結果
| 問題 |
No.3146 RE: Parentheses Counting
|
| ユーザー |
 ecottea
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| 提出日時 | 2025-05-17 16:03:34 |
| 言語 | C++17 (gcc 13.3.0 + boost 1.87.0) |
| 結果 |
AC
|
| 実行時間 | 43 ms / 2,000 ms |
| コード長 | 29,752 bytes |
| コンパイル時間 | 4,981 ms |
| コンパイル使用メモリ | 285,804 KB |
| 実行使用メモリ | 11,088 KB |
| 最終ジャッジ日時 | 2025-05-17 16:03:45 |
| 合計ジャッジ時間 | 9,807 ms |
|
ジャッジサーバーID （参考情報） |
judge5 / judge4 |
（要ログイン）
| ファイルパターン | 結果 |
|---|---|
| sample | AC * 1 |
| other | AC * 43 |
ソースコード
#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用
// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 型名の短縮
using ll = long long; using ull = unsigned long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9e18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2e9）
using pii = pair<int, int>; using pll = pair<ll, ll>; using pil = pair<int, ll>; using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>; using vvi = vector<vi>; using vvvi = vector<vvi>; using vvvvi = vector<vvvi>;
using vl = vector<ll>; using vvl = vector<vl>; using vvvl = vector<vvl>; using vvvvl = vector<vvvl>;
using vb = vector<bool>; using vvb = vector<vb>; using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>; using vvc = vector<vc>; using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>; using vvd = vector<vd>; using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;
// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
int DX[4] = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
int DY[4] = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003094073385LL; // (int)INFL = INF, (int)(-INFL) = -INF;
// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;
// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), (x)))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), (x)))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0, set##_ub = 1 << int(d); set < set##_ub; ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repis(i, set) for(int i = lsb(set), bset##i = set; i < 32; bset##i -= 1 << i, i = lsb(bset##i)) // set の全要素（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
#define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定
// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll powi(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T getb(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }
template <class T> inline T smod(T n, T m) { n %= m; if (n < 0) n += m; return n; } // 非負mod
// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }
#endif // 折りたたみ用
#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;
#ifdef _MSC_VER
#include "localACL.hpp"
#endif
using mint = modint998244353;
//using mint = static_modint<(int)1e9 + 7>;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);
namespace atcoder {
inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
}
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>; using pim = pair<int, mint>;
#endif
#ifdef _MSC_VER // 手元環境（Visual Studio）
#include "local.hpp"
#else // 提出用（gcc）
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : 32; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : 64; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_math(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) { vc MLE(1<<30); EXIT(MLE.back()); } } // RE の代わりに MLE を出す
#endif
//【階乗など（法が大きな素数）】
/*
* Factorial_mint(int N) : O(n)
* N まで計算可能として初期化する．
*
* mint fact(int n) : O(1)
* n! を返す．
*
* mint fact_inv(int n) : O(1)
* 1/n! を返す（n が負なら 0 を返す）
*
* mint inv(int n) : O(1)
* 1/n を返す．
*
* mint perm(int n, int r) : O(1)
* 順列の数 nPr を返す．
*
* mint perm_inv(int n, int r) : O(1)
* 順列の数の逆数 1/nPr を返す．
*
* mint bin(int n, int r) : O(1)
* 二項係数 nCr を返す．
*
* mint bin_inv(int n, int r) : O(1)
* 二項係数の逆数 1/nCr を返す．
*
* mint mul(vi rs) : O(|rs|)
* 多項係数 nC[rs] を返す．（n = Σrs）
*
* mint hom(int n, int r) : O(1)
* 重複組合せの数 nHr = n+r-1Cr を返す（0H0 = 1 とする）
*
* mint neg_bin(int n, int r) : O(1)
* 負の二項係数 nCr = (-1)^r -n+r-1Cr を返す（n ≦ 0, r ≧ 0）
*
* mint pochhammer(int x, int n) : O(1)
* ポッホハマー記号 x^(n) を返す（n ≧ 0）
*
* mint pochhammer_inv(int x, int n) : O(1)
* ポッホハマー記号の逆数 1/x^(n) を返す（n ≧ 0）
*/
class Factorial_mint {
int n_max;
// 階乗と階乗の逆数の値を保持するテーブル
vm fac, fac_inv;
public:
// n! までの階乗とその逆数を前計算しておく．O(n)
Factorial_mint(int n) : n_max(n), fac(n + 1), fac_inv(n + 1) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b
fac[0] = 1;
repi(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i;
fac_inv[n] = fac[n].inv();
repir(i, n - 1, 0) fac_inv[i] = fac_inv[i + 1] * (i + 1);
}
Factorial_mint() : n_max(0) {} // ダミー
// n! を返す．
mint fact(int n) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b
Assert(0 <= n && n <= n_max);
return fac[n];
}
// 1/n! を返す（n が負なら 0 を返す）
mint fact_inv(int n) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc289/tasks/abc289_h
Assert(n <= n_max);
if (n < 0) return 0;
return fac_inv[n];
}
// 1/n を返す．
mint inv(int n) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/exawizards2019/tasks/exawizards2019_d
Assert(n > 0);
Assert(n <= n_max);
return fac[n - 1] * fac_inv[n];
}
// 順列の数 nPr を返す．
mint perm(int n, int r) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc172/tasks/abc172_e
Assert(n <= n_max);
if (r < 0 || n - r < 0) return 0;
return fac[n] * fac_inv[n - r];
}
// 順列の数 nPr の逆数を返す．
mint perm_inv(int n, int r) const {
// verify : https://yukicoder.me/problems/no/3139
Assert(n <= n_max);
Assert(0 <= r); Assert(r <= n);
return fac_inv[n] * fac[n - r];
}
// 二項係数 nCr を返す．
mint bin(int n, int r) const {
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/binomial_coefficient_prime_mod
Assert(n <= n_max);
if (r < 0 || n - r < 0) return 0;
return fac[n] * fac_inv[r] * fac_inv[n - r];
}
// 二項係数の逆数 1/nCr を返す．
mint bin_inv(int n, int r) const {
// verify : https://www.codechef.com/problems/RANDCOLORING
Assert(n <= n_max);
Assert(r >= 0);
Assert(n - r >= 0);
return fac_inv[n] * fac[r] * fac[n - r];
}
// 多項係数 nC[rs] を返す．
mint mul(const vi& rs) const {
// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2141
if (*min_element(all(rs)) < 0) return 0;
int n = accumulate(all(rs), 0);
Assert(n <= n_max);
mint res = fac[n];
repe(r, rs) res *= fac_inv[r];
return res;
}
// 重複組合せの数 nHr = n+r-1Cr を返す（0H0 = 1 とする）
mint hom(int n, int r) {
// verify : https://mojacoder.app/users/riantkb/problems/toj_ex_2
if (n == 0) return (int)(r == 0);
if (r < 0 || n - 1 < 0) return 0;
Assert(n + r - 1 <= n_max);
return fac[n + r - 1] * fac_inv[r] * fac_inv[n - 1];
}
// 負の二項係数 nCr を返す（n ≦ 0, r ≧ 0）
mint neg_bin(int n, int r) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc345/tasks/abc345_g
if (n == 0) return (int)(r == 0);
if (r < 0 || -n - 1 < 0) return 0;
Assert(-n + r - 1 <= n_max);
return (r & 1 ? -1 : 1) * fac[-n + r - 1] * fac_inv[r] * fac_inv[-n - 1];
}
// ポッホハマー記号 x^(n) を返す（n ≧ 0）
mint pochhammer(int x, int n) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/agc070/tasks/agc070_c
int x2 = x + n - 1;
if (x <= 0 && 0 <= x2) return 0;
if (x > 0) {
Assert(x2 <= n_max);
return fac[x2] * fac_inv[x - 1];
}
else {
Assert(-x <= n_max);
return (n & 1 ? -1 : 1) * fac[-x] * fac_inv[-x2 - 1];
}
}
// ポッホハマー記号の逆数 1/x^(n) を返す（n ≧ 0）
mint pochhammer_inv(int x, int n) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/agc070/tasks/agc070_c
int x2 = x + n - 1;
Assert(!(x <= 0 && 0 <= x2));
if (x > 0) {
Assert(x2 <= n_max);
return fac_inv[x2] * fac[x - 1];
}
else {
Assert(-x <= n_max);
return (n & 1 ? -1 : 1) * fac_inv[-x] * fac[-x2 - 1];
}
}
};
// 主客転倒
void TLE() {
Factorial_mint fm((int)1e6);
int T;
cin >> T;
rep(hoge, T) {
int n;
cin >> n;
if (n & 1) {
cout << 0 << "\n";
}
else {
mint res;
repi(i, 0, n - 2) {
repi(k, 0, min(i, n - 2 - i)) {
if ((i ^ k) & 1) continue;
int x = (i + k) / 2;
int y = (i - k) / 2;
mint c = fm.bin(x + y, x) * (x - y + 1) * fm.inv(x + 1);
x = ((n - 2 - i) + k) / 2;
y = ((n - 2 - i) - k) / 2;
c *= fm.bin(x + y, x) * (x - y + 1) * fm.inv(x + 1);
c *= k;
res += c;
}
}
dump(res);
//cout << res << "\n";
}
}
}
/*
2
0
4
1
6
6
8
29
10
130
12
562
14
2380
16
9949
18
41226
20
169766
*/
// 45° 回転
void TLE2() {
Factorial_mint fm((int)1e6);
int T;
cin >> T;
rep(hoge, T) {
int n;
cin >> n;
if (n & 1) {
cout << 0 << "\n";
}
else {
mint res;
n -= 2;
n /= 2;
repi(x, 0, n) repi(y, 0, x) {
mint c = fm.bin(x + y, x) * (x - y + 1) * fm.inv(x + 1)
* fm.bin((n - x) + (n - y), n - x) * (x - y + 1) * fm.inv(n - y + 1)
* (x - y);
res += c;
}
dump(res);
//cout << res << "\n";
}
}
}
/*
2
0
4
1
6
6
8
29
10
130
12
562
14
2380
16
9949
18
41226
20
169766
*/
// 積の和典型
void TLE3() {
int N = (int)5e5;
dump(N = 100);
Factorial_mint fm(N + 10);
vm dp0(N + 1);
dp0[0] = 1;
repi(i, 1, N) {
repi(j, 0, i - 1) {
dp0[i] += dp0[j] * dp0[i - 1 - j];
}
}
dump(dp0);
vm dp1(N + 1);
dp1[0] = 0;
repi(i, 1, N) {
repi(j, 0, i - 1) {
int k = i - 1 - j;
dp1[i] += (dp1[j] + (2 * j + 1) * dp0[j]) * dp0[k];
dp1[i] += dp0[j] * dp1[k];
}
}
dump(dp1);
int T;
cin >> T;
rep(hoge, T) {
int n;
cin >> n;
if (n & 1) {
cout << 0 << "\n";
}
else {
cout << dp1[n / 2 - 1] << "\n";
}
}
}
//【オンライン畳込み（mod 998244353）】
/*
* Online_convolution(int n) : O(n)
* a[0..n) と b[0..n) の畳込み c[0..n) を計算できるよう初期化する．
*
* set(mint a, mint b) : ならし O((log n)^2)
* t 回目に呼び出すときは，a=a[t], b=b[t] を与える．
*
* mint [](int i) : O(1)
* c[i] = Σj∈[0..i] a[j] b[i-j] を返す．
* 制約 : a[0..i], b[0..i] を指定済でなくてはならない．
*
* mint back() : O(1)
* 直前に決定された c[i] を返す．
*
* int size() : O(1)
* set() を呼んだ回数を返す．
*/
class Online_convolution {
// 参考 : https://qiita.com/Kiri8128/items/1738d5403764a0e26b4c
int n, t; // t : 次が何回目の呼び出しか
vm as, bs, cs;
public:
// 長さ n の数列同士の畳込みを行えるよう初期化する．
Online_convolution(int n) : n(n), t(0), as(n), bs(n), cs(n) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc280/tasks/abc280_e
}
Online_convolution() : n(0), t(0) {}
// set を呼んだ回数を返す．
int size() const {
return t;
}
// t 回目に呼び出すときは，a=a[t], b=b[t] を与える．
void set(mint a, mint b) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc280/tasks/abc280_e
as[t] = a; bs[t] = b;
int i1_max = lsb(t + 2), i2_max = i1_max;
// 対角線上の正方形領域に対する処理を行う場合
if (popcount(t + 2) == 1) { i1_max -= 2; i2_max -= 1; }
// 2^i : 正方形の一辺の長さ（対角線より下）
repi(i, 0, i1_max) {
// cs_sub[0..j_max] まで計算する必要がある．
int j_max = min((1 << (i + 1)) - 2, n - 1 - t);
// len : 真に計算するべき正方形の一辺の長さ
int len = min(1 << i, j_max + 1);
// as[x_min..x_min+len) と bs[y_min..y_min+len) を畳み込む．
int x_min = t + 1 - (1 << i);
int y_min = (1 << i) - 1;
vm as_sub, bs_sub;
copy(as.begin() + x_min, as.begin() + (x_min + len), back_inserter(as_sub));
copy(bs.begin() + y_min, bs.begin() + (y_min + len), back_inserter(bs_sub));
vm cs_sub = convolution(as_sub, bs_sub);
repi(j, 0, j_max) cs[t + j] += cs_sub[j];
}
// 2^i : 正方形の一辺の長さ（対角線以上）
repi(i, 0, i2_max) {
// cs_sub[0..j_max] まで計算する必要がある．
int j_max = min((1 << (i + 1)) - 2, n - 1 - t);
// len : 真に計算するべき正方形の一辺の長さ
int len = min(1 << i, j_max + 1);
// as[x_min..x_min+len) と bs[y_min..y_min+len) を畳み込む．
int x_min = (1 << i) - 1;
int y_min = t + 1 - (1 << i);
vm as_sub, bs_sub;
copy(as.begin() + x_min, as.begin() + (x_min + len), back_inserter(as_sub));
copy(bs.begin() + y_min, bs.begin() + (y_min + len), back_inserter(bs_sub));
vm cs_sub = convolution(as_sub, bs_sub);
repi(j, 0, j_max) cs[t + j] += cs_sub[j];
}
t++;
}
// c[i] を返す．
mint const& operator[](int i) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc280/tasks/abc280_e
Assert(i < t);
return cs[i];
}
// 直前に決定された c[i] を返す．
mint back() const {
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/log_of_formal_power_series
return cs[t - 1];
}
#ifdef _MSC_VER
friend ostream& operator<<(ostream& os, const Online_convolution& c) {
os << "a: " << c.as << endl;
os << "b: " << c.bs << endl;
os << "c: " << c.cs;
return os;
}
#endif
};
// オンライン畳込み
void TLE4() {
int N = (int)5e5;
dump(N = 100);
Online_convolution O(N + 1);
vm dp0(N + 1);
dp0[0] = 1;
O.set(dp0[0], dp0[0]);
repi(i, 1, N) {
dp0[i] = O.back();
O.set(dp0[i], dp0[i]);
}
dump(dp0);
Online_convolution O2(N + 1), O3(N + 1);
vm dp1(N + 1);
dp1[0] = 0;
O2.set(dp1[0] + (2 * 0 + 1) * dp0[0], dp0[0]);
O3.set(dp0[0], dp1[0]);
repi(i, 1, N) {
dp1[i] = O2.back() + O3.back();
O2.set(dp1[i] + (2 * i + 1) * dp0[i], dp0[i]);
O3.set(dp0[i], dp1[i]);
}
dump(dp1);
int T;
cin >> T;
rep(hoge, T) {
int n;
cin >> n;
if (n & 1) {
cout << 0 << "\n";
}
else {
cout << dp1[n / 2 - 1] << "\n";
}
}
}
//【オンライン畳込み（片側固定，mod 998244353）】
/*
* Semi_online_convolution(vm b) : O(n)
* a[0..n) と固定された b[0..n) の畳込み c[0..n) を計算できるよう初期化する．
*
* set(mint a) : ならし O((log n)^2)
* t 回目に呼び出すときは，a=a[t] を与える．
*
* mint [](int i) : O(1)
* c[i] = Σj∈[0..i] a[j] b[i-j] を返す．
* 制約 : a[0..i] を指定済でなくてはならない．
*
* mint back() : O(1)
* 直前に決定された c[i] を返す．
*
* update(int i, mint c) : O(1)
* c[i] を強制的に c に書き換える．
*
* init() : O(n)
* 初期化する．
*
* int size() : O(1)
* set() を呼んだ回数を返す．
*/
class Semi_online_convolution {
// 参考 : https://qiita.com/Kiri8128/items/1738d5403764a0e26b4c
int n, t; // t : 次が何回目の呼び出しか
vm as, cs; vvm bss;
public:
// 長さ n の数列同士の畳込みを行えるよう初期化する．
Semi_online_convolution(const vm& bs) : n(sz(bs)), t(0), as(n), cs(n), bss(msb(n) + 1) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc280/tasks/abc280_e
// b[0], b[1] だけは例外的に bss[0] に格納しておく．
int len = min(2, n);
copy(bs.begin(), bs.begin() + len, back_inserter(bss[0]));
// b[2..n) を幅 2^i の区間にあらかじめ分割しておく．
repi(i, 1, msb(n)) {
int y_min = 1 << i;
int len = min(1 << i, n - y_min);
copy(bs.begin() + y_min, bs.begin() + (y_min + len), back_inserter(bss[i]));
}
}
Semi_online_convolution() : n(0), t(0) {}
// set を呼んだ回数を返す．
int size() const {
return t;
}
// t 回目に呼び出すときは，a=a[t] を与える．
void set(mint a) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc280/tasks/abc280_e
as[t] = a;
// b[0], b[1] との積だけは例外処理
cs[t] += as[t] * bss[0][0];
if (t + 1 < n) cs[t + 1] += as[t] * bss[0][1];
if (t <= 1) {
t++;
return;
}
int i_max = lsb(t);
// 2^i : 正方形の一辺の長さ
repi(i, 1, i_max) {
// cs_sub[0..j_max] まで計算する必要がある．
int j_max = min((1 << (i + 1)) - 2, n - 1 - t);
// len : 真に計算するべき正方形の一辺の長さ
int len = min(1 << i, j_max + 1);
// as[x_min..x_min+len) と bss[i] を畳み込む．
int x_min = t - (1 << i);
vm as_sub;
copy(as.begin() + x_min, as.begin() + (x_min + len), back_inserter(as_sub));
vm cs_sub = convolution(as_sub, bss[i]);
repi(j, 0, j_max) cs[t + j] += cs_sub[j];
}
t++;
}
// c[i] を返す．
mint const& operator[](int i) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc280/tasks/abc280_e
Assert(i < t);
return cs[i];
}
// 直前に決定された c[i] を返す．
mint back() const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc318/tasks/abc318_h
return cs[t - 1];
}
// c[i] を強制的に c に変更する．
void update(int i, mint c) {
cs[i] = c;
}
// 初期化する．
void init() {
t = 0;
cs.assign(n, 0);
}
#ifdef _MSC_VER
friend ostream& operator<<(ostream& os, const Semi_online_convolution& c) {
os << "a: " << c.as << endl;
os << "c: " << c.cs;
return os;
}
#endif
};
// 片側固定のオンライン畳込み
void AC() {
int N = (int)5e5;
dump(N = 100);
// dp0 はカタラン数と分かっているんだからオンライン畳込みは不要
Factorial_mint fm(2 * N + 10);
vm dp0(N + 1);
repi(i, 0, N) dp0[i] = fm.bin(2 * i, i) * fm.inv(i + 1);
dump(dp0);
// dp1 も片側固定のオンライン畳込み 1 つでいい
Semi_online_convolution O(dp0);
vm dp1(N + 1);
dp1[0] = 0;
O.set(dp1[0] + (2 * 0 + 1) * dp0[0] + dp1[0]);
repi(i, 1, N) {
dp1[i] = O.back();
O.set(dp1[i] + (2 * i + 1) * dp0[i] + dp1[i]);
}
dump(dp1);
int T;
cin >> T;
rep(hoge, T) {
int n;
cin >> n;
if (n & 1) {
cout << 0 << "\n";
}
else {
cout << dp1[n / 2 - 1] << "\n";
}
}
}
//【形式的冪級数（スパース）】
/*
* SMFPS() : O(1)
* 零多項式 f(z) = 0 で初期化する．
*
* SMFPS(mint c0) : O(1)
* 定数多項式 f(z) = c0 で初期化する．
*
* SMFPS(vector<pim> dcs) : O(n)
* 次数について昇順に並んだ n 個の (次数, 係数) の組で初期化する．
*
* c + f, f + c : O(|f|), f + g : O(|f| + |g|)
* f - c, c - f : O(|f|), f - g : O(|f| + |g|)
* c * f, f * c, -f : O(|f|)
* 和，差，定数倍の結果を返す．
*
* f * g : O(|f| |g| log(|f| |g|))
* 積を返す．
*
* f >> d, f << d : O(|f|)
* 係数列を d だけ右[左]シフトした多項式を返す．
* （右シフトは z^d の乗算，左シフトは z^d で割った商と等価）
*
* shrink() : O(|f|)
* 次数が同じ項をまとめ，係数が 0 の項を削除する．
*/
struct SMFPS {
// 非 0 係数の個数
int n;
// (次数, 係数) の組（次数について昇順）
vector<pim> c;
// 初期化
SMFPS() : n(0) {}
SMFPS(mint c0) : n(1), c({ { 0, c0 } }) {}
SMFPS(const vector<pim>& c) : n(sz(c)), c(c) {}
// 代入
SMFPS(const SMFPS& f) = default;
SMFPS& operator=(const SMFPS& f) = default;
void puch_back(const pim& dc) { c.emplace_back(dc); ++n; }
void puch_back(int deg, mint coef) { c.emplace_back(deg, coef); ++n; }
void pop_back() { c.pop_back(); --n; }
[[nodiscard]] pim back() { return c.back(); }
// 比較
[[nodiscard]] bool operator==(const SMFPS& g) const { return c == g.c; }
[[nodiscard]] bool operator!=(const SMFPS& g) const { return !(*this == g); }
// アクセス
inline pim const& operator[](int i) const { return c[i]; }
inline pim& operator[](int i) { return c[i]; }
// 項数
[[nodiscard]] int size() const { return n; }
[[nodiscard]] bool empty() const { return n == 0; }
// 加算
[[nodiscard]] SMFPS operator+(const SMFPS& g) const {
// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2660
SMFPS res;
int i = 0, j = 0;
while (i < n || j < g.n) {
if (j == g.n || (i < n && c[i].first < g[j].first)) {
res.puch_back(c[i]);
++i;
}
else if (i == n || c[i].first > g[j].first) {
res.puch_back(g[j]);
++j;
}
else {
res.puch_back(c[i].first, c[i].second + g[j].second);
++i; ++j;
}
}
return res;
}
SMFPS& operator+=(const SMFPS& g) { *this = *this + g; return *this; }
// 減算
[[nodiscard]] SMFPS operator-(const SMFPS& g) const {
SMFPS res;
int i = 0, j = 0;
while (i < n || j < g.n) {
if (j == g.n || (i < n && c[i].first < g[j].first)) {
res.puch_back(c[i]);
++i;
}
else if (i == n || c[i].first > g[j].first) {
res.puch_back(g[j].first, -g[j].second);
++j;
}
else {
res.puch_back(c[i].first, c[i].second - g[j].second);
++i; ++j;
}
}
return res;
}
SMFPS& operator-=(const SMFPS& g) { *this = *this - g; return *this; }
// 定数倍
SMFPS& operator*=(const mint& c0) {
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_of_formal_power_series_sparse
repea(p, c) p.second *= c0; return *this;
}
[[nodiscard]] SMFPS operator*(const mint& c0) const { return SMFPS(*this) *= c0; }
friend SMFPS operator*(const mint& c0, const SMFPS& f) { return f * c0; }
[[nodiscard]] SMFPS operator-() const { return SMFPS(*this) *= -1; }
// 積
SMFPS& operator*=(const SMFPS& g) {
// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2660
vector<pim> tmp(n * g.n);
rep(i, n) rep(j, g.n) {
tmp[i * g.n + j] = { c[i].first + g[j].first, c[i].second * g[j].second };
}
sort(all(tmp), [](const pim& l, const pim& r) {
return l.first < r.first;
});
tmp.emplace_back(INF, 0);
n = 0; c.clear(); mint acc = 0;
rep(i, sz(tmp) - 1) {
if (tmp[i].first == tmp[i + 1].first) acc += tmp[i].second;
else {
if (acc + tmp[i].second != 0) {
puch_back(tmp[i].first, acc + tmp[i].second);
}
acc = 0;
}
}
return *this;
}
[[nodiscard]] SMFPS operator*(const SMFPS& g) const { return SMFPS(*this) *= g; }
// 係数の右シフト（z^d 倍）
SMFPS& operator>>=(int d) {
repea(tmp, c) tmp.first += d;
return *this;
}
[[nodiscard]] SMFPS operator>>(int d) const { return SMFPS(*this) >>= d; }
// 係数の左シフト（z^d で割った商）
[[nodiscard]] SMFPS operator<<(int d) const {
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_of_formal_power_series_sparse
SMFPS res;
for (auto [deg, coef] : c) {
if (deg >= d) res.puch_back(deg - d, coef);
}
return res;
}
SMFPS& operator<<=(int d) { *this = *this << d; return *this; }
// 次数が同じ項をまとめ，係数が 0 の項を削除する．
SMFPS& shrink() {
// verify : https://www.codechef.com/problems/RANDCOLORING
int l = 0; int deg = -1; mint acc = 0;
rep(i, n) {
auto& [deg, coef] = c[i];
acc += coef;
if (i == n - 1 || c[i + 1].first != deg) {
if (acc != 0) {
c[l] = { deg, acc };
acc = 0;
l++;
}
}
}
n = l;
c.resize(l);
return *this;
}
#ifdef _MSC_VER
friend ostream& operator<<(ostream& os, const SMFPS& f) {
rep(i, sz(f)) {
os << f[i].second << "z^" << f[i].first << (i < sz(f) - 1 ? " + " : "");
}
return os;
}
#endif
};
//【商（スパース）】O(n |f|)
/*
* a[0..n) の母関数を A(z) とし，[z^[0..n)] A(z)/f(z) を返す．
*/
vm divide_sfps(const vm& a, const SMFPS& f) {
// verify : https://www.codechef.com/problems/RANDCOLORING
int n = sz(a), K = sz(f);
Assert(K > 0);
auto [d_min, f0] = f[0];
Assert(f0 != 0);
mint f0_inv = f0.inv();
vm res(n);
rep(i, n - d_min) res[i] = a[i + d_min];
// インライン配る DP
rep(i, n) {
res[i] *= f0_inv;
repi(k, 1, K - 1) {
auto [deg, coef] = f[k];
deg -= d_min;
if (i + deg >= n) break;
res[i + deg] -= res[i] * coef;
}
}
return res;
}
//【微分（スパース）】O(|f|)
/*
* f'(z) を返す．
*/
SMFPS derivative(const SMFPS& f) {
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/exp_of_formal_power_series_sparse
SMFPS res;
for (auto [deg, coef] : f.c) {
if (deg == 0) continue;
res.puch_back(deg - 1, coef * deg);
}
return res;
}
//【微分方程式（スパース）】O(n (|a| + |b|))
/*
* 与えられた a(z), b(z), f0 に対し，変数係数 1 階線形斉次常微分方程式
* a(z) f'(z) + b(z) f(z) = 0, [z^0]f(z) = f0
* の解 f(z) を求め，[z^[0..n]] f(z) を返す．
*
* 制約 : [z^0]a(z) != 0，fm は n! まで計算可能
*/
vm differential_equation(int n, const SMFPS& a, const SMFPS& b, mint f0, const Factorial_mint& fm) {
// 参考 : https://maspypy.com/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E3%83%BB%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E3%81%B9%E3%81%8D%E7%B4%9A%E6%95%B0-%E9%AB%98%E9%80%9F%E3%81%AB%E8%A8%88%E7%AE%97%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%82%8B%E3%82%82%E3%81%AE#toc44
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/exp_of_formal_power_series_sparse
//【方法】
// f'(z) = Σi∈[1..∞) i f[i] z^(i-1) = Σi∈[0..∞) (i+1) f[i+1] z^i
// と表せることに注意すると，微分方程式の両辺の z^n を係数を比較して
// Σi∈[0..n] a[i] (n-i+1) f[n-i+1] + Σi∈[0..n] b[i] f[n-i] = 0
// なる等式を得る．f[n+1] のみが左辺に残るように変形すると，
// a[0] (n+1) f[n+1] + Σi∈[1..n] a[i] (n-i+1) f[n-i+1] + Σi∈[0..n] b[i] f[n-i] = 0
// ⇔ f[n+1] = -1/a[0](n+1) (Σi∈[1..n] a[i] (n-i+1) f[n-i+1] + Σi∈[0..n] b[i] f[n-i])
// なる漸化式を得る．
Assert(a[0].first == 0 && a[0].second != 0);
vm f(n + 1);
f[0] = f0;
mint a0_inv = a[0].second.inv();
rep(i, n) {
mint num = 0;
repi(k, 1, sz(a) - 1) {
auto [deg, coef] = a[k];
if (i - deg + 1 < 0) break;
num += coef * (i - deg + 1) * f[i - deg + 1];
}
for (auto [deg, coef] : b.c) {
if (i - deg < 0) break;
num += coef * f[i - deg];
}
f[i + 1] = -a0_inv * fm.inv(i + 1) * num;
}
return f;
}
//【平方根（スパース）】O(n |f|)
/*
* [z^[0..n]] √f(z) を返す（なければ空リストを返す）
*
* 制約 : fm は n! まで計算可能
*
* 利用：【微分方程式（スパース）】,【微分（スパース）】,【平方剰余】
*/
vm sqrt_sfps(int n, const SMFPS& f, const Factorial_mint& fm) {
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_of_formal_power_series_sparse
//【方法】
// f(z) の最低次の項の次数が奇数であれば √f(z) は存在しない．
// さもなくば z の偶数冪で割って [z^0]f(z) != 0 としてよい．
//
// g(z) = √f(z) とおく．両辺の対数をとり
// log g(z) = 1/2 log f(z)
// とし，さらに両辺を z で微分すると
// g'(z) / g(z) = 1/2 f'(z) / f(z)
// ⇔ 2 f(z) g'(z) - f'(z) g(z) = 0
// なる 1 階線形斉次常微分方程式を得る．
vm g(n + 1);
// f(z) = 0 なら √f(z) = 0 でよい．
if (sz(f) == 0) return g;
// f(z) の最低次数が奇数なら √f(z) は存在しない．
auto [d_min, f0] = f[0];
if (d_min & 1) return vm();
int hd_min = d_min / 2;
// f0 が平方非剰余なら √f(z) は存在しない．
int g0 = 1;//cipolla(f0);
if (g0 == -1) return vm();
SMFPS f2 = f << d_min;
vm g2 = differential_equation(n - d_min, 2 * f2, -derivative(f2), g0, fm);
rep(i, sz(g2)) g[i + hd_min] = g2[i];
return g;
}
int main() {
input_from_file("input.txt");
// output_to_file("output.txt");
//【解法】
// AC() で立てた関数方程式を解けば母関数が
// (1-Sqrt[1-4 z]-2 z)/(2 z-8 z^2)
// だとわかるんだからそれでいい．
int N = (int)5e5;
dump(N = 100);
SMFPS f({ {0, 1}, {1, -4} });
Factorial_mint fm(N);
auto ans = sqrt_sfps(N, f, fm);
ans[0] -= 1;
ans[1] += 2;
SMFPS g({ {1, -2}, {2, 8} });
ans = divide_sfps(ans, g);
int T;
cin >> T;
rep(hoge, T) {
int n;
cin >> n;
if (n & 1) {
cout << 0 << "\n";
}
else {
cout << ans[n / 2 - 1] << "\n";
}
}
}