結果

問題 No.3146 RE: Parentheses Counting
ユーザー ecottea
提出日時 2025-05-16 22:20:23
言語 C++17
(gcc 13.3.0 + boost 1.87.0)
結果
AC  
実行時間 128 ms / 2,000 ms
コード長 18,453 bytes
コンパイル時間 5,200 ms
コンパイル使用メモリ 270,060 KB
実行使用メモリ 6,272 KB
最終ジャッジ日時 2025-05-16 22:20:38
合計ジャッジ時間 13,390 ms
ジャッジサーバーID
（参考情報） 		judge1 / judge2
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ファイルパターン 結果
sample AC * 1
other AC * 43
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ソースコード

diff # 

#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; using ull = unsigned long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9e18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2e9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;	using vvvvi = vector<vvvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;	using vvvvl = vector<vvvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
int DX[4] = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
int DY[4] = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003094073385LL; // (int)INFL = INF, (int)(-INFL) = -INF;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), (x)))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), (x)))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0, set##_ub = 1 << int(d); set < set##_ub; ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repis(i, set) for(int i = lsb(set), bset##i = set; i < 32; bset##i -= 1 << i, i = lsb(bset##i)) // set の全要素（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
#define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll powi(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T getb(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }
template <class T> inline T smod(T n, T m) { n %= m; if (n < 0) n += m; return n; } // 非負mod

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

#ifdef _MSC_VER
#include "localACL.hpp"
#endif

using mint = modint998244353;
//using mint = static_modint<(int)1e9 + 7>;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);

namespace atcoder {
	inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
	inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
}
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>; using pim = pair<int, mint>;
#endif


#ifdef _MSC_VER // 手元環境（Visual Studio）
#include "local.hpp"
#else // 提出用（gcc）
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : 32; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : 64; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_math(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) { vc MLE(1<<30); EXIT(MLE.back()); } } // RE の代わりに MLE を出す
#endif


//【部分集合の全探索（大きさ固定）】O(nCr)
/*
* 大きさ n の全体集合 Ω のうち，大きさ r の部分集合 set⊂Ω を昇順に全探索する．
*
* 制約：r > 0
*/
// verify : https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/courses/lesson/8/ITP2/all/ITP2_11_D
#define repbc(set, n, r) for(int set = (1 << int(r)) - 1, lb, nx; set < (1 << int(n)); lb = set & -set, nx = set + lb, set = (((set & ~nx) / lb) >> 1) | nx)


//【括弧列の正規性判定】O(n)
/*
* 文字列 s[0..n) が正規括弧列かを返す．
*/
bool valid_parenthesis_sequenceQ(const string& s) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/arc141/tasks/arc141_c

	//【方法】
	// 括弧文字列 s[0..n) に対して，'(' を +1, ')' を -1 に置き換える操作を行い，
	// さらに左から累積和をとったものを acc[0..n] とする．このとき，
	//		s が正規括弧列 ⇔ min(acc) = acc[n] = 0

	int n = sz(s);

	vi acc(n + 1);
	rep(i, n) {
		int val = 0;
		if (s[i] == '(') val = 1;
		if (s[i] == ')') val = -1;
		if (val == 0) return false;

		acc[i + 1] = acc[i] + val;
	}

	return *min_element(all(acc)) == 0 && acc[n] == 0;
}


//【正規括弧列 → 木】O(n)
/*
* 正規括弧列 s[0..2n) について，ネスト関係を表した 0 を根とする有向根付き木 g[0..n] を返す．
* i 番目の頂点は対応する括弧の組 s[ls[i]] = '(', s[rs[i]] = ')' に対応し，子ほどネストが深いものとする．
* ただし ls[0] = -1, rs[0] = 2n とする．
*/
Graph parenthesis_tree(const string& s, vi* ls = nullptr, vi* rs = nullptr) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/discovery2016-final/tasks/discovery_2016_final_c

	int n = sz(s) / 2;
	Graph g(n + 1);
	if (ls) ls->resize(n + 1);
	if (rs) rs->resize(n + 1);

	int id = 1;
	stack<pii> stk; // ('(' の位置, 木の頂点番号)
	stk.push({ -1, 0 });
	if (ls) (*ls)[0] = -1;
	if (rs) (*rs)[0] = 2 * n;

	rep(i, 2 * n) {
		if (s[i] == '(') {
			stk.push({ i, id++ });
		}
		else {
			auto [l, v] = stk.top(); stk.pop();

			g[stk.top().second].push_back(v);
			if (ls) (*ls)[v] = l;
			if (rs) (*rs)[v] = i;
		}
	}

	return g;
}


//【木の深さ】O(n)
/*
* 各 s∈[0..n) について，r を根とする木 g の頂点 s の深さを格納したリストを返す．
* s の深さとは，根から s までの辺の本数のことである．
*/
vi depth_of_tree(const Graph& g, int r) {
	// verify : https://algo-method.com/tasks/529

	int n = sz(g);

	vi d(n);

	function<void(int, int)> dfs = [&](int s, int p) {
		repe(t, g[s]) {
			if (t == p) continue;
			d[t] = d[s] + 1;
			dfs(t, s);
		}
	};
	dfs(r, -1);

	return d;
}


ll naive(int n) {
	ll res = 0;

	repbc(set, 2 * n, n) {
		string s;
		rep(i, 2 * n) s += "()"[getb(set, i)];

		if (!valid_parenthesis_sequenceQ(s)) continue;
		//dump(s);

		auto g = parenthesis_tree(s);
		//dumpel(g);

		auto dep = depth_of_tree(g, 0);
		//dump(dep);

		ll sc = 0;
		rep(i, n + 1) if (sz(g[i]) == 0) sc += dep[i] - 1;
		//dump(sc);

		res += sc;
	}

	return res;
}


void zikken() {
	vl seq;

	repi(i, 1, 14) {
		dump(i);
		seq.push_back(naive(i));
		dump(seq);
	}

	dump_math(seq);

	exit(0);
}
/*
{0,1,6,29,130,562,2380,9949,41226,169766,695860,2842226,11576916,47050564};
*/


//【行列】
/*
* Matrix<T>(int n, int m) : O(n m)
*	n×m 零行列で初期化する．
*
* Matrix<T>(int n) : O(n^2)
*	n×n 単位行列で初期化する．
*
* Matrix<T>(vvT a) : O(n m)
*	二次元配列 a[0..n)[0..m) の要素で初期化する．
*
* bool empty() : O(1)
*	行列が空かを返す．
*
* A + B : O(n m)
*	n×m 行列 A, B の和を返す．+= も使用可．
*
* A - B : O(n m)
*	n×m 行列 A, B の差を返す．-= も使用可．
*
* c * A ／ A * c : O(n m)
*	n×m 行列 A とスカラー c のスカラー積を返す．*= も使用可．
*
* A * x : O(n m)
*	n×m 行列 A と n 次元列ベクトル x の積を返す．
*
* x * A : O(n m)（やや遅い）
*	m 次元行ベクトル x と n×m 行列 A の積を返す．
*
* A * B : O(n m l)
*	n×m 行列 A と m×l 行列 B の積を返す．
*
* Mat pow(ll d) : O(n^3 log d)
*	自身を d 乗した行列を返す．
*/
template <class T>
struct Matrix {
	int n, m; // 行列のサイズ（n 行 m 列）
	vector<vector<T>> v; // 行列の成分

	// n×m 零行列で初期化する．
	Matrix(int n, int m) : n(n), m(m), v(n, vector<T>(m)) {}

	// n×n 単位行列で初期化する．
	Matrix(int n) : n(n), m(n), v(n, vector<T>(n)) { rep(i, n) v[i][i] = T(1); }

	// 二次元配列 a[0..n)[0..m) の要素で初期化する．
	Matrix(const vector<vector<T>>& a) : n(sz(a)), m(sz(a[0])), v(a) {}
	Matrix() : n(0), m(0) {}

	// 代入
	Matrix(const Matrix&) = default;
	Matrix& operator=(const Matrix&) = default;

	// アクセス
	inline vector<T> const& operator[](int i) const { return v[i]; }
	inline vector<T>& operator[](int i) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/matrix_product

		// inline を付けて [] でアクセスするとなぜか v[] への直接アクセスより速くなった．
		return v[i];
	}

	// 入力
	friend istream& operator>>(istream& is, Matrix& a) {
		rep(i, a.n) rep(j, a.m) is >> a.v[i][j];
		return is;
	}

	// 行の追加
	void push_back(const vector<T>& a) {
		Assert(sz(a) == m);
		v.push_back(a);
		n++;
	}

	// 行の削除
	void pop_back() {
		Assert(n > 0);
		v.pop_back();
		n--;
	}

	// サイズ変更
	void resize(int n_) {
		v.resize(n_);
		n = n_;
	}

	void resize(int n_, int m_) {
		n = n_;
		m = m_;

		v.resize(n);
		rep(i, n) v[i].resize(m);
	}

	// 空か
	bool empty() const { return min(n, m) == 0; }

	// 比較
	bool operator==(const Matrix& b) const { return n == b.n && m == b.m && v == b.v; }
	bool operator!=(const Matrix& b) const { return !(*this == b); }

	// 加算，減算，スカラー倍
	Matrix& operator+=(const Matrix& b) {
		rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] += b[i][j];
		return *this;
	}
	Matrix& operator-=(const Matrix& b) {
		rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] -= b[i][j];
		return *this;
	}
	Matrix& operator*=(const T& c) {
		rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] *= c;
		return *this;
	}
	Matrix operator+(const Matrix& b) const { return Matrix(*this) += b; }
	Matrix operator-(const Matrix& b) const { return Matrix(*this) -= b; }
	Matrix operator*(const T& c) const { return Matrix(*this) *= c; }
	friend Matrix operator*(const T& c, const Matrix<T>& a) { return a * c; }
	Matrix operator-() const { return Matrix(*this) *= T(-1); }

	// 行列ベクトル積 : O(m n)
	vector<T> operator*(const vector<T>& x) const {
		vector<T> y(n);
		rep(i, n) rep(j, m)	y[i] += v[i][j] * x[j];
		return y;
	}

	// ベクトル行列積 : O(m n)
	friend vector<T> operator*(const vector<T>& x, const Matrix& a) {
		vector<T> y(a.m);
		rep(i, a.n) rep(j, a.m) y[j] += x[i] * a[i][j];
		return y;
	}

	// 積：O(n^3)
	Matrix operator*(const Matrix& b) const {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/matrix_product

		Matrix res(n, b.m);
		rep(i, res.n) rep(k, m) rep(j, res.m) res[i][j] += v[i][k] * b[k][j];
		return res;
	}
	Matrix& operator*=(const Matrix& b) { *this = *this * b; return *this; }

	// 累乗：O(n^3 log d)
	Matrix pow(ll d) const {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/pow_of_matrix

		Matrix res(n), pow2 = *this;
		while (d > 0) {
			if (d & 1) res *= pow2;
			pow2 *= pow2;
			d >>= 1;
		}
		return res;
	}

#ifdef _MSC_VER
	friend ostream& operator<<(ostream& os, const Matrix& a) {
		rep(i, a.n) {
			os << "[";
			rep(j, a.m) os << a[i][j] << " ]"[j == a.m - 1];
			if (i < a.n - 1) os << "\n";
		}
		return os;
	}
#endif
};


//【線形方程式】O(n m min(n, m))
/*
* 与えられた n×m 行列 A と n 次元ベクトル b に対し，
* 線形方程式 A x = b の特殊解 x0（m 次元ベクトル）を返す（なければ空リスト）
* また同次形 A x = 0 の解空間の基底（m 次元ベクトル）のリストを xs に格納する．
*/
template <class T>
vector<T> gauss_jordan_elimination(const Matrix<T>& A, const vector<T>& b, vector<vector<T>>* xs = nullptr) {
	// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/system_of_linear_equations

	int n = A.n, m = A.m;

	// v : 拡大係数行列 (A | b)
	vector<vector<T>> v(n, vector<T>(m + 1));
	rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] = A[i][j];
	rep(i, n) v[i][m] = b[i];

	// pivots[i] : 第 i 行のピボットが第何列にあるか
	vi pivots;

	// 注目位置を v[i][j] とする．
	int i = 0, j = 0;

	while (i < n && j <= m) {
		// 注目列の下方の行から非 0 成分を見つける．
		int i2 = i;
		while (i2 < n && v[i2][j] == T(0)) i2++;

		// 見つからなかったら注目位置を右に移す．
		if (i2 == n) { j++; continue; }

		// 見つかったら第 i 行とその行を入れ替える．
		if (i != i2) swap(v[i], v[i2]);

		// v[i][j] をピボットに選択する．
		pivots.push_back(j);

		// v[i][j] が 1 になるよう第 i 行全体を v[i][j] で割る．
		T vij_inv = T(1) / v[i][j];
		repi(j2, j, m) v[i][j2] *= vij_inv;

		// 第 i 行以外の第 j 列の成分が全て 0 になるよう第 i 行を定数倍して減じる．
		rep(i2, n) {
			if (v[i2][j] == T(0) || i2 == i) continue;

			T mul = v[i2][j];
			repi(j2, j, m) v[i2][j2] -= v[i][j2] * mul;
		}

		// 注目位置を右下に移す．
		i++; j++;
	}

	// 最後に見つかったピボットの位置が第 m 列ならば解なし．
	if (!pivots.empty() && pivots.back() == m) return vector<T>();

	// A x = b の特殊解 x0 の構成（任意定数は全て 0 にする）
	vector<T> x0(m);
	int rnk = sz(pivots);
	rep(i, rnk) x0[pivots[i]] = v[i][m];

	// 同次形 A x = 0 の一般解 {x} の基底の構成（任意定数を 1-hot にする）
	if (xs != nullptr) {
		xs->clear();

		int i = 0;
		rep(j, m) {
			if (i < rnk && j == pivots[i]) {
				i++;
				continue;
			}

			vector<T> x(m);
			x[j] = T(1);
			rep(i2, i) x[pivots[i2]] = -v[i2][j];
			xs->emplace_back(move(x));
		}
	}

	return x0;
}


//【変数係数線形漸化式の発見】O(n L^2 D^2 + N (L D + log(mod)))
/*
* 係数多項式の次数が D 次未満の L 項間漸化式
*	Σi∈[0..L) Σj∈[0..D) c(i,j) (m+i)^j a[m+i] = 0
* の存在を仮定して a[0..n) を延長し a[0..N] にする（失敗したら false を返す）
*
* 制約 : n ≧ L(D+1)-1（ランク落ちしてるとこれでも足りないかも）
*
* 利用：【行列】,【線形方程式】
*/
bool p_recursive(int N, vm& a, int L, int D, vm* coef = nullptr) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/abc222/tasks/abc222_h

	int n = sz(a);

	// 既に十分な長さがある場合はそのままで良い．
	if (N <= n - 1) {
		a.resize(N + 1);
		return true;
	}

	// 式が足りないといつでも非自明解をもってしまって意味がない．
	if (n < L * (D + 1) - 1) return false;

	// 行列方程式 A x = 0 を解いて一般解の基底 xs を求める．
	Matrix<mint> A(n - L + 1, L * D);
	repi(n0, 0, n - L) {
		rep(i, L) rep(j, D) {
			A[n0][i * D + j] = mint(n0 + i).pow(j) * a[n0 + i];
		}
	}
	vvm xs;
	gauss_jordan_elimination(A, vm(n - L + 1), &xs);

	// 自明解 x = 0 しか存在しない場合は失敗．
	if (xs.empty()) return false;

	a.resize(N + 1);

	// 得られた非自明解 xs.back() から漸化式を復元し，それに基づき a[0..n) を延長する．
	auto& x = xs.back();
	repi(n0, n - L + 1, N - L + 1) {
		mint num = 0;
		rep(i, L - 1) {
			mint pow_n0i = 1;
			rep(j, D) {
				num += x[i * D + j] * pow_n0i * a[n0 + i];
				pow_n0i *= n0 + i;
			}
		}

		mint dnm = 0;
		mint pow_n0L = 1;
		rep(j, D) {
			dnm += x[(L - 1) * D + j] * pow_n0L;
			pow_n0L *= n0 + L - 1;
		}

		// num + dnm * a[n0 + L - 1] = 0
		a[n0 + L - 1] = -num / dnm;
	}

	if (coef) *coef = move(x);

	return true;
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

//	dump(naive(4));

//	zikken();

	vm ans{ 0, 1, 6, 29, 130, 562, 2380, 9949, 41226, 169766, 695860, 2842226, \
11576916, 47050564, 190876696, 773201629, 133431127, 663369298, \
136382833, 316305816, 841633213, 880202341, 170159469, 344194094, \
550975271, 703814720, 475747126, 747007587, 806297166, 125473208, \
553102448, 411157747, 212092378, 186077000, 804109129, 617315177, \
965841700, 346257305, 604497516, 211538486, 840493697, 630622020, \
405235537, 19986013, 877290801, 257866905, 420273762, 61402113, \
810270594, 121311529, 998049645, 724263198, 27031350, 260366904, \
417782347, 562320343, 84868169, 339168350, 847905170, 409180230, \
408238648, 476672559, 338881816, 846400109, 13903680, 578518065, \
872452824, 903988582, 702237734, 559158477, 134102257, 703383366, \
103760174, 317693956, 489878862, 211056772, 416885256, 682138389, \
441284281, 149657323, 24009298, 493471715, 131242313, 630234843, \
844130108, 198872857, 971425854, 448343949, 714467639, 677203468, \
481392585, 517778660, 233937725, 54843076, 187439433, 187290148, \
263000120, 277974208, 845686684, 377319821 };

	bool b = p_recursive((int)5e5 + 10, ans, 3, 3);
	dump(b);
		
	int t = 1;
	cin >> t; // マルチテストケースの場合

	while (t--) {
		dump("------------------------------");
		
		int n;
		cin >> n;

		if (n & 1) {
			cout << 0 << "\n";
			continue;
		}

		dump(naive(n / 2));

		cout << ans[n / 2 - 1] << "\n";
	}
}
0