#1134080 (C++17) No.3398 Accuracy of Integer Division Approximate Function 2

• 問題: No.3398 Accuracy of Integer Division Approximate Function 2
• ユーザー: 👑 Mizar
• 提出日時: 2025-11-16 23:52:08
• 言語: C++17 (gcc 13.3.0 + boost 1.89.0)
• 結果: AC
• 実行時間: 70 ms / 2,000 ms
• コード長: 8,693 bytes
• コンパイル時間: 4,696 ms
• コンパイル使用メモリ: 382,216 KB
• 実行使用メモリ: 7,720 KB
• 最終ジャッジ日時: 2025-12-04 23:32:48
• 合計ジャッジ時間: 6,079 ms
• ジャッジサーバーID （参考情報）: judge2 / judge1

ファイルパターン	結果
sample	AC * 3
other	AC * 20

ソースコード

#include <cassert> // assert
#include <iostream> // cin, cout, ios
#include <utility> // swap, pair
#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>
namespace mp = boost::multiprecision;
using bigint = boost::multiprecision::cpp_int;

// 通常の Truncating 除算における商と剰余の組を返す(商はゼロ方向に切り捨て)
template<typename T>
constexpr std::pair<T, T> divmod(T a, T b) {
    T q = a / b;
    T r = a % b;
    return {q, r};
}

// 商を無限大方向に切り下げる除算(剰余が0でない時の符号は除数の符号に一致)
template<typename T>
constexpr std::pair<T, T> divmod_floor(T a, T b) {
    // 標準の truncating 除算を使う
    T q = a / b;
    T r = a % b;
    // もし符号が食い違っていたら 1 調整
    if ((r != 0) && ((r > 0) != (b > 0))) {
        q -= 1;
        r += b;
    }
    return {q, r};
}

// 剰余が非負になる除算（ユークリッド除算）
template<typename T>
constexpr std::pair<T, T> divmod_euclid(T a, T b) {
    // 標準の truncating 除算を使う
    T q = a / b;
    T r = a % b;
    // 剰余が負なら 1 調整
    if (r < 0) {
        if (b > 0) {
            q -= 1;
            r += b;
        } else {
            q += 1;
            r -= b;
        }
    }
    return {q, r};
}

template<typename T> T gcd(T a, T b){while(b != 0){a %= b; std::swap(a, b);}return a;}
template<typename T> bool chmin(T& a, T b){if(a > b){a = b; return true;} return false;}
template<typename T> bool chmax(T& a, T b){if(a < b){a = b; return true;} return false;}

/**
    Max Weighted Floor (mwf) の非再帰実装。
      mwf(n,m,a,b,c,d) = max_{0 <= x < n} a*x + b*floor((c*x + d)/m)

    前提:
      - n > 0, m > 0

    計算量/メモリ:
      - 時間: O(log m)（ユークリッド互除法的再帰による構造縮約）
      - 追加メモリ: O(1)
*/
template<typename T>
T mwf(T n, T m, T a, T b, T c, T d) {
    assert(n > 0 && m > 0);
    // 正規化: c,d を m で割った余りに変換し、a,b を更新、 sum_acc,max_acc を初期化
    // c,d が負の場合にも剰余を非負にするため、ユークリッド除算を使う
    const auto [qc, rc] = divmod_euclid(c, m);
    c = rc;
    a = a + b * qc;
    const auto [qd, rd] = divmod_euclid(d, m);
    d = rd;
    T sum_acc = b * qd;
    T max_acc = sum_acc;
    while(true) {
        assert(0 <= c && c < m && 0 <= d && d < m);
        // 0 ≤ x < n における y = floor((c*x+d)/m) の最大値 y_max を計算
        const T y_max = (c * (n - 1) + d) / m; // y_max >= 0
        // 現在の小問題における x = 0, n-1 のときの値を max_acc に反映
        const T rval = sum_acc + a * (n - 1) + b * y_max;
        if(max_acc < sum_acc) {
            max_acc = sum_acc;
        }
        if(max_acc < rval) {
            max_acc = rval;
        }
        // x = 0, n-1 のいずれかで最大値を取るのが確定したら終了
        if(y_max == 0 || (a > 0 && b > 0) || (a < 0 && b < 0)) {
            return max_acc;
        }
        // 小問題へのパラメータ変換
        if(a < 0) {
            sum_acc += a + b;
        }
        n = y_max;
        d = m - d - 1;
        std::swap(a, b);
        std::swap(c, m);
        assert(0 < n && 0 < m && 0 <= c && 0 <= d);
        // 正規化: c,d を m で割った余りに変換し、a,b,sum_acc を更新
        // c,d,m は非負なので通常の剰余で良い
        const std::pair<T, T> divmod_c = divmod(c, m);
        c = divmod_c.second;
        a = a + b * divmod_c.first;
        const std::pair<T, T> divmod_d = divmod(d, m);
        d = divmod_d.second;
        sum_acc = sum_acc + b * divmod_d.first;
    }
}

/**
 * Max Weighted Floor (mwf) の非再帰実装。
 *   mwf(n,m,a,b,c,d) = max_{0 <= x < n} a*x + b*floor((c*x + d)/m)
 *
 * 前提:
 *   * n > 0, m > 0
 *
 * 返り値: mwf(n,m,a,b,c,d) <= z なら True、そうでなければ False を返す。
 *
 * 計算量/メモリ:
 *   * 時間: O(log m)（ユークリッド互除法的再帰による構造縮約）
 *   * 追加メモリ: O(1)
 *
 * @param z T
 * @param n T
 * @param m T
 * @param a T
 * @param b T
 * @param c T
 * @param d T
 * @return bool
 */
template<typename T>
bool mwf_leq(T z, T n, T m, T a, T b, T c, T d) {
    assert(0 < n && 0 < m);
    const auto [qc, rc] = divmod_euclid(c, m);
    c = rc;
    a += b * qc;
    const auto [qd, rd] = divmod_euclid(d, m);
    d = rd;
    T sum_acc = -z + b * qd;
    auto sat = [](T v) {
        T zero = 0;
        return v > 0 ? v : zero;
    };
    while (true) {
        assert(0 < n && 0 < m && 0 <= c && c < m && 0 <= d && d < m);
        if (sum_acc > 0) {
            return false;
        }
        if (a <= 0 && b <= 0) {
            return true;
        }
        T n1 = n - 1;
        auto y_max = (c * n1 + d) / m;
        if (y_max == 0) {
            return sum_acc + a * n1 <= 0;
        }
        if (a >= 0) {
            if (sum_acc + a * n1 + b * y_max > 0) {
                return false;
            }
            if (b >= 0) {
                return true;
            }
        } else {
            sum_acc = sum_acc + a + b;
        }
        n = y_max;
        d = m - d - 1;
        std::swap(a, b);
        std::swap(c, m);
        assert(0 < n && 0 < m && 0 <= c && 0 <= d);
        // 正規化: c,d を m で割った余りに変換し、a,b,sum_acc を更新
        // c,d,m は非負なので通常の剰余で良い
        const auto [qc, rc] = divmod(c, m);
        c = rc;
        a += b * qc;
        const auto [qd, rd] = divmod(d, m);
        d = rd;
        sum_acc += b * qd;
    }
}

template<typename T>
T mwf_lr(T l, T r, T m, T a, T b, T c, T d) {
    assert(l < r && m > 0);
    T n = r - l;
    const auto [quot, rem] = divmod_euclid(T(c * l + d), m);
    return a * l + b * quot + mwf(n, m, a, b, c, rem);
}

template<typename T>
bool mwf_lr_leq(T z, T l, T r, T m, T a, T b, T c, T d) {
    assert(l < r && m > 0);
    T n = r - l;
    const auto [quot, rem] = divmod_euclid(T(c * l + d), m);
    T z_adjusted = z - a * l - b * quot;
    return mwf_leq<T>(z_adjusted, n, m, a, b, c, rem);
}

/**
 * Δ(D,A,B,x) = floor(x/D) - floor( (floor(x/A) * floor(A*B/D)) / B ) において、
 * u_min(D,A,B,K) = min { u >= 0 | Δ(D,A,B,u*D) > K } を半開区間二分探索 [0, A'BK+2) で求め、
 * x_min(D,A,B,K) = min { x >= 0 | Δ(D,A,B,x) > K } = u_min(D,A,B,K)*D を返します（解なしは -1）。
 *
 *  前提:
 *    * D > 0, A > 0, B > 0, K >= 0（整数）
 *  手順概要:
 *    1) 既約化: g = gcd(D, A), D' = D/g, A' = A/g
 *    2) (M', R') = divmod(A' * B, D')（A'B = D'*M' + R'）
 *    3) 閾値 T_Δ = B*K を設定
 *    4) E(u) = B*u - M'*floor(D'u / A')
 *    5) F(N) = max_{0 <= u < N} E(u) を mwf で評価（N > 0, m = A' > 0）
 *    6) 区間 [0, A'BK+2) で述語 [F(u) <= T_Δ] を二分探索し、
 *       F(u) <= T_Δ となる最大の u 、つまり T_Δ < E(u) となる最小の u を特定。x = D*u を返す。
 *
 *  備考:
 *    * R' = 0 かつ D'K + 1 >= A' のときは解が存在しないため -1 を返します。
 *    * 解が存在する場合、 u_min は必ず [0, A'BK+2) の範囲に存在します。
 * @param D T
 * @param A T
 * @param B T
 * @param K T
 * @return T 
 */
template<typename T>
T compute_xmin_leq(T D, T A, T B, T K) {
    assert(D > 0 && A > 0 && B > 0);
    if (K < 0) {
        return 0;
    }
    T gcd_DA = gcd<T>(D, A);
    T Dred = D / gcd_DA, Ared = A / gcd_DA;
    T Mred = (Ared * B) / Dred, Rred = (Ared * B) % Dred;
    T Tdelta = B * K;
    T Mred_neg = -Mred;
    T zero = 0;
    // 解なしをパラメータを用いて判定
    if (Rred == 0 && Dred * K + 1 >= Ared) {
        return -1;
    }
    // [0, hi) の半開区間、緩い上界 A'BK+1 を包括する hi = A'BK+2 を設定
    T lo = 0, hi = Ared * B * K + 2;
    // F(hi) > T の不変条件を確認
    assert(!mwf_lr_leq<T>(Tdelta, lo, hi, Ared, B, Mred_neg, Dred, zero));
    // F(lo) <= T, F(hi) > T の不変条件で u_min を二分探索
    while (lo + 1 < hi) {
        T mid = (lo + hi) / 2;
        if (mwf_lr_leq<T>(Tdelta, lo, mid, Ared, B, Mred_neg, Dred, zero)) {
            lo = mid;
        } else {
            hi = mid;
        }
    }
    // lo = u_min, hi = lo + 1
    return D * lo;
}

int main() {
    std::cin.tie(nullptr);
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    int t;
    bigint d, a, b, k, ans;
    std::cin >> t;
    for(int i = 0; i < t; i++) {
        std::cin >> d >> a >> b >> k;
        assert(1 <= d && 1 <= a && 1 <= b && 0 <= k);
        ans = compute_xmin_leq<bigint>(d, a, b, k);
        std::cout << ans << '\n';
    }
}