結果

問題 No.220 世界のなんとか2
ユーザー rpy3cpprpy3cpp
提出日時 2015-05-29 23:54:28
言語 Python3
(3.12.2 + numpy 1.26.4 + scipy 1.12.0)
結果
AC  
実行時間 30 ms / 1,000 ms
コード長 1,947 bytes
コンパイル時間 489 ms
コンパイル使用メモリ 12,544 KB
実行使用メモリ 10,624 KB
最終ジャッジ日時 2024-07-06 12:15:12
合計ジャッジ時間 1,472 ms
ジャッジサーバーID
（参考情報） 		judge1 / judge4
このコードへのチャレンジ
（要ログイン）

テストケース

テストケース表示
入力 結果 実行時間
実行使用メモリ
testcase_00 AC 29 ms
10,624 KB
testcase_01 AC 28 ms
10,496 KB
testcase_02 AC 28 ms
10,624 KB
testcase_03 AC 29 ms
10,496 KB
testcase_04 AC 28 ms
10,624 KB
testcase_05 AC 27 ms
10,496 KB
testcase_06 AC 28 ms
10,624 KB
testcase_07 AC 27 ms
10,496 KB
testcase_08 AC 27 ms
10,624 KB
testcase_09 AC 28 ms
10,624 KB
testcase_10 AC 29 ms
10,496 KB
testcase_11 AC 27 ms
10,624 KB
testcase_12 AC 30 ms
10,496 KB
testcase_13 AC 29 ms
10,496 KB
testcase_14 AC 28 ms
10,496 KB
testcase_15 AC 28 ms
10,624 KB
testcase_16 AC 28 ms
10,624 KB
testcase_17 AC 28 ms
10,624 KB
testcase_18 AC 27 ms
10,496 KB
権限があれば一括ダウンロードができます

ソースコード

diff # 

'''1 から p 桁の整数までのうち、3がつくor 3の倍数の個数を返す。
f(p, k) = pCk * 9 **(p-k)  3をk個含む数の個数
g(p) = 10**p // 3 3の倍数の個数
h(p, k): 3 を k個含み、かつ3の倍数である数の個数
このとき、求める数は、
sum(f(p, k) - h(p, k) for k in range(1, p+1)) + g(p)
h(p, p) = 1
h(p, k) = nCb(p, k) * x(p-k)
x(m): m個の整数(0,1,2,4,5,6,7,8,9: 3以外の0から9の整数)の和が3の倍数となる組合せの数
x(0) = 1 (h(p,p)=1より)
y(m, r): m 個の整数(0,1,2,4,5,6,7,8,9: 3以外の0から9の整数)の和のmod 3 が r となる組合せの数
x(m) = y(m, 0)
y(m, 0) = y(m-1, 0) * 3 + y(m-1, 1) * 3 + y(m-1, 2) * 3
y(m, 1) = y(m-1, 0) * 3 + y(m-1, 1) * 3 + y(m-1, 2) * 3
y(m, 2) = y(m-1, 0) * 3 + y(m-1, 1) * 3 + y(m-1, 2) * 3
y(0, 0) = 1
y(0, 1) = 0
y(0, 2) = 0
y(1, 0) = 3
y(1, 1) = 3
y(1, 2) = 3
y(2, 0) = 27
よって、y(m, r) = (9 ** m) // 3
つまり、x(m) = (9 ** m) // 3
h(p, k) = nCb(p, k) * 9**(p-k) // 3
以上を整理すると、
sum(nCb(p, k) * (9 ** (p - k) * 2 // 3) for k in range(1, p)) + (10 ** p // 3)
ここで、
sum(nCb(p, k) * (9 ** (p - k) * 2 // 3) for k in range(1, p)) は、
(1 + 9)**p を級数展開したときの、1**p と 9**p を除いた部分を 2/3 倍したものと見なすことができるから、
(10**p - 9**p - 1) * 2 // 3 と書くことができ、
答えは、
(10**p - 9**p - 1) * 2 // 3 + 10 ** p // 3
となる。
この数式の意味するところを解釈すると、、
10**p - 9**p - 1 は、1 から 10**p までの数のうち、3を含む数字の個数。
このうち、1/3は、3の倍数となり、2/3 は3の倍数ではない。
よって、(10**p - 9**p - 1) * 2 // 3 は、3 を含む数字で3の倍数でないものの個数。
これに、3の倍数の個数 10 ** p // 3 を足したのが答えになる。
'''

p = int(input())
print(2 * (10 ** p - 9 ** p - 1) // 3 + 10 ** p // 3)
0