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問題 No.981 一般冪乗根
ユーザー ace_amuro
提出日時 2021-01-26 14:04:46
言語 C++14
(gcc 13.3.0 + boost 1.87.0)
結果
AC  
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コード長 5,832 bytes
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最終ジャッジ日時 2024-06-23 13:45:20
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ソースコード

diff # 

//#define TEST
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int M=1e7+10;
bool is_p[M];
int prime[M], primelen;
int euler(int N) {
    int len = 0;
    memset(is_p, true, sizeof(is_p));
    for(int i = 2; i < N; i++) {
        if(is_p[i]) {
            prime[len] = i;
            len++;
        }
        for(int j = 0; j < len && prime[j] <= i; j++) {
            if(i * prime[j] >= N) break;
            is_p[i * prime[j]] = false;
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    return len;
}

LL qmul(LL a,LL b,LL mod){
    return (LL)((__int128_t)a*b%mod);
    /*
    LL ans=0;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
    */
}

LL qpow(LL a, LL b, LL mod){
    if(b==0)return 1ll;
    LL ans=1;
    while(b>0){
        if(b&1)ans=qmul(ans,a,mod);
        a=qmul(a,a,mod);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}



LL gcd(LL a,LL b){
    while(b){
        LL t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return b;
    }
    LL d = exgcd(b, a%b, x, y);
    LL t = y;
    y = x - y * (a / b);
    x = t;
    return d;
}

LL solveLinear(LL a,LL b,LL p){
    a=(a%p+p)%p;b=(b%p+p)%p;
    LL x,y;
    LL d=exgcd(a,p,x,y);
    if(b%d!=0) return -1;
    return (qmul(b/d,x,p/d)+p/d)%(p/d);
}

LL invP(LL a,LL p){
    a=(a%p+p)%p;
    if(a==0) return -1;
    LL x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    return (x%p+p)%p;
}

int factorlist(LL x,LL z,LL* p,int* k){
    int cnt=0;
    LL y=gcd(z/x,x);
    LL cap=pow(z,0.25)+1;
    for(int i=0;prime[i]<=cap;i++){
        if(y%prime[i]!=0) continue;
        cnt++;
        p[cnt]=prime[i];
        while(y%prime[i]==0){
            y/=prime[i];
        }
    }
    if(y>1){
        cnt++;
        p[cnt]=y;
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        k[i]=0;
        while(x%p[i]==0){
            x/=p[i];
            k[i]++;
        }
    }
    p[0]=x;
    return cnt;
}

const LL hashmod=1000003;
LL phash[hashmod+1000];
LL r_origin[hashmod+1000];
LL bsgs(LL a, LL b, LL p){//计算使得a^k=b modp的最小k
    if(a % p == b % p) return 1;
    if(a % p == 0 && b % p != 0) return -1;
    if(b % p == 1) return 0;

    LL m = (LL)ceil(sqrt(p));
    a = (a%p+p)%p;
    LL r = (b%p+p)%p;

    memset(phash,-1,sizeof(phash));
    memset(r_origin,-1,sizeof(r_origin));
    LL k;
    phash[r%hashmod] = 0;//建立hash
    r_origin[r%hashmod]=r;
    for(LL j = 1; j < m; j++){//baby step
        r = qmul(r, a, p);
        k=r%hashmod;
        while(phash[k]!=-1) k++;
        phash[k] = j;
        r_origin[k]=r;
    }
    LL am = qpow(a, m ,p);//快速幂计算a^m
    LL t = 1;
    for(LL i = 1; i <= m; i++){//giant step
        t = qmul(t, am, p);
        k=t%hashmod;
        if(phash[k]!=-1){
            while(phash[k]!=-1){
                if(r_origin[k]==t) return m * i - phash[k];
                k++;
            }
        }
    }
    return -1;
}

LL tonelli(LL P,LL p,int k,LL A,LL invA){
    LL n=1;
    for(int i=0;i<k;i++) n*=p;
    if(qpow(A,(P-1)/n,P)!=1) return -1;
    LL v,d,q=P-1;
    int s=0;
    while(q%p==0){q/=p;s++;}
    exgcd(n,q,v,d);
    v=(v%q+q)%q;
#ifdef TEST
    printf("n=%lld q=%lld p=%lld s=%d k=%d v=%lld\n",n,q,p,s,k,v);
#endif
    LL X=qpow(A,v,P);
    int t=k+1;
    LL B=2;
    while(qpow(B,(P-1)/p,P)==1) B++;
#ifdef TEST
    printf("W=%lld\n",B);
#endif
    B=qpow(B,q,P);
    LL invB=invP(B,P);
#ifdef TEST
    printf("B=%lld B^-1=%lld\n",B,invB);
#endif
    LL E=X;
    for(int i=1;i<=k;i++) E=qpow(E,p,P);
    E=qmul(E,invA,P);
#ifdef TEST
    printf("X=%lld E=%lld\n",X,E);
#endif
    while(E!=1){
        LL Bps=B,Eps=E;
        for(int i=1;i<=s-1;i++) Bps=qpow(Bps,p,P);
        for(int i=1;i<=s-t;i++) Eps=qpow(Eps,p,P);
#ifdef TEST
        printf("t=%d Bps=%lld Eps=%lld\n",t,Bps,Eps);
#endif
        LL r=bsgs(Bps,Eps,P);
        Bps=qpow(invB,r,P);
#ifdef TEST        
        printf("r=%lld\n",r);
#endif
        for(int i=0;i<=t-1;i++){
            if(i==t-k-1) X=qmul(X,Bps,P);
            if(i==t-1) E=qmul(E,Bps,P);
            Bps=qpow(Bps,p,P);
        }
#ifdef TEST
        printf("X=%lld E=%lld\n",X,E);
#endif
        t++;
    }
    return X;
}


LL work(LL P,LL n,LL A){
    A=(A%P+P)%P;
    LL g=gcd(n,P-1);
    if(qpow(A,(P-1)/g,P)!=1) return -1;
    LL inv=invP(n/g,(P-1)/g);
    A=qpow(A,inv,P);
    LL p[1000],X1,X2,n1,n2;int k[1000];
    LL invA=invP(A,P);
#ifdef TEST
    printf("P=%lld n=%lld g=%lld A=%lld invA=%lld\n",P,n,g,A,invA);
#endif
    int cnt=factorlist(g,P-1,p,k);
#ifdef TEST    
    printf("p:");for(int i=0;i<=cnt;i++)printf(" %lld",p[i]);printf("\n");
    printf("k:");for(int i=0;i<=cnt;i++)printf(" %d",k[i]);printf("\n");
#endif
    n1=p[0];
    LL v=invP(n1,(P-1)/n1);
    X1=qpow(A,v,P);
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
#ifdef TEST
        printf("------------------------\n");
#endif
        X2=tonelli(P,p[i],k[i],A,invA);
        if(X2==-1) return -1;
        n2=1;
        for(int j=1;j<=k[i];j++) n2*=p[i];
#ifdef TEST
        printf("n1=%lld X1=%lld n2=%lld X2=%lld\n",n1,X1,n2,X2);
#endif
        LL alpha,beta;
        exgcd(n1,n2,alpha,beta);
        if(alpha<=0){
            X1=qpow(X1,beta,P);
            X2=qpow(invP(X2,P),-alpha,P);
        }
        else if(beta<=0){
            X1=qpow(invP(X1,P),-beta,P);
            X2=qpow(X2,alpha,P);      
        }
        X1=qmul(X1,X2,P);
        n1*=n2;
    }
    return X1;

}

int main(){
    primelen=euler(M);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(;T>0;T--){
        LL P,n,A,X;
        scanf("%lld%lld%lld",&P,&n,&A);
        X=work(P,n,A);
        printf("%lld\n",X);
    }
    return 0;
}
0