (int)(sqrt(hn) + 1e-6);

	// is_prime[i] : 2i+1 が素数か
	vb is_prime(hn + 1, true);
	is_prime[0] = false;

	int i = 1;

	// √n 以下の i の処理
	for (; i <= sqrt_hn; i++) {
		if (!is_prime[i]) continue;

		int p = 2 * i + 1;
		ps.push_back(p);

		// 3(2i+1), ..., (2i-1)(2i+1) は既にふるい落とされているので (2i+1)^2 = 2(2i(i+1))+1 からで良い．
		// 増分は，(2j+1)+2(2i+1) = 2(j+2i+1)+1 なので 2i+1 である．
		for (int j = 2 * i * (i + 1); j <= hn; j += p) is_prime[j] = false;
	}

	// √n より大きい i の処理
	for (; i <= hn; i++) if (is_prime[i]) ps.push_back(2 * i + 1);

	return ps;
}


//【乗法的数論関数の総和】O(N^(3/4) / log N)
/*
* 与えられた乗法的数論関数 f について，Σi∈[1..N] f(i) を返す．
*	acc[i] は Σp∈[1..i] f(p)  (p:素数) とする．
*	i が素因数 p を cnt 個含んでおり f(i) = val のとき，mul(val, p, cnt) は f(i p) を返す．
*
* 利用：【素数の列挙】
*/
template <class T, class FUNC>
T Multiplicative_sum(const FUNC& mul, const Floor_vector<T>& acc) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/jsc2024-final/tasks/jsc2024_final_b

	//【方法】
	// 自然数 i の最大素因数を gpf(i) と表す．
	// 頂点 [1..n] をもち，i の親が i / gpf(i) である木 T を考える．（根は 1） 
	// 求める和は次の形に書き直せる：
	//		f(1) + Σ_i:葉でない頂点 Σ_j:iの子 f(j)
	//
	// 例えば n=60 のときの i=3 を考えると，その子は
	//		9, 15, 21, 33, 39, 51, 57
	// である．これらに f を施した値の総和は，f の乗法性より
	//		Σ_j:iの子 f(j)
	//		= f(9) + f(3) (f(5) + f(7) + f(11) + f(13) + f(17) + f(19))
	//		= f(3*3) + f(3) Σ_p∈(3..n/3] f(p)
	//		= f(i g) + f(g) (Σ_p∈[1..n/g] f(p) - Σ_p∈[1..g] f(p))  (g := gpf(i))
	// として求められる．
	//
	// またこの場合 i * 5^2 > n となるので，3*5 以上の子は全て葉であることが探索しなくても分かる．
	// T はほとんどが葉なので，葉のみの枝刈りとはいえ真に計算量が改善する．

	ll N = acc.N; int nl = acc.nl;

	if (N <= 0) return 0;
	if (N == 1) return 1;
	if (N == 2) return 1 + mul(1, 2, 0);
	if (N == 3) return 1 + mul(1, 2, 0) + mul(1, 3, 0);

	// ps : nl = √n 以下の素数の昇順リスト
	auto ps = eratosthenes(nl);

	T res = 1;

	// s     : 注目頂点
	// i_gpf : s の最大素因数 p が ps で何番目の素数か
	// cnt   : s に素因数 p が含まれている個数
	// val   : f(s)
	function<void(ll, int, int, T)> dfs = [&](ll s, int i_gpf, int cnt, T val) {
		ll p = (ll)ps[i_gpf];

		// s の最小の子 s * p からの寄与を加算する．
		T nval = mul(val, p, cnt);
		res += nval;

		// その他の s の子からの寄与をまとめて加算する．
		res += val * (acc.get_h(s) - acc.get_l((int)p));

		// s の最小の子 s * p を探索する．
		if (s <= N / (p * p)) dfs(s * p, i_gpf, cnt + 1, nval);

		// その他の s の子を探索する．
		for (int i = i_gpf + 1; i < sz(ps) && s <= N / ((ll)ps[i] * ps[i]); i++) {
			T nval = mul(val, ps[i], 0);
			dfs(s * ps[i], i, 1, nval);
		}
	};
	dfs(1, 0, 0, 1);

	return res;

	/* mul, acc の定義の雛形
	using T = mint;
	auto mul = [&](T val, ll p, int cnt) {
		if (cnt == 0) {
			return val;
		}
		else {
			return val;
		}
	};

	int nl = (int)(sqrt(N) + 1e-9);
	Floor_vector<T> acc(N, nl);
	int nh = acc.nh;
	repi(i, 1, nl) acc.set_l(i, i);
	repi(d, 1, nh) acc.set_h(d, N / d);

	T res = Multiplicative_sum<T>(mul, acc);
	*/
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

	ll M, N;
	cin >> M >> N;

	auto pi = prime_pi_all(N);
	int nl = pi.nl, nh = pi.nh;

	vm coef(100);
	repi(i, 2, 99) {
		coef[i] = mint(i).pow(M) * mint(i - 1).pow(M).inv();
	}
	
	auto mul = [&](mint val, ll p, int cnt) {
		if (cnt == 0) {
			return val * coef[2];
		}
		else {
			return val * coef[cnt + 2];
		}
	};

	Floor_vector<mint> acc(N, nl);
	repi(i, 1, nl) acc.set_l(i, pi.get_l(i) * coef[2]);
	repi(d, 1, nh) acc.set_h(d, pi.get_h(d) * coef[2]);

	mint res = Multiplicative_sum<mint>(mul, acc);
	
	EXIT(res);
}
yukicoder

結果

テストケース

ソースコード
