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問題 No.3398 Accuracy of Integer Division Approximate Function 2
コンテスト
ユーザー 👑 Mizar
提出日時 2025-11-16 23:42:43
言語 C++17
(gcc 15.2.0 + boost 1.89.0)
結果
AC  
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最終ジャッジ日時 2025-12-04 23:32:33
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#include <cassert> // assert
#include <iostream> // cin, cout, ios
#include <utility> // swap, pair
#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>
namespace mp = boost::multiprecision;
using bigint = mp::cpp_int;

template<typename T> T gcd(T a, T b){while(b != 0){a %= b; std::swap(a, b);}return a;}
template<typename T> bool chmin(T& a, T b){if(a > b){a = b; return true;} return false;}
template<typename T> bool chmax(T& a, T b){if(a < b){a = b; return true;} return false;}
template<typename T> constexpr std::pair<T, T> divmod(T a, T b){return {a / b, a % b};}

// 商を無限大方向に切り下げる除算(剰余が0でない時の符号は除数の符号に一致)
template<typename T>
constexpr std::pair<T, T> divmod_floor(T a, T b) {
    // 標準の truncating 除算を使う
    T q = a / b;
    T r = a % b;
    // もし符号が食い違っていたら 1 調整
    if ((r != 0) && ((r > 0) != (b > 0))) {
        q -= 1;
        r += b;
    }
    return {q, r};
}

// 剰余が非負になる除算（ユークリッド除算）
template<typename T>
constexpr std::pair<T, T> divmod_euclid(T a, T b) {
    // 標準の truncating 除算を使う
    T q = a / b;
    T r = a % b;
    // 剰余が負なら 1 調整
    if (r < 0) {
        if (b > 0) {
            q -= 1;
            r += b;
        } else {
            q += 1;
            r -= b;
        }
    }
    return {q, r};
}

/**
 * Max Weighted Floor (mwf) の非再帰実装。
 *   mwf(n,m,a,b,c,d) = max_{0 <= x < n} a*x + b*floor((c*x + d)/m)
 *
 * 前提:
 *   * n > 0, m > 0
 *
 * 計算量/メモリ:
 *   * 時間: O(log m)（ユークリッド互除法的再帰による構造縮約）
 *   * 追加メモリ: O(1)
 *
 * @param n T
 * @param m T
 * @param a T
 * @param b T
 * @param c T
 * @param d T
 * @return T
 */
template<typename T>
T mwf(T n, T m, T a, T b, T c, T d) {
    assert(n > 0 && m > 0);
    auto [qc, rc] = divmod_euclid<T>(c, m);
    c = rc;
    a += b * qc;
    auto [qd, rd] = divmod_euclid<T>(d, m);
    d = rd;
    T sum_acc = b * qd;
    T max_acc = sum_acc;
    while(true) {
        assert(n > 0 && m > 0 && 0 <= c && c < m && 0 <= d && d < m);
        T n1 = n - 1;
        // 0 <= x < n における y = floor((c*x+d)/m) の最大値 y_max を計算
        T y_max = (c * n1 + d) / m;
        // 現在の小問題における x = 0, n-1 のときの値を max_acc に反映
        chmax<T>(max_acc, sum_acc);
        chmax<T>(max_acc, sum_acc + a * n1 + b * y_max);
        // x = 0, n-1 のいずれかで最大値を取るのが確定なら終了
        if(y_max == 0 || (a >= 0 && b >= 0) || (a <= 0 && b <= 0)) {
            return max_acc;
        }
        // 小問題へのパラメータ変換
        if(a < 0) {
            sum_acc += a + b;
        }
        n = y_max; // y_max > 0
        d = m - d - 1; // 0 <= d < m
        std::swap(a, b);
        std::swap(c, m); // 0 < c,m
        // 正規化: c,d を m で割った余りに変換し、a,b,sum_acc を更新
        auto [qc, rc] = divmod<T>(c, m);
        c = rc;
        a += b * qc;
        auto [qd, rd] = divmod<T>(d, m);
        d = rd;
        sum_acc += b * qd;
    }
}

/**
 * Δ(D,A,B,x) = floor(x/D) - floor( (floor(x/A) * floor(A*B/D)) / B ) において、
 * u_min(D,A,B,K) = min { u >= 0 | Δ(D,A,B,u*D) > K } を半開区間二分探索 [0, A'BK+2) で求め、
 * x_min(D,A,B,K) = min { x >= 0 | Δ(D,A,B,x) > K } = u_min(D,A,B,K)*D を返します（解なしは -1）。
 *
 *  前提:
 *    * D > 0, A > 0, B > 0, K >= 0（整数）
 *  手順概要:
 *    1) 既約化: g = gcd(D, A), D' = D/g, A' = A/g
 *    2) (M', R') = divmod(A' * B, D')（A'B = D'*M' + R'）
 *    3) 閾値 T_Δ = B*K を設定
 *    4) E(u) = B*u - M'*floor(D'u / A')
 *    5) F(N) = max_{0 <= u < N} E(u) を mwf で評価（N > 0, m = A' > 0）
 *    6) 区間 [0, A'BK+2) で述語 [F(u) <= T_Δ] を二分探索し、
 *       F(u) <= T_Δ となる最大の u 、つまり T_Δ < E(u) となる最小の u を特定。x = D*u を返す。
 *
 *  備考:
 *    * R' = 0 かつ D'K + 1 >= A' のときは解が存在しないため -1 を返します。
 *    * 解が存在する場合、 u_min は必ず [0, A'BK+2) の範囲に存在します。
 * @param D bigint
 * @param A bigint
 * @param B bigint
 * @param K bigint
 * @return bigint 
 */
template<typename T>
T compute_xmin(T D, T A, T B, T K) {
    assert(D > 0 && A > 0 && B > 0);
    if (K < 0) {
        return 0;
    }
    // 既約化 (D', A') = (D/gcd(D,A), A/gcd(D,A))
    T gcd_da = gcd<T>(D, A);
    T d_red = D / gcd_da, a_red = A / gcd_da;
    // (M', R') = divmod(A'B, D')
    // A'B = D'M' + R'
    auto [m_red, r_red] = divmod<T>(a_red * B, d_red);
    T t_delta = B * K;
    // 解なしをパラメータを用いて判定
    if (r_red == 0 && d_red * K + 1 >= a_red) {
        return -1;
    }
    // [0, hi) の半開区間、緩い上界 A'BK+1 を包括する hi = A'BK+2 を設定
    T lo = 0, hi = a_red * B * K + 2;
    // F(hi) > T の不変条件を確認
    assert(!(mwf<T>(hi, a_red, B, -m_red, d_red, 0) <= t_delta));
    // F(lo) <= T, F(hi) > T の不変条件で u_min を二分探索
    while (lo + 1 < hi) {
        T mid = (lo + hi) / 2;
        if (mwf<T>(mid, a_red, B, -m_red, d_red, 0) <= t_delta) {
            lo = mid;
        } else {
            hi = mid;
        }
    }
    // lo = u_min, hi = lo + 1.
    // x_min = D * u_min を返す
    return D * lo;
}

int main() {
    std::cin.tie(nullptr);
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    int t;
    bigint d, a, b, k, ans;
    std::cin >> t;
    for(int i = 0; i < t; i++) {
        std::cin >> d >> a >> b >> k;
        assert(1 <= d && 1 <= a && 1 <= b && 0 <= k);
        ans = compute_xmin<bigint>(d, a, b, k);
        std::cout << ans << '\n';
    }
}
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