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問題 No.978 Fibonacci Convolution Easy
ユーザー tarattata1tarattata1
提出日時 2019-07-14 01:25:51
言語 C++11
(gcc 11.4.0)
結果
AC  
実行時間 1 ms / 2,000 ms
コード長 3,362 bytes
コンパイル時間 269 ms
コンパイル使用メモリ 38,528 KB
実行使用メモリ 5,376 KB
最終ジャッジ日時 2024-09-18 20:50:29
合計ジャッジ時間 922 ms
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コンパイルメッセージ
main.cpp: In function ‘int main(int, char**)’:
main.cpp:113:16: warning: format ‘%lld’ expects argument of type ‘long long int’, but argument 2 has type ‘Q’ [-Wformat=]
  113 |     printf("%lld\n", ans);
      |             ~~~^     ~~~
      |                |     |
      |                |     Q
      |                long long int
main.cpp:92:10: warning: ignoring return value of ‘int scanf(const char*, ...)’ declared with attribute ‘warn_unused_result’ [-Wunused-result]
   92 |     scanf("%d%d", &n, &p);
      |     ~~~~~^~~~~~~~~~~~~~~~

ソースコード

diff # 

#include <stdio.h>
#include <vector>
#pragma warning(disable:4996) 

typedef long long ll;
const long long MOD = 1000000007;
using namespace std;

ll mpow(ll x, ll n){ //x^n(mod M)
    ll ans = 1;
    while(n != 0){
        if(n&1) ans = ans*x % MOD;
        x = x*x % MOD;
        n = n >> 1;
    }
    return ans;
}

ll minv(ll x){
    return mpow( x, MOD-2 );
}

// ＜解法＞
// 求める答えは、(Σa[n])^2 + (Σ(a[n]^2))/2
// この計算は、O(n)ならば簡単に求めることができるが、
// nが大きい場合について解くには何か工夫が必要。
// 今回は、a[n]の一般項を求めて計算することにした。
//
// x^2-px-1=0 の解は x=(p±√(p^2+4))/2
// これをα,βとおく。
//
// a[n]-αa[n-1]=β(a[n-1]-αa[n-2])
// から
// a[n]-αa[n-1]=β^(n-2) (a[2]-αa[1])
// 同様に
// a[n]-βa[n-1]=α^(n-2) (a[2]-βa[1])
// 引き算して
// (β-α)a[n-1]=β^(n-2) (a[2]-αa[1])-α^(n-1) (a[2]-βa[1])
// n-1 を n に書き換えると
// a[n]=(β^(n-1))(a[2]-αa[1])-(α^(n-1))(a[2]-βa[1]))/(β-α)
// これで
// a[n]=C(α^(n-1))+D(β^(n-1))
// という形の一般項になったので、
// Σa[n] = CΣ(α^(n-1))+DΣ(β^(n-1))
// Σ(a[n]^2) = (C^2)Σ((α^2)^(n-1))+(2CD)Σ((αβ)^(n-1))+(D^2)Σ((β^2)^(n-1))
// ともに等比級数の和の公式から求めることができる
//
// α,βを使って実際に計算する際には、今回は実数による計算ではなく、
// {a+b√(p^2+4)}（pは固定、a,bは整数mod1000000007）という体の上で計算する

int p;
int q;    // q=p^2+4

struct Q      // {f+s√q}
{
    ll  f;     // first
    ll  s;     // second
public:
    Q(ll f0, ll s0): f(f0),s(s0){}
    Q(): f(0),s(0){}
    Q(ll f0): f(f0),s(0){}
    Q operator + (Q r) {
        return Q( (this->f + r.f)%MOD, (this->s + r.s)%MOD );
    }
    Q operator - (Q r) {
        return Q( (this->f + MOD - r.f)%MOD, (this->s + MOD - r.s)%MOD );
    }
    Q operator * (Q r) {
        return Q((this->f * r.f + (this->s * r.s)%MOD * q)%MOD,
                 (this->f * r.s + this->s * r.f )%MOD );
    }
    Q operator / (Q r) {
        ll det=(r.f*r.f+(MOD-(r.s*r.s%MOD)*q%MOD))%MOD;
        ll tmp=minv(det);
        return ((*this) * Q(r.f*tmp%MOD, (MOD-r.s)*tmp%MOD));
    }
};

Q POW (Q x, ll n) {
    Q ans = 1;
    while(n != 0){
        if(n&1) ans = ans * x;
        x = x * x;
        n = n >> 1;
    }
    return ans;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    int n;
    scanf("%d%d", &n, &p);
    q = ((ll)p*p + 4)%MOD;

    ll inv2 = minv(2);      // 1/2
    Q a1=0;
    Q a2=1;
    Q aa=Q(p*inv2%MOD, 1*inv2%MOD);        // α
    Q bb=Q(p*inv2%MOD, (MOD-1)*inv2%MOD);  // β
    Q C = (a2 - bb*a1) / (aa - bb);        // C
    Q D = (a2 - aa*a1) / (bb - aa);        // D

    Q suma = (Q(1) - POW(aa,n)) /  (Q(1) - aa);   // Σ(k=0..n-1)(α^k)
    Q sumb = (Q(1) - POW(bb,n)) /  (Q(1) - bb);   // Σ(k=0..n-1)(β^k)
    Q suma2= (Q(1) - POW(aa*aa,n)) / (Q(1) - aa*aa);   // Σ(k=0..n-1)((α^2)^k)
    Q sumb2= (Q(1) - POW(bb*bb,n)) / (Q(1) - bb*bb);   // Σ(k=0..n-1)((β^2)^k))
    Q sumab= (Q(1) - POW(aa*bb,n)) / (Q(1) - aa*bb);   // Σ(k=0..n-1)((αβ)^k)
    Q ans0 = C * suma + D * sumb;
    Q ans1 = C * C * suma2 + C * D * 2 * sumab + D * D* sumb2;
    Q ans  = ans0 * ans0 + ans1;
    ans = ans * inv2;

    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}
0